Предельный переход в неравенстве. Первый признак существования предела. Первый замечательный предел.

Теорема (О предельном переходе в неравенстве).

Если величины и имеют пределы a и b (соответственно), то при справедливо неравенство . Теорема (первый замечательный предел)

. (1)

Теорема. Величина при стремится к пределу е.

На основании связи БМ и ББ имеет место и следующее равенство:

НАХОЖДЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПЕРВОГО И ВТОРОГО ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫХ ПРЕДЕЛОВ.

Первый и второй замечательные пределы служат теоретической основой для решения многих задач на вычисление пределов.

Задача 1. Вычислить .

Решение.

так как отношение функции имеющей конечный не равный нулю предел к функции бесконечно малой (Б.М.), есть функция бесконечно большая (Б.Б.).

Ответ: .

Задача 2. Вычислить .

Решение.

В данной задаче произвели преобразования, в результате

которых упростили выражение, стоящее под знаком предела.

Ответ: .

Задача 3. Вычислить .

Решение.

Получили неопределенность . Раскрыли эту неопределенность, создавая первый замечательный предел, т. е. отношение синуса б. м. аргумента к самому аргументу.

Ответ: 3.

Задача 4. Вычислить .

Решение.

Получили неопределенность вида . Так как при

функция - Б.М., то по первому замечательному пределу, получаем ответ 1.

Ответ: 1.

Задача 5. Вычислить .

Решение.

Имеем неопределенность вида . Преобразуем выражение

под знаком предела так, чтобы использовать первый замечательный предел и его следствия:

Применили теорему о пределе частного.

Ответ: .

Задача 6. Вычислить .

Решение.

Имеем неопределенность вида . Проведем преобразования,

для использования первого замечательного предела и его следствия:

Применили теорему о пределе частного.

Ответ: .

Задача 7. Вычислить .

Решение.

Неопределенность раскрываем с помощью следующих

преобразований:

Ответ: .

Задача 8. Вычислить .

Решение.

Получили неопределенность . Создать первый замечательный

предел сразу не удастся, так как аргумент не стремится к нулю. Введем новую переменную . Тогда

После ввода новой переменной стало возможным применить

первый замечательный предел и его следствие.

Ответ: .

В результате преобразований получили неопределенность вида , которая раскрывается с помощью следствия первого замечательного предела:

Ответ: .

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ С ПОМОЩЬЮ ЭКВИВАЛЕНТНЫХ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ

Вычисление предела значительно упрощается, если заменить одну бесконечно малую другой ей эквивалентной.

Таблица эквивалентных бесконечно малых при

1
2
3
4
5	при
6	при
7

Задача 1. Если , то какие из бесконечно малых величин являются величинами одного порядка по сравнению с ?

Решение. Рассмотрим пределы отношений данных величин к :

, , ,

, .

Итак, и являются БМ одного порядка с величиной , а и являются БМ высшего порядка по сравнению с величиной ; являются БМ низшего порядка по сравнению с величиной .