Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
Преподаватель - Брыкало А.А.
brukalo_aa@mail.ru
https://vk.com/id399759339
Конспект урока «Математика»
Дата 24.11.20
Группа 5 «Механизация сельского хозяйства»
Тема: «Уравнение cos x = a»
Форма работы: индивидуальная, электронное обучение
Тип урока: изучение нового материала
Продолжительность урока: 1 час
Цель урока:
- формировать умения решать тригонометрические уравнения;
- развить навыки решения тригонометрических выражений и уравнений.
Глоссарий по теме:
Арккосинусом числа m называется такое число α, что: и .
Арккосинус числа m обозначают: .
Используемая литература:
Учебник: Математика. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы: учебник для общеобразовательных организаций: базовый и углубленные уровни./Ш.А.Алимов, Ю.М.Колягин, М.В.Ткачева и др.- 5 изд.- М.: Просвещение, 2018г
https://uchebnikionline.ru/uchebniki/10-klass/algebra-10-11-klass-alimov-kolyagin-bazovyy-i-uglublennyy-urovni
Интернет-ресурсы:
Методика преподавания математики http://methmath.chat.ru/
Российская электронная школа https://resh.edu.ru/
Учебный фильм «Уравнение cos x = a»
https://resh.edu.ru/subject/lesson/6317/main/199685/
Ход урока
Организационный этап:
Мотивационный модуль
С этого урока мы начинаем изучать уравнения и неравенства, которые содержат косинус, синус, тангенс и котангенс переменной. Решение таких уравнений и неравенств - нахождение значений переменной по заданному значению косинуса, синуса, тангенса или котангенса.
|
|
Начнем мы изучение тригонометрических уравнений с уравнения вида cos x = a.
Основная часть:
Объясняющий модуль
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
- решение уравнения cos x = a для табличных значений;
- арккосинус числа, простейшие тождества с арккосинусом;
- решение уравнения cos x = a для произвольных значений;
- решение простейших тригонометрических уравнений.
Итак, уравнение, которое содержит переменную под знаком тригонометрических функций, называется тригонометрическим уравнением. Уравнения вида
,
где – переменная, а число , называются простейшими тригонометрическими уравнениями. На этом уроке мы с вами подробно рассмотрим решение уравнений вида .
Напомним, что косинусом угла называется абсцисса точки , полученной поворотом точки вокруг начала координат на угол . При этом не забудем отметить, что так как координаты и точек единичной окружности удовлетворяют неравенствам и , то для справедливо неравенство . Из этого следует, что уравнение имеет корни только при .
|
|
Так как же решают такие уравнения? Давайте рассмотрим два уравнения: и . Чтобы найти х в первом уравнении, нам нужно ответить на вопрос, чему равен косинус точки . Для этого нам достаточно вспомнить таблицу значений косинуса.
Тогда . Давайте покажем это на единичной окружности. Отметим точку . У этой точки, как и у любой другой, есть свои координаты. Если мы опустим перпендикуляр из точки на ось абсцисс, то попадём в .
А теперь вернёмся ко второму уравнению – . Чтобы здесь найти х, нам нужно ответить на вопрос, косинус каких точек равен .
Давайте ненадолго отвлечёмся от тригонометрии. Начертим координатную плоскость. А теперь найдём все те точки, у которых абсцисса равна . Несложно догадаться, что таких точек будет бесконечное множество и все они будут лежать на вертикальной прямой, проходящей через точки с абсциссой, равной .
А теперь вернёмся к тригонометрии. Нас будут интересовать все точки, которые лежат на единичной окружности и пересекаются вертикальной прямой, проходящей через точки, имеющие абсциссу, равную . Заметим, что наша прямая пересекает единичную окружность в двух точках – и . Исходя из таблицы значений косинусов, точка получается из начальной точки поворотом на угол , а тогда точка – поворотом на угол . Тогда решением нашего уравнения будут два корня – и . Но ведь в эти точки мы можем попасть не по одному разу. Если мы сделаем полный оборот по единичной окружности, то снова попадём в эти точки. Сделав ещё полный оборот, снова попадём в эти точки и так далее. Отсюда уравнение имеет две серии решений:
|
|
.
