Константу можно вынести из-под знака интеграла

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2

То есть, если , то

Доказательство: Найдём производную левой части. Используем свойство №1:

Найдём производную правой части. Используем правило и свойство №1:

Получены одинаковые результаты, из чего и следует справедливость данного свойства.

4) Неопределённый интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов:

Справедливо для любого количества слагаемых.

Посмотрим на таблицу интегралов - любой табличный интеграл (да и вообще любой неопределенный интеграл) имеет вид:

– значок интеграла.

– подынтегральная функция (пишется с буквой «ы»).

– значок дифференциала.

подынтегральное выражение или «начинка» интеграла.

– первообразная функция.

– множество первообразных функций. Самое важное, что в любом неопределенном интеграле к ответу приплюсовывается константа .

Решить интеграл – это значит найти определенную функцию , пользуясь некоторыми правилами, приемами и таблицей.

Еще раз посмотрим на запись:

Посмотрим в таблицу интегралов. Что происходит? Левые части превращаются в другие функции: . Упростим определение.

Решить неопределенный интеграл – это значит ПРЕВРАТИТЬ его в определенную функцию , пользуясь некоторыми правилами, приемами и таблицей.

Возьмем, например, табличный интеграл . Что произошло? превратился в функцию .

чтобы научиться находить интегралы, достаточно просто осуществлять превращения по некоторым формальным правилам. Так, в случае совсем не обязательно понимать, почему интеграл превращается именно в . Пока можно принять эту и другие формулы как данность. Все пользуются электричеством, но мало кто задумывается, как там по проводам бегают электроны.

Так как дифференцирование и интегрирование – противоположные операции, то для любой первообразной, которая найдена правильно, справедливо следующее:

Иными словами, если продифференцировать правильный ответ, то обязательно должна получиться исходная подынтегральная функция.

Вернемся к тому же табличному интегралу .

Убедимся в справедливости данной формулы. Берем производную от правой части:

– исходная подынтегральная функция.

Решить неопределенный интеграл – это значит найти множество всех первообразных, а не какую-то одну функцию. В табличном примере , , , и т. д. – все эти функции являются решением интеграла . Решений бесконечно много, поэтому записывают коротко:

Пример 1 Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.

Решение:

(1) Применяем правило . Не забываем записать значок дифференциала под каждым интегралом. – это полноценный множитель, первый шаг следует записать так:

(2) Согласно правилу , выносим все константы за знаки интегралов. Обратите внимание, что в последнем слагаемом – это константа, её также выносим.
Кроме того, на данном шаге готовим корни и степени для интегрирования. Точно так же, как и при дифференцировании, корни надо представить в виде . Корни и степени, которые располагаются в знаменателе – перенести вверх.

(3) Все интегралы у нас табличные. Осуществляем превращение с помощью таблицы, используя формулы: , и .
Внимание на формулу интегрирования степенной функции , она встречается очень часто, ее лучше запомнить. Следует отметить, что табличный интеграл – частный случай этой же формулы: .
Константу достаточно приплюсовать один раз в конце выражения (а не ставить их после каждого интеграла).
(4) Записываем полученный результат в более компактном виде, все степени вида снова представляем в виде корней, степени с отрицательным показателем – сбрасываем обратно в знаменатель.

Проверка. Для того чтобы выполнить проверку нужно продифференцировать полученный ответ:

Получена исходная подынтегральная функция, значит, интеграл найден правильно.

Дифференциал раскрывается следующим образом:

1) значок убираем;
2) справа над скобкой ставим штрих (обозначение производной);
3) в конце выражения приписываем множитель .

Например:

Пример 2 Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.
Решение:

Пример 3 Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.

(1) Используем формулу квадрата суммы , избавляясь от степени.

(2) Вносим в скобку, избавляясь от произведения.

(3) Используем свойства линейности интеграла (оба правила сразу).

(4) Превращаем интегралы по табличной формуле .

(5) Упрощаем ответ. Здесь следует обратить внимание на обыкновенную неправильную дробь – она несократима и в ответ входит именно в таком виде. Не нужно делить на калькуляторе ! Не нужно представлять ее в виде !

Проверка:

Получена исходная подынтегральная функция, значит, интеграл найден правильно.

В ходе проверки функцию всегда желательно «упаковать» до первоначального вида, вынося в данном случае за скобки и применяя формулу сокращенного умножения в обратном направлении: