IV. Нахождение касательной проходящей через точку, внешнюю по отношению к заданному графику

Тема урока

"Касательная к графику функции. Основные типы задач"

При изучении темы “Касательная к графику функции” можно выделить типы задач.

I. Задачи на составление уравнения касательной к графику функции в точке, принадлежащей графику

Обучение решению задач на касательную осуществляется при помощи алгоритма.

Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке х : y = f(х ) + f '(х )(x – х )

Алгоритм составления уравнения касательной к графику функции y = f(x):

1. Обозначить х абсциссу точки касания.

2. Найти f(х )

3. Найти f '(x) и f '(х )

4. Подставить найденные числа х , f(х ), f '(х ) в общее уравнение касательной

Задача. Составьте уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой х =3.

Решение.

1. х = 3 – абсцисса точки касания.

2. f(3) = – 2.

3. f '(x) = x² – 4, f '(3) = 5. 4.Подставив в уравнение касательной значения х =3, f(х )=-2, f '(х )=5, получим y = – 2 + 5(x – 3), т.е. y = 5x – 17. Это и есть искомое уравнение касательной. Ответ: y = 5x-17.

ПРИМЕР (САМОСТОЯТЕЛЬНО)

Найти уравнение касательной к графику функции f(x) в точке с абсциссой х .

f(x)=-x

-4x+2, х

=-1.

II. Проведение касательной параллельно заданной прямой

Задача 1. В каких точках касательные к кривой у= - х - х+1 параллельны прямой y=2x-1?

Решение. Так как касательные параллельны прямой у=2х-1 то их угловые коэффициенты совпадают. Т. е. угловой коэффициент касательной в этой точке есть к = 2 .

Находим у' = х -2х-1; к= у'(х )= х -2х -1=2.

Решив уравнение х -2х -1=2; х -2х -3=0, получим (х ) =3, (х ) =-1, откуда (у ) = -2, (у ) = . Итак, искомыми точками касания являются А(3;-2) и В(-1; )

Ответ: (3;-2) и (-1; ).

Задача 2. Найти абсциссу точки, в которой касательная к графику функции f(x) = 2x-lnx, параллельна прямой у = х.

Решение. Пусть х - абсцисса точки касания. Угловой коэффициент касательной в этой точке есть к=1. Находим f '(x)=2- . К= f ' (х )=2- =1.

Решив уравнение 2- =1, получим х =1.

Ответ: 1.

ПРИМЕР (САМОСТОЯТЕЛЬНО)

Найти абсциссу точки, в которой касательная к графику функции f(x) параллельна прямой у(х).

f(x)= х+е

, у(х)= -х.

III. Задачи на касательную, связанные с ее угловым коэффициентом Задача 1. К графику функции f(x) = 3x

+5x-15 в точке с абсциссой x

проведена касательная. Найти тангенс угла наклона касательной к оси Ох. Решение. f'(x

) является угловым коэффициентом касательной к графику функции у =f(x) в точке x

. Угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла, образованного этой прямой с положительным направлением оси Ох. k= f '(x )=tg , где x

- абсцисса точки касания, а - угол наклона касательной к оси Ох. f '(x)=6x+5; f '(x

)= f '(

)=6. tg

=6. Ответ: 6. Задача 2. Напишите уравнение касательной к графику функции f(x) = 0,5x² – 3x + 1, проходящей под углом 45° к прямой y = 0. Решение. f '(x)= x-3. Из условия f '(x

) = tg 45° найдем x

: x

– 3 = 1, x

= 4. 1. x

= 4 – абсцисса точки касания. 2. f(4) = 8 – 12 + 1 = – 3. 3. f '(4) = 4 – 3 = 1. 4. y = – 3 + 1(x – 4). y = x – 7 – уравнение касательной Ответ: y=x-7. Задача 3. Под каким углом к оси Ох наклонена касательная к графику функции f(x)=x

lnx в точке x

=1. Решение. k= f'(x )=tg . Находим f '(x)= 2xlnx+x

=2xlnx+x=x(2lnx+1). При x

=1 получим f '(1)=1, откуда tg =1 и, значит, = . Ответ: . ПРИМЕР (САМОСТОЯТЕЛЬНО) К графику функции f(x) в точке с абсциссой x

проведена касательная. Найти тангенс угла наклона касательной к оси Ох если:

f(x)= 2+x-2x

, x

=1.

IV. Нахождение касательной проходящей через точку, внешнюю по отношению к заданному графику

Задача 1. Составить уравнения касательных к кривой y = x - 4x+3, проходящих через точку М(2;-5).

Решение.

При х =2, находим у = 4-8+3=-1 -5, то есть точка М не лежит на кривой y = x -4x+3 и не является точкой касания.

Пусть (х ) – точка касания.

у ' =2х-4, k = 2x - 4. Составим уравнение касательной, проходящей через точку М:

у =-5-(2х -4)(2-х ). Поскольку точка (х ) лежит на кривой, получим y = x -4x +3.

Решим уравнение x -4x +3 = -5-(2х -4)(2-х );

x -4x +3=2x -8x +3, x - 4x =0, (х ) =0, (х ) = 4.

Таким образом, получили две точки касания А(0;3) и В(4;3). Итак, существуют две касательные к данной кривой; одна из них имеет угловой коэффициент k = -4 (при х =0) и уравнение у = -4х+3, а другая – угловой коэффициент k =4 (при х =4) и уравнение у=4х-13.

Ответ: у =-4х+3, у = 4х-13.

ПРИМЕР (САМОСТОЯТЕЛЬНО)

Через точку М(х;у) проведены две касательные к графику функции f(x). Найти сумму абсцисс точек касания.

f(x)=4х

-8х-2, М(3;-90).

Дата добавления: 2020-12-22; просмотров: 201; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

Мы поможем в написании ваших работ!