Современное развитие: математические и топологические биллиарды. Возникновение конструкций из части лекции А.Т.Фоменко
Кафедра дифф. геометрии и приложений
Лекторий
Для студентов 1-2 курса
«Современная геометрия»
Лекция 13.11.2020
Акад. А.Т. Фоменко, доц. д.ф.м.н. В.В.Ведюшкина
« Интегрируемые системы и биллиарды. Топология, геометрия, симметрии, особенности »
Часть 1.
Академик Фоменко А.Т.
Введение в теория интегрируемых систем, связи с механикой, задачами из приложений
· 1:30 Введение: интегрируемые системы и биллиарды, близкие области геометрии. С помощью биллиардов удается моделировать сложные системы механики и физики
· 1:50 Софокусные квадрики в R^3 имеют общие касательные. геодезические на них. Теорема Якоби-Шаля. Новый класс систем -- биллиардные книжки (В.В.Ведюшкина).
· 3:07 Истоки в физике: задачи, решаемые методами дифф. геометрии: система волчка Лагранжа (движение юлы), колебание корабля в океане (волчок Эйлера), движение по геодезическим на эллипсоиде, точки на окружности
· 6:10 волчок Лагранжа (подробнее). Его движения: прецессия, нутация. Есть связь с движением оси Земли при вращении планеты по орбите
· 7:52 геодезический поток эллипсоида (подробнее)
· 10:10 формализация задач динамики твердого тела. Уравнения Эйлера-Пуассона. Их обобщения.
· 12:20 Интегрируемость: наличие симметрий у твердого тела – тогда движение можно описать довольно наглядно описать. Интегрируемые системы (ИС) Эйлера, Лагранжа, Ковалевской, Горячева-Чаплыгина.
|
|
|
· 14:40: ИС задается движением точки на торе (бублике) как на произведении двух окружностей.
· 16:50 трехмерные поверхности Q^3 постоянной энергии H=h расслоены на двумерные торы и на особые слои. Граф Риба такого слоения
· 18:55 одномерный граф с числовыми метками кодирует топологию системы и динамику ее траекторий.
· 19:45 Граф-молекула и ее вершины-атомы. Теорема Фоменко-Цишанга: молекула с метками – классифицирующий инвариант лиувиллевой эквивалентности систем (замыкания решений совмещаются при гомеоморфизме Q^3). Сравнение двух разных систем. Инварианты совпали – системы эквивалентности. Не совпали -- различны.
· 22:26 двумерные поверхности: ручки, листы Мёбиуса, сферы с ними, теорема классификации. То же самое как связные суммы.
· 25:10 Трехмерные многообразия. Полноторие (внутренность тора). Склейки по граничному тору двух полноторий. Матрица склейки.
· Наглядное представление трехмерных многообразий: произведения окружности и 2-сферы: S^1 на S^2 и 3-сферы S^3 (расслоение Хопфа).
· 29:47 граф-многообразия Зейферта: вырезание «тонких» полноторий изнутри «толстого», параллельно его оси.
· 31:00: гамильтоновы интегрируемые системы можно изучить не аналитически, явными квадратурами, а описывать топологию слоений. Оказывается, их поверхности постоянной энергии имеют структуру граф-многообразия.
|
|
|
· Близкие области математики: группы и алгебры Ли, симплектическая геометрия, дискретные группы симметрий. Приложения. Биллиарды.
· 33:15 наглядное моделирование систем интегрируемыми биллиардами: вместо сложных особых движений системы можно рассмотреть движение частицы по биллиардному столу с несложной топологией. Расширение класса биллиардов (В.В.Ведюшкина)
· 34:49 классический биллиард. Биллиард в прямоугольнике интегрируем: два интеграла -- модуль скорости и угол отражения – сохраняются при движении и отражении от границы.
Также: интегрируемы биллиарды в правильном треугольнике или шестиугольнике (видно на решетке)
· 38:55 Биллиард в плоской области. Неинтегрируем при «случайной» граничной кривой. Хаос. Поиск интегрируемых биллиардов. В круге. В эллипсе.
· 40:00 Пример: биллиард в круге. Любое звено данной траектории касается окружности одного и того же радиуса. Каусти
· 40:50 Примеры: биллиарды в софокусных квадриках – эллипсах, гиперболах, параболах. Уравнения их семейства. Звенья траектории касаются некоторого эллипса либо гиперболы, софокусных границе эллипса. Анимация движения. Видны каустики.
|
|
|
Часть 2 с 0:43:25
Д.ф.м.н. В.В.Ведюшкина:
современное развитие: математические и топологические биллиарды. Возникновение конструкций из части лекции А.Т.Фоменко
1) 44:35 круговые биллиарды: граница лежит на концентрических окружностях и их радиусах.
Фазовое многообразие четырехмерно: 4 координаты (две на точку стола, две на скорость частицы в ней).