Как правило, эти серии решений совмещают и записывают как .
Вообще при решении уравнений вида возможны четыре случая.
Первый случай: . Раскрывая модуль, имеем . В этом случае на единичной окружности будут располагаться две точки – и , абсциссы которых равны а. Эти точки получаются путём поворота начальной точки на угол и соответственно. Тогда решения уравнения можно записать в виде: , и . Заметим, что эти точки симметричны относительно оси абсцисс. Следовательно, . Тогда все решения уравнения можно объединить в одно: .
Например, решим следующие уравнения и . Абсциссу, равную , имеют две точки единичной окружности. Так как , то угол , а потому угол . Следовательно, все корни уравнения можно найти по формуле .
|
|
Перейдём к уравнению . Абсциссу, равную , имеют две точки единичной окружности. Так как , то угол , а потому угол . Следовательно, все корни уравнения можно найти по формуле .
Заметим, что каждое из уравнений и к имеет бесконечное множество корней. Однако на отрезке каждое из этих уравнений имеет только один корень. Так, , – это корень уравнения , а , – это корень уравнения . Число называют арккосинусом числа . Записывают так: . Число называют арккосинусом числа . Записывают так: .
Кстати, «арккосинус» в переводе с латинского означает «дуга» и «косинус». Это обратная функция.
Вообще уравнение , где , на отрезке имеет только один корень. Если , то этот корень заключён в промежутке ;
если же , то корень располагается в промежутке .
Этот корень называют арккосинусом числа а и обозначают так .
Запомните! Арккосинусом числа а, , называется такое число , косинус которого равен а.
, если и
Например, , так как , . , так как , .
Возвращаясь к нашему уравнению , где , можно утверждать, что все корни уравнения можно найти по формуле: .
Запомните! Для любого справедлива формула . Эта формула позволяет находить значения арккосинусов отрицательных чисел через значения арккосинусов положительных чисел.
Например, .
Второй случай: . Раскрывая модуль, имеем и . Поскольку для справедливо неравенство , то понятно, что в этом случае уравнение не будет иметь корней.
Например, уравнения и не имеют корней.
Третий случай (частный): . В этом случае есть две точки тригонометрической окружности, которые имеют абсциссу, равную 0. Точка получается из начальной точки поворотом на угол , а точка – поворотом на угол . Тогда уравнение имеет две серии решений:
Однако эти две серии решений можно выразить одной формулой: . Полученная формула задаёт множество корней уравнения .
И последний, четвёртый случай (тоже частный): . Раскрывая модуль, имеем , и . В этом случае вертикальные прямые, проходящие через точки, имеющие абсциссы, равные –1 и 1, будут касаться единичной окружности в точках с координатами (–1;0) и (1;0). Эти точки получаются путём поворота начальной точки на угол , и . Тогда решением уравнения будет , а решением уравнения будет .
А теперь давайте приступим к практической части нашего урока.
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
Пример 1. Решите уравнение .
Решение. По формуле нахождения корней уравнения , имеем: . Значение вычислим с помощью калькулятора. .
Пример 2. Решите уравнение .
Решение. По формуле нахождения корней уравнения , имеем: . . Перенесём в правую часть равенства. Затем разделим обе части равенства на 2: . Отсюда .
Домашнее задание:
- посмотреть учебный фильм «Уравнение cos x = a»
https://resh.edu.ru/subject/lesson/6317/main/199685/
- записать основные понятия, сделать конспект по теме, решить задания и оформить их решение:
1. Решите уравнение
2. Решите уравнение .
Дата добавления: 2020-12-22; просмотров: 56; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!