Метод разложения на множители.

Лекция: «Методы решения показательных уравнений».

1. Показательные уравнения.

Уравнения, содержащие неизвестные в показателе степени, называются показательными уравнениями. Простейшим из них является уравнение а^x = b, где а > 0, а ≠ 1.

1) При b < 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.

2) При b > 0 используя монотонность функции и теорему о корне, уравнение имеет единственный корень. Для того, чтобы его найти, надо b представить в виде b = a^с, а^x = b^с ó x = c или x = log_ab.

Показательные уравнения путем алгебраических преобразований приводят к стандартным уравнения, которые решаются, используя следующие методы:

1) метод приведения к одному основанию ;

2) метод оценки;

3) графический метод;

4) метод введения новых переменных;

5) метод разложения на множители;

6)  показательно – степенные уравнения;

7) показательные с параметром.

                           

2. Метод приведения к одному основанию.

Способ основан на следующем свойстве степеней: если равны две степени и равны их основания, то равны и их показатели, т.е. уравнение надо попытаться свести к виду

Примеры. Решить уравнение:                   

              1. 3^x = 81;

Представим правую часть уравнения в виде 81 = 3⁴ и запишем уравнение, равносильное исходному 3 ^x = 3⁴; x = 4. Ответ: 4.

            2.  

Представим правую часть уравнения в виде и перейдем к уравнению для показателей степеней 3x+1 = 3 – 5x; 8x = 4; x = 0,5. Ответ: 0,5.

               3.

Представим правую часть данного уравнения в виде 1 = 5⁰ и перейдем к уравнению для показателей степеней x²-3x+2 = 0, откуда легко получить решения x = 1 и x=2.

Ответ: 1 и 2.

               4.       

Заметим, что числа 0,2 , 0,04 , √5 и 25 представляют собой степени числа 5. Воспользуемся этим и преобразуем исходное уравнение следующим образом:

, откуда 5^-x-1 = 5^-2x-2 ó - x – 1 = - 2x – 2, из которого находим решение x = -1. Ответ: -1.

5. 3^x = 5. По определению логарифма x = log₃5. Ответ: log₃5.

6. 6^2x+4 = 3^3x. 2^x+8.

Перепишем уравнение в виде 3^2x+4.2^2x+4 = 3^2x.2^x+8, т.е.  далее

2^2x+4-x-8 = 3^3x-2x-4, т.е. 2^x-4 = 3^x-4. (Уже ясно, что x = 4). Перепишем уравнение, разделив на 3^x-4 ≠ 0.  Отсюда x – 4 =0, x = 4. Ответ: 4.

                 7. 2∙3^x+1 - 6∙3^x-2 - 3^x = 9. Используя свойства степеней, запишем уравнение в виде 6∙3^x - 2∙3^x – 3^x = 9 далее 3∙3^x = 9, 3^x+1 = 3² , т.е. x+1 = 2, x =1. Ответ: 1.

 

 Решить уравнение:

                 

 

 

3. Метод введения новых переменных.

Метод описан в п. 2.1. Введение новой переменной (подстановка) обычно производится после преобразований (упрощения) членов уравнения. Рассмотрим примеры.

Примеры. Решить уравнение: 1. .

Перепишем уравнение иначе:

Обозначим 5^x = t > 0, тогда   т.е. 3t² – 2t – 1 =0, отсюда t₁ = 1, -не удовлетворяет условию t > 0. Итак, 5^x = 1 = 5⁰ <=> x = 0. Ответ: 0.

2.

Решение. Перепишем уравнение иначе:

Обозначим   тогда  - не подходит.

t = 4 =>  Отсюда  - иррациональное уравнение. Отмечаем, что  

Решением уравнения является x = 2,5 ≤ 4, значит 2,5 – корень уравнения. Ответ: 2,5.

3. .

Решение. Перепишем уравнение в виде  и разделим его обе части на 5^6x+6 ≠ 0. Получим уравнение

2x²-6x-7 = 2x²-6x-8 +1 = 2(x²-3x-4)+1, т.е

Заменим 

       

 Корни квадратного уравнения – t₁ = 1 и t₂ <0, т.е. ,

x²-3x-4=0

x₁ = -1, x₂ = 4. Ответ: -1, 4.

 

 4. .

 Решение. Перепишем уравнение в виде

и заметим, что оно является однородным уравнением второй степени.

Разделим уравнение на 4^2x, получим    

Заменим          2t² – 5t +3 = 0 , где t₁ = 1, t₂ =   .

                                                                                                                                              

Ответ: 0; 0,5.

Решить уравнения:

а)

б)

в)

г)

 

Метод разложения на множители.

1. Решите уравнение: 5^x+1 - 5^x-1 = 24.

Решение. Перепишем уравнение в виде   

Теперь в левой части уравнения вынесем за скобки общий множитель 5^x.

Получим   , откуда

Ответ: 1.

2. 6^x + 6^x+1 = 2^x + 2^x+1 + 2^x+2.                        

Решение. Вынесем за скобки в левой части уравнения 6^x, а в правой части – 2^x. Получим уравнение 6^x(1+6) = 2^x(1+2+4) ó 6^x = 2^x.

Так как 2^x >0 при всех x, можно обе части этого уравнения разделить на 2^x, не опасаясь при этом потери решений. Получим 3^x = 1ó x = 0.

Ответ: 0.

3.

Решение. Решим уравнение методом разложения на множители.

Выделим квадрат двучлена

Ответ: 2.

4.

Решение. Преобразуем члены уравнения и перегруппируем слагаемые

  

x = -2 – корень уравнения.

Уравнение x + 1 = можно решить либо методом оценки, либо графически.

x = 1 – второй корень исходного уравнения.

Ответ: 1; -2.

Решить уравнения:

а) 48^x – 4^2x+1 – 3^x+1 + 12 = 0.

б) 5^2x-1 + 2^2x – 5^2x +2^2x+2 = 0.

в) 3^x – 2^x+2 = 3^x-1 – 2^x-1 – 2^x-3.

г) 4^x – 5 2^x+ 4 = 0.

 

---

Дата добавления: 2020-12-22; просмотров: 66; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!