Потік магнітного поля. Теорема Гауса для магнітного поля в вакуумі.

Електромагнетизм

Електромагнетизм – розділ фізики, що досліджує властивості електромагнітного поля та взаємодію з цим полем інших видів матерії.

Теорія електромагнітних неквантових явищ називається класичною електродинамікою.

Виділяють чотири типи взаємодій:

1) гравітаційна ( );

2) електромагнітна ( );

3) сильна взаємодія – ядерна ( , короткодіюча);

4) слабка взаємодія – між вільними елементарними частинками ( , короткодіюча).

Структура матерії в ділянці просторових масштабів 10^-4–10^-18 зумовлена електромагнітною взаємодією. Для порівняння: . З чотирьох відомих взаємодій лише електромагнітна може бути використана для керування зарядженими частинками. На законах електродинаміки базуються електротехнічні, радіотехнічні та інші прилади.

Електростатика – вчення про властивості та взаємодію електричних зарядів, нерухомих відносно обраної для їх вивчення системи координат.

Розділ 1. Електростатичне поле в вакуумі.

§1 Електричний заряд та його характеристики. Закон збереження електричного заряду.

Електричний заряд – фізична характеристика частинки, яка визначає інтенсивність електромагнітної взаємодії.

[q]=Кл (Кулон)

Властивості:

1) заряд не є знаковизначеною величиною;

2) адитивність;

3) релятивістсько-інваріантний;

4) кратність: Q=±Ne, де e=1,6·10^-19 Кл.

5) сталість:

§2 Закон Кулона.

Закон взаємодії електричних зарядів відкритий Шарлем Кулоном в 1785 р. за допомогою крутильних ваг.

Розглянемо два позитивних електричних заряди, відстань між якими задається вектором . Тоді на заряд 1 діє з боку заряду 2 сила:

(1.1)

Одночасно на заряд 2 з боку заряду 1 діє сила . В системі СІ значення коефіцієнта k приймають за , де – електрична стала. Тоді закон Кулона запишеться у вигляді:

(1.2)

В системі з N+1 зарядів на заряд діятиме сила:

§3 Напруженість електричного поля.

Напруженість – фізична величина, яка чисельно дорівнює силі, що діє на одиничний позитивний заряд в даній точці поля.

(1.3)

Розглянемо поле, яке утворює точковий заряд. Сила, що діє на деякий інший заряд, що вміщений в поле досліджуваного дорівнює: , тоді напруженість .

Часто для опису електричного поля використовують графічне зображення. На них поле зображують кривими, які називають силовими лініями електричного поля. Їх будують так, щоб в кожній точці напрямок дотичної до лінії збігався з напрямком вектора напруженості в цій точці.

Поле сильніше там, де густина ліній більша, тобто

(1.4)

Принцип суперпозиції дозволяє розглядати поля, утворені різними зарядами, незалежно один від одного. При цьому . Цей принцип дозволяє розв’язати основну задачу електростатики: по заданому розподілу зарядів визначити напруженість поля.

Розподіл зарядів:

1) лінійний: ;

2) поверхневий: ;

3) об’ємний: .

Алгоритм розв’язання основної задачі електростатики:

1) відповідно до умови поділяють тіло на елементарні частини (dl, dS, dV);

2) обчислюють заряд, локалізований в даному елементі ( );

3) обчислюють ;

4) знаходять напруженість інтегруванням за l, S чи V.

Приклад: Обчислити напруженість поля, утвореного нескінченною довгою одноріднозарядженою ниткою з лінійною густиною заряду l.

§4 Теорема Гауса.

1. Потік векторного поля.

Розглянемо деяку рідину. Її течію можна характеризувати швидкістю . Об’єм рідини, що проходить в одиницю часу крізь деяку уявну поверхню S, називається потоком рідини крізь цю поверхню.

Обчислимо об’єм рідини, що протікає через поверхню dS за проміжок часу .

– потік векторного поля крізь площину S. Отже потік– величина скалярна, що залежить від взаємної орієнтації і .

Елементарний потік:

;

Потік вектора через замкнену поверхню чисельно дорівнює різниці числа ліній, що виходять з неї і що входять.