Модуль скорости – энергия. Ограничение на этот уровень -- на Q^3
2) 49:20 Пример 1: топологический анализ биллиарда в круге.
3) Разбиение Q^3 на 2-торы и особые слои биллиарда в круге. Проекция слоя на стол – кольцо. Граничная окружность. Направление закрутки. Число точек 2-слоя в пробразе точки стола. Отождествления над границей – склейка тора из двух колец.
4) 54:00 Полноторие с одной особой окружностью (ее проеция – граничная окружность). Их два: по и против часовой стрелки. Склейка полноторий по слою, где траектории – диаметры.. Между
5) 57:30 многообразие Q^3 – это сфера. Как расслоение Хопфа. Какие замкнутые циклы-окружности отождествляют на гранчных торах двух полноторий? Вычисление инварианта Фоменко-Цишанга.
6) 1:04:50 Пример 2: биллиард в круговом кольце. Как меняется топология Q^3 и вычисление инварианта
|
|
|
7) 1:07:08 Пример 3: Стол склеен из двух одинаковых кругов по окружности (т.е. предел эллипсоида вращения с очень короткой осью). Инвариант и топология
8) 1:07:58 Теорема (Ведюшкина):
три Примера 1,2,3 – полностью моделируют волчок Лагранжа из динамики твердого тела (движение юлы) при ее разных энергиях. Каждой зоне энергии – свой биллиард 1-3. Совпадение инвариантов Фоменко-Цишанга биллиарда и механической системы.
9) 1:09:31 биллиард в эллипсе. Звенья касаются другого эллипса или гиперболы. Особые траектории: вертикальные и горизонтальные оси.
10) 1:11:17 фокальное свойство эллипса и новые особенности: седловой (гиперболический) атом В. Циклы. Инвариант Фоменко-Цишанга отличается от кругового. Q^3 та же – 3-сфера. Но слоение на ней другое, более сложное.
11) 14:45. Обобщение биллиарда (В.В.Ведюшкина) – топологический биллиард. Неплоский стол склеен из плоских частей (например, в Примере 3).
Мораль: плоских областей было мало – а теперь биллиардов-столов стало неограниченно много. Оказывается, многие из них имеют новые и интересные топологические инварианты.
12) 1:16:35 Теперь можно моделировать много сложных слоений. Моделирование систем механики: Жуковского, Ковалевской – топологическими биллиардами.
13) 1:17:52 Новое обобщение (Ведюшкина): биллиардная книжка: склеиваем сразу много столов по их общей дуге границы, ей припишем перестановку (переход шара с листа на лист после удара). Условие коммутирования.
14) Открытые вопросы, многие посильны для студентов. Много задач по алгебре: перестановки, их пары, наборы.
15) 1:20:35 Пример: книжки моделируют систему Горячева-Чаплыгина
16) 1:21:06 Теорема (Ведюшкина, Кибкало, 2019)
Любую числовую метку из инвариантов Фоменко-Цишанга (саму по себе, в отдельности) можно реализовать в подходящем биллиарде.
17) 1:22:22 Теорема (В.В.Ведюшкина и студентка И.С.Харчева): любой атом (особенность) алгоритмически реализуется книжкой: любая типичная перестройка торов Лиувилля (через особый слой) встречается в биллиардах
18) 1:23:30 Недавно: значительно усилена теорема выше
Теорема (В.В.Ведюшкина, И.С.Харчева):
любой граф Риба с символами атомов (т.е. база слоения Лиувилля на Q^3) – реализуется алгоритмически построенным биллиардом.
19) 12:23:55 наши коллеги и студенты (фото с юбилея А.Т. Фоменко). Среди наших тем: биллиарды с невыпуклыми углами (Виктор Москвин), биллиарды с потенциалами (Сергей Пустовойтов), биллиарды с проскальзыванием (Володя Завьялов, 3 курс), трехмерные биллиарды (Белозеров Глеб), биллиарды на плоскости с метрикой Минковского (Катя Каргинова, студент-механик, рук. Фоменко, Карапетян).
с 1:27:16: Комментарии и вопросы.
1) 1:27:16 О докторской диссертации В.Ведюшкиной (2020 год)
2) 1:28:22 вопрос о существовании биллиарда для произвольной системы – пока открыт (молекула без меток – реализуется. С метками – открытый вопрос).
3) 1:30:40 Гипотеза Биркгофа. Недавно ее полиномиальная версия была доказана (А.А.Глуцюк, А.Е.Миронов, М. Бялый, др.).
4) 1:32: начиная с младших курсов наши студенты успешно решают новые задачи, получают содержательные результаты (рез-ты Иры Харчевой: начиная 3-4 курса, Володи Завьялова – уже на 2 курсе).
5) 1:35:20
«задавайте Ваши вопросы, всегда будем рады на них ответить, побеседовать».
Почта atfomenko @ mail . ru
Дата добавления: 2020-12-22; просмотров: 111; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!