Примеры и разборы решений заданий тренировочного модуля

Преподаватель - Брыкало А.А.

brukalo_aa@mail.ru

https://vk.com/id399759339

Конспект урока «Математика»

Дата 19.11.20

Группа 5 «Механизация сельского хозяйства»

Тема: «Формулы приведения. Сумма и разность синусов. Сумма и разность косинусов»

Форма работы: индивидуальная, электронное обучение

Тип урока: изучение нового материала

Продолжительность урока: 1 час

Цель урока:

- познакомить с формулами приведения, формулами суммы и разности синусов, суммы и разности косинусов;

- научить применять их при решении заданий;

- развить навыки решения тригонометрических выражений и уравнений с использованием тригонометрических формул.

Глоссарий по теме:

Формулы приведения – это формулы, которые позволяют синус, косинус, тангенс и котангенс различных углов приводить к острым углам.

Используемая литература:

Учебник: Математика. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы: учебник для общеобразовательных организаций: базовый и углубленные уровни./Ш.А.Алимов, Ю.М.Колягин, М.В.Ткачева и др.- 5 изд.- М.: Просвещение, 2018г

https://uchebnikionline.ru/uchebniki/10-klass/algebra-10-11-klass-alimov-kolyagin-bazovyy-i-uglublennyy-urovni

Интернет-ресурсы:

Методика преподавания математики http://methmath.chat.ru/

Российская электронная школа https://resh.edu.ru/

Учебный фильм «Формулы приведения»

https://resh.edu.ru/subject/lesson/3490/main/199402/

Учебный фильм «Сумма и разность синусов. Сумма и разность косинусов»

https://resh.edu.ru/subject/lesson/4238/main/107830/

Ход урока

Организационный этап:

Мотивационный модуль

Сегодня мы познакомимся с формулами приведения, суммой и разностью синусов, суммой и разностью косинусов и научимся их применять при упрощении тригонометрических выражений, решении тригонометрических уравнений и доказательствах тождеств.

Основная часть:

Объясняющий модуль

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

- формулы приведения;

- мнемоническое правило для формул приведения;

- преобразование тригонометрических выражений на основе использования формул приведения;

- вычисление значений тригонометрических выражений на основе формул приведения;

- сумма и разность синусов и косинусов.

1. Для вычисления углов больше 90 используют формулы приведения. Они позволяют синус, косинус, тангенс и котангенс различных углов приводить к острым углам.

Пример: Вычислить и .

Представим число .

Рассмотрим точку А(1;0) на единичной окружности. При повороте вокруг начала координат на угол она сделает 2 полных оборота и ещё повернётся на угол . Переместится в точку В, в которую могла бы попасть, сделав поворот на угол .

Значит, , .

Количество полных оборотов по 360 или по может выражаться любым целым числом k, как положительным, так и отрицательным и нулём. При повороте точки А(1;0) на угол , где k получается та же самая точка, что при повороте на угол

Рисунок 1 – точки А и В на единичной окружности

Справедливы равенства:

, где , , где

Докажем, что для всех углов справедливы формулы:

, .

Воспользуемся формулой синуса и косинуса разности:

, подставим известные значения

в формулу, получаем:

(1)

(2)

Аналогично доказываются формулы:

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

Эти формулы называются формулами приведения для синуса и косинуса.

Пример: вычислите . Представим ,

тогда

Выведем формулы для тангенса, используя его определение

Найдём

Получаем формулы для тангенса и котангенса:

, где и , где (13)

(14)

(15)

(16)

(17)

Пример: вычислите .

Преобразуем выражение в скобке

Обратите внимание, что все эти формулы связывают синусы с синусами или косинусами, а тангенсы с тангенсами или котангенсами. В одних случаях синус меняется на косинус и наоборот, в других – нет. Так, например, в формулах 1,2,3,8 и 13, где в левой части присутствуют синусы, косинусы и тангенсы не меняются.