Окремі випадки:

, лінії йдуть неперервно;

, частина ліній починається в поверхні, існують джерела, +q;

,частина ліній закінчується в поверхні, існують стоки, -q.

Потік – це потужність джерел (стоків) вектора .

2. Теорема Гауса для електричних полів в вакуумі в інтегральній формі.

Розглянемо деяку поверхню S. Обчислимо потік, що протікає через неї.

– заряд знаходиться всередині поверхні;

– заряд поза поверхнею.

Потік вектора напруженості крізь довільну замкнену поверхню S в вакуумі дорівнює алгебраїчній сумі зарядів, зосереджених в об’ємі, що обмежений цією поверхнею, поділеній на .

(1.5)

Теорема Гауса і закон Кулона відображають одну і ту саму фундаментальну властивість електростатичного поля: його інтенсивність обернено-пропорційна квадрату відстані від точкового заряду.

Висновок: оскільки в загальному випадку потік не дорівнює нулю, то лінії електростатичного поля незамкнені. Вони починаються на позитивних зарядах, а закінчуються на негативних.

Доведена теорема в ряді випадків дозволяє розв’язати основну задачу електростатики. Для цього необхідна наявність певної симетрії в розподілі зарядів.

3. Застосування теореми Гауса для розрахунків електричних полів.

А) Поле нескінченої одноріднозарядженої площини.

Б) Поле нескінченого одноріднозарядженого круглого циліндру радіуса R.

В) Поле одноріднозарядженої кулі радіуса R.

Алгоритм розв’язання основної задачі електростатики:

1) висновок про симетрію поля;

2) вибір вигляду замкненої поверхні;

3) обчислення потоку крізь неї;

4) обчислення повного заряду всередині поверхні;

5) визначення залежності напруженості від відстані.

§5 Диференціальна форма теореми Гауса.

1. Дивергенція векторного поля

Величина потоку визначає сумарну алгебраїчну потужність джерел та стоків поля – об’єм рідини, що утворюється чи поглинається за одиницю часу.

– середня питома потужність джерел в одиниці об’єму.

Границю відношення потоку поля крізь замкнену поверхню до об’єму, що обмежений цією поверхнею, при стяганні його до точки називають дивергенцією поля в даній точці.

(1.6)

Фізичний зміст дивергенції – питомий потік, питома потужність джерел (стоків) поля.

Дивергенція – скалярна функція координат, локальна характеристика поля.

Обчислимо дивергенцію в декартовій системі координат.

Нехай дано точку та задано напруженість поля . Знайдемо зміну потоку через поверхню куба, що оточує точку А зі сторонами . Пронумеруємо грані куба так, щоб грані 1 та 2 були перпендикулярні осі , 3 та 4 – осі , а 5 та 6 – осі . Обчислимо потоки через ці грані:

Тоді потік вздовж осі :

– приріст середнього значення при зміщенні вздовж осі на .

Аналогічно:

Тоді

(1.7) – визначає дивергенцію вектора в т. в декартових координатах.

Позначимо . Тоді (1.8).

В сферичних координатах:

(1.9)

2. Теорема Гауса в диференціальній формі.

(1.10)

Дивергенція електричного поля в будь-якій точці поля дорівнює відношенню густини заряду в цій точці до електричної сталої.

Приклад: задано . Знайти об’ємну густину заряду .

3. Формула Остроградського-Гауса.

(1.11)

Потік векторного поля крізь довільну замкнену поверхню дорівнює інтегралу від дивергенції поля, взятому за об’ємом, що обмежений даною поверхнею.

§6. Потенціал електричного поля.

1. Потенціальність електричного поля.

Теорема про циркуляцію:

Сили, робота яких не залежить від траєкторії, а визначається лише початковим та кінцевим положенням тіла, називаються консервативними, а поля, утворені такими силами, називаються потенціальними.

(1.12)

Необхідним і достатнім критерієм потенціальності поля є умова рівності нулю циркуляції поля за будь-яким контуром.

2. Потенціал.

Якщо поле потенціальне, то

(1.13)

– відношення роботи, що виконується полем при переміщенні заряду між двома точками до величини заряду.

Потенціал електростатичного поля дозволяє ввести скалярну характеристику поля – різницю потенціалів, яка визначена однозначно і має абсолютний зміст.

