Основные теоремы о пределах. Стр 118

Лекция №3

Тема : Предел функции в точке. Раскрытие неопределенности.

Предел числовой последовательности

Числовой последовательностью называется бесконечное множество чисел, имеющих определенные номера. Эти числа являются членами последовательности.

Последовательность обозначается: { у_n }или y_n или у₁, у₂, у₃, …, у_n, … где n=1, 2,… .

Число называется пределом последовательности , если, начиная с некоторого места, все члены этой последовательности будут сколь угодно мало отличаться от данного числа.

Пример: у_n₌

1; ; ; ……. ; ………

чем больше номер члена последовательности, тем меньше этот член отличается от числа 0

Обозначение = 0

Определение: Число b Є R называется пределом последовательности {у _n }, если по мере возрастания номера n , n -й член у _n неограниченно приближается к b .

Обозначение: = b или у_n при n

Говорят, что последовательность {у _n } сходится к b .

Понятие предела имеет и более строгое определение:

Постоянное число а называется пределом последовательности {x_n}, если для любого сколь угодно малого положительного числа ε > 0 существует номер N, что все значения x_n_, у которых n>N, удовлетворяют неравенству |x_n - a| < ε.

Определение. Последовательность, имеющая предел , называется сходящейся. Последовательность, не являющаяся сходящейся, называется расходящейся.

(подразумевается, что предел – конечное число).

Функция»

Определение: Если каждому числу х из множества чисел D поставлено в соответствие единственное число у, то говорят, что на множестве D задана функция f и пишут y=f(x), где х - называется независимой переменной или аргументом этой функции,

у, f(x) – зависимой переменной или функцией,

а множество D - областью определения этой функции.

Все значения, которые принимает функция f(x) (при х D), образуют область значения функции Е.

Существует три способа задания функции: табличный, аналитический (с помощью формулы у=f(х), где f(x) некоторое выражение с переменной х ), графический.

Пример. Функция у=f(х) задана аналитической формулой:

Найти f(0)

Чтобы найти f(0), надо в f(х) всюду вместо х подставить 0. Получим:

f (0) = =

Определение: Сложная функция – композиция нескольких функций.

Функцию y=f(φ(x)) называют композицией двух функций y=f(u) и u=φ(x).

Сложная функция может быть композицией большего числа функций: трех, четырех и т.д. Например, функция y=cos(x²+1) - композиция двух функций y=cosu и u=x²+1; функция y=lg(sin2^x) - композиция трех функций.

К основным элементарным функциям относятся пять классов функций: степенные, показательные, логарифмические, тригонометрические и обратные тригонометрические.

3. «Предел функции»

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х = а (т.е. в самой точке х = а функция может быть и не определена)

Определение. Число b называется пределом функции f(x) при х а, если по мере того, как х приближается к а(справа или слева) значение функции неограниченно приближается к b

Запись предела функции в точке: = b

Понятие предела функции в точке имеет и более строгое определение:

Пусть дана функция f(x) и пусть a - предельная точка области определения этой функции D(f), т.е. такая точка, любая окрестность которой содержит точки множества D(f), отличные от a. Точка a может принадлежать множеству D(f), а может и не принадлежать ему.

Определение 1. Постоянное число А называется пределом функции f(x) при x→ a, если для всякой последовательности {x_n} значений аргумента, стремящейся к а, соответствующие им последовательности {f(x_n)} имеют один и тот же предел А.

Это определение называют определением предела функции по Гейне, или “на языке последовательностей”.

Определение 2. Постоянное число А называется пределом функции f(x) при x→a, если, задав произвольное, как угодно малое положительное число ε, можно найти такое δ >0 (зависящее от ε), что для всех x, лежащих в δ -окрестности числа а, т.е. для x, удовлетворяющих неравенству | x-a |< δ , значения функции f(x) будут лежать в ε-окрестности числа А, т.е. |f(x)-A| < ε

Это определение называют определением предел функции по Коши, или “на языке ε - δ"

В том случае, если последовательность функций {f(x_n)} неограниченно возрастает (или убывает) при любом способе приближения x к своему пределу а, то будем говорить, что функция f(x) имеет бесконечный предел, и записывать это в виде:

= , = .