Нехай в точці потенціал , знайдемо потенціал в точці .

Потенціал – робота, що виконується силами поля по переміщенню одиничного позитивного заряду з даної точки поля на нульовий рівень.

(1.14)

Потенціал поля точкового заряду:

(1.15)

§7. Зв’язок між напруженістю і потенціалом.

1. Обчислення потенціалу за напруженістю.

(1.16)

Якщо в точці потенціал , то

(1.17)

або в диференціальній формі:

(1.18)

Приклад. Нехай поле задане . Знайдемо потенціал , якщо

При розв’язанні задач є важливим:

1) раціональний вибір нульової точки;

2) раціональний вибір контуру інтегрування;

3) уважне ставлення до змінних підінтегральних виразів.

2. Обчислення напруженості за заданим значенням потенціалу.

Напруженість електричного поля в кожній точці поля дорівнює взятому із знаком “мінус” градієнту потенціалу.

(1.19)

Приклад. Для точкового заряду

(1.20)

Проекція вектора на напрямок переміщення dl дорівнює частинній похідній потенціалу по dl із знаком “мінус”.

З’ясуймо зміст дії оператора на скалярну функцію.

Якщо лежить в дотичній площині до еквіпотенціальної поверхні, то . Оскільки ні , ні не дорівнюють нулю, отримуємо, що кут між цими векторами дорівнює . Тобто перпендикулярний до еквіпотенціальної поверхні. З означення скалярного добутку випливає, що при одному і тому ж , буде максимальним, якщо .

Градієнт потенціалу – це вектор, спрямований в кожній точці простору за нормаллю до еквіпотенціальної поверхні в сторону найбільшого зростання потенціалу.

3. Про переваги потенціалу.

1) Необхідна менша кількість рівнянь. Так для задання поля за допомогою напруженості використовуються три рівняння:

а для потенціалу лише одне: .

2) Легкість знаходження роботи:

3) Різницю потенціалів можна безпосередньо виміряти приладами.

§8. Рівняння Пуассона та Лапласа.

Згідно з теоремою Гауса:

(1.21)

– рівняння Пуассона, дає можливість переходу .

Бувають випадки, коли заряди знаходяться на нескінченності, тобто в усіх точках. Тоді

(1.22)

- рівняння Лапласа.

§9 Електричний диполь.

Електричний диполь – це система двох однакових по величині різнойменних точкових зарядів +q та –q, розташованих на деякій фіксованій відстані l один від одного.

Пряма, що проходить через обидва заряди, називається віссю диполя.

Вектор, проведений від –q до +q, називається плечем диполя .

Електричний момент диполя:

[p]=Кл∙м

Електричний диполь називають елементарним або точковим, якщо l<<r, де r – відстань спостереження.

1. Поле диполя

Нехай r<<l, тоді ;

;

(1.23)

З (1.23) випливає, що для диполя .

;

; ; ;

(1.24)

Якщо ;

Для диполя

2. Електричний диполь в зовнішньому електричному полі

а) Диполь в однорідному полі

На диполь діє пара сил, момент якої

(1.25)

На електричний диполь в однорідному електричному полі діє момент сил, що намагаються зорієнтувати його за полем.

б) Потенціальна енергія диполя

;

(1.26)

;

; ;

Стан стійкої рівноваги

; ; ;

Стан нестійкої рівноваги

Формула (1.26) справедлива і для неоднорідного поля.

в) Диполь в неоднорідному полі

;

(1.27)

Величина, що стоїть у дужках – це міра неоднорідності поля.

; ;

;

Якщо диполь зорієнтований за полем ( ), то він втягується в ділянку сильного поля, інакше він виштовхується в ділянку слабкого поля.

Розділ 2. Електричне поле в діелектриках.

Діелектрики — речовини, що не проводять електричний струм.

В діелектриках відсутні вільні носії заряду, і заряджені частинки зміщуються на відстані порядка розмірів самих молекул

Опір діелектриків у разів більший за опір металів.

§1 Типи діелектриків.

Всі діелектрики розділяються на два типи — неполярні та полярні.

Полярні діелектрики — це такі діелектрики, молекули яких мають власні дипольні моменти без дії зовнішнього поля.

§2 Поляризація діелектриків.

Полярний діелектрик:

Неполярний діелектрик:

Переважна орієнтація електричних дипольних моментів молекул полярних діелектриків, або виникнення індукованих електричних дипольних моментів молекул неполярних діелектриків під дією електричного поля називають поляризацією діелектрика.

§3 Вектор поляризації. Діелектрична сприятливість речовини.

(2.1)

;

Кількісна міра поляризованості речовини є вектор поляризації, тобто сумарний електричний дипольний момент одиниці об’єму речовини визначений на фізичному нескінченно малому об’ємі околу даної точки.

(2.2)

- “каппа” - діелектрична сприйнятливість речовини. Вона показує, як діелектрик реагує на електричне поле у даній точці.

Ця формула справедлива для ізотропних діелектриків і для не дуже сильних полів.

§4 Поляризаційні заряди.

Заряди, що входять до складу молекул діелектрика, називають зв′язаними. Вони можуть лише трохи зміщуватись з положення рівноваги під дією зовнішнього поля.

1. Однорідний неполярний діелектрик в зовнішньому електричному полі

Особливістю і є те, що ці заряди не можна зняти чи розділити.

Існують лише поверхневі зв’язані заряди.

2. Неоднорідний неполярний діелектрик

—нескомпенсовані зв’язані заряди.

—об’ємна густина зарядів

— умова електричної нейтральності.(2.3)

§5 Властивості поля вектора .

1.Зв’язок між та поверхневою густиною зв’язаних зарядів .

;

(2.4)

Поверхнева густина зв’язаних зарядів чисельно дорівнює проекції вектора поляризації на зовнішню нормаль до відповідної поверхні.

У векторній формі:

(2.4)

(2.5)

Потік вектора поляризації крізь замкнену поверхню S в поляризованому діелектрику дорівнює сумарному зв’язаному заряду, що вийшов назовні.

2.Зв’язок між та об’ємною густиною зв’язаних зарядів .

Якщо діелектрик неоднорідний, то умова

електричної нейтральності .

(2.6)

Потік вектора крізь довільну замкнену поверхню S дорівнює взятому з протилежним знаком зв’язаному заряду в об’ємі, охопленому поверхнею S.

(2.7)

(2.8)

Дивергенція поляризованості в даній точці дорівнює об’ємній густині зв’язаних зарядів з протилежним знаком.

Тобто об’ємні зв’язані заряди є джерелами поля вектора

Приклад:

=Aexp( )

A, =const

§6 Опис поля всередині діелектрика. Діелектрична проникність.

Сторонні заряди – це заряди, що не входять до складу молекули діелектрика.

Поле в діелектрику – це векторна сума:

Оскільки швидкість електронів дуже велика, , то змінюється з часом

Можливий макроскопічний підхід до розгляду.

Залежністю E(t) можна знехтувати, вважати, що заряд ніби “розмазаний” стаціонарно і поле утворене деяким усередненим розподілом заряду.

< >=

макрополя, усереднені за фізично нескінченно малим об’ємом мікрополя сторонніх і зв’язаних зарядів відповідно.

Розглянемо ізотропний діелектрик, однорідно поляризований, і виріжемо з нього пластину, перпендикулярно до якої розташоване зовнішнє поле.

(2.9)

Р – міра внутрішнього поля в діелектрику.

χ , де χ – діелектрична сприйнятливість речовини.

χ , χ)=

(1+ χ)= (2.10)

1+χ=ε (2.11)

(2.11) – діелектрична проникність речовини.

- показує у скільки разів електричне поле у діелектрику послаблене у відношенні до його значення у вакуумі.

§7 Теорема Гауса для поля в діелектрику. Вектор електричного зміщення.

В вакуумі:

В діелектрику:

Однак

, а

Отже, треба ввести таку допоміжну величину, джерелами якої були б лише сторонні заряди.

(2.12)

- вектор електричної індукції або вектор електричного зміщення.

χ χ)

(2.13)

(2.13) справедлива для ізотропних діелектриків і не дуже сильних електричних полів.

В вакуумі:

Отже, ми одержали:

(2.14)

(2.14) – теорема Гауса для електричного поля в діелектрику в диференціальній формі.

Лише сторонні заряди є джерелами поля вектора електричного зміщення .

Одержимо теорему в інтегральній формі:

§8. Умови на межі поділу двох діелектриків для і .

b→0, E₁_x=E₂_x, E_1x=E_1τ, E_2x=E_2τ

(2.16)

(2.17)

Тангенціальні складові вектора напруженості електричного поля Е на межі поділу діелектриків неперервні, тангенціальні складові D зазнають розриву.

(2.18)

(2.19)

На межі поділу двох діелектриків нормальні складові вектора D неперервні, а нормальні складові вектора Е зазнають розриву.

ε₁>ε₂:

(2.20)

ε₁>ε₂:

Заломлення і розрив ліній вектора

Заломлення (сторонніх зарядів на границі немає)

§9. Сегнетоелектрики.

Існує група діелектриків, які за відсутності зовнішнього поля мають спонтанну (самочинну) поляризованість в невеликих, але макроскопічних об’ємах речовини, лінійні розміри яких l~10^-6 м.

До них відноситься сегнетова сіль, BaTiO₃.

Властивості:

1) ε~10⁴

2) χ χ = χ (E)

3) Електричний гістерезис (запізнення):

Доменна структура:

Якщо помістити сегнетоелектрик в електричне поле, дипольні моменти намагатимуться розвернутися за полем.

4) Наявність точок Кюрі.

Сегнетоелектрики проявляють особливі властивості лише в певному інтервалі температур. Для кожного діелектрика існує гранична температура, вище якої він стає звичайним полярним діелектриком. Ця температура називається точкою Кюрі q. Наприклад, сегнетова сіль має 2 точки Кюрі: q_верх=22,5 ^оС і q_нижн=-15 ^оС.

χ(T-θ)=const - закон Кюрі-Вейса.

Розділ 3. Провідники в електричному полі.

Провідники – речовини, які добре проводять електричний струм, мають малий опір.

В 1 см³ – N_e~10²²

§1. Незаряджений провідник у зовнішньому полі.

Явище електростатичної індукції.

Заряди – індуковані.

Переміщення відбувається, доки не встановиться такий розподіл зарядів, при якому всередині провідника , .

Висновки:

а)

Всередині провідника не буде нескомпенсованих надлишкових зарядів, їх ρ=0

б) Е=0;

Потенціал в провіднику однаковий в усіх його точках. Будь-який провідник в електростатичному полі являє собою еквіпотенціальну ділянку і його поверхня еквіпотенціальна. З цього випливає, що вектор E перпендикулярний поверхні провідника.

ρ=0 E=0 φ=const

§2. Електростатичне екранування.

В цілях захисту напівпровідникових приладів від електричних полів їх захищають металевою сіткою.

§3. Напруженість поля біля поверхні провідника та розподіл зарядів у провіднику.

(3.1)

Напруженість електричного поля поблизу поверхні провідника спрямована за нормаллю до поверхні і однозначно визначається поверхневою густиною зарядів.

Якщо зарядити провідник складної форми з вістрям:

При цьому: σ₁ >σ₃> σ₂

Можна уявити модель такого провідника у вигляді:

Отже, (3.2)

σ – обернено пропорційна радіусу кривизни поверхні.

§4. Електроємність провідника.

Надамо заряд відокремленому провіднику.

q® φ

2q ® 2φ

φ ~ q

(3.3)

Електроємність відокремленого провідника – відношення q до φ, показує який заряд q треба надати провіднику, щоб збільшити потенціал на одиницю. Характеризує здатність провідника до накопичування зарядів.

Приклад: обчислити С кулі з радіусом R, діелектричною проникністю ε.

(3.4)

(фарад)

Ємність 1 фарад – ємність такого провідника, при наданні заряду в 1 кулон потенціал якого змінюється на 1 вольт.

Ємність провідної кулі з розмірами Землі:

R_з=6400 км

С_з=0,7 мФ

§5. Конденсатори.

Потенціал зарядженого провідника зменшується при наближенні до нього інших незаряджених тіл, а ємність зростає.

С↑

Конденсатор – 2 провідні поверхні (обкладки), відокремлені шаром діелектрика і розташовані одна від одної на відстані, набагато меншій від лінійних розмірів поверхні (d<<L).

+q -q

φ₁ φ₂

(3.5)

Ємність конденсатора визначається його геометрією (форма, розмір обкладок, зазор між обкладками) та діелектричними характеристиками середовища.

Алгоритм розв’язку задач:

1) За теоремою Гауса знаходять Е в просторі між обкладками.

2) Обчислюють напругу:

3) Обчислюють С:

Приклади

1.Плоский конденсатор

d, S,ε

C-?

2.Циліндричний конденсатор

a, b, e, h

C - ?

3.Сферичний конденсатор

R₁, R₂, ε

C-?

U_max – максимальна напруга, яку можна подати на конденсатор. Якщо подати більшу напругу, відбудеться пробій конденсатора.

Розділ 4. Енергія електричного поля.

§1. Енергія взаємодії системи точкових зарядів. Власна електростатична енергія зарядженого тіла.

Є N точкових зарядів q₁, q₂,…,q_n

Wp_ik– потенціальна енергія заряду q_i в електростатичному полі, утвореному зарядом q_k.

(4.1)

(4.1´)

Вирази (4.1) і (4.1´) можна розглядати як взаємну потенціальну енергію зарядів q_i та q_k, розділених відстанню r_ik.

Wp_i– потенціальна енергія заряду q_iв полі інших зарядів.

де - потенціал, який утворюють всі інші заряди, в місці розташування q_i.

(4.2)

– енергія взаємодії системи точкових зарядів

- щоб двічі не враховувати одну і ту ж взаємодію.

Якщо заряд розподілений за поверхнею чи об’ємом:

(4.3)

Енергія взаємодії всіх елементарних зарядів, які утворюють повний заряд тіла, що розглядається, називається власною електростатичною енергією зарядженого тіла.

§2. Енергія зарядженого відокремленого провідника.

E=0, ρ=0, φ=const

(4.4)

Кожен з цих виразів дає власну енергію зарядженого провідника.

§3. Власна енергія зарядженого конденсатора.

q dq φ₁

-q -dq φ₂

(4.5)

Кожна з цих формул дає власну енергію конденсатора.

Знайдемо силу, з якою пластини плоского конденсатора притягуються.

(4.6)

– сила, з якою притягуються обкладки плоского конденсатора.

§4. Енергія електричного поля. Об’ємна густина енергії.

Плоский конденсатор:

(4.7)

– виражає енергію конденсатора через поле та його об’єм.

Висновок: носієм енергії є поле.

Енергія локалізована в полі.

(4.8)

ω – об’ємна густина енергії електричного поля. В кожній точці енергія визначається і ε.

(4.8)

В ізотропних діелектриках (властивості яких інваріантні до повороту) вектори і колінеарні.

(4.9)

Найбільш загальна формула, підходить навіть для неоднорідних полів.

(4.10)

Приклад: обчислити енергію поля, утвореного зарядом q провідної кулі радіуса R, розташованої в однорідному нескінченому діелектрику з діелектричною проникністю ε.

– з теореми Гауса

Перший доданок – густина енергії електричного поля у вакуумі.

Другий доданок – енергія, що витрачається на поляризацію одиничного об’єму діелектрика.

РОЗДІЛ 5. Постійний електричний струм.

§1.Характеристики електричного струму.

Електричним струмом називається перенос електричного заряду крізь деяку уявну поверхню S, наприклад, поперечний переріз провідника.

(5.1)

Сила струму – це величина заряду, що переноситься крізь поверхню S за одиницю часу.

1Кл – заряд, який переноситься через поперечний переріз провідника за 1с при силі струму в 1А.

(5.2)

, ,

де u – швидкість руху позитивних носіїв.

Модуль вектора чисельно дорівнює силі струму dI через елементарну площину, розташовану в даній точці перпендикулярно до напрямку руху носіїв.

В провідному середовищі виділимо площину S

(5.3)

(5.4)

Лінії струму проводять таким чином, щоб вектор був спрямований по нормалі в кожній точці до поверхні S.

(5.4)

Сила струму крізь довільну поверхню S – це потік вектора густини струму через цю поверхню. Сила струму скалярна і алгебраїчна величина.

§2.Закон збереження електричного заряду. Рівняння неперервності.

Заряд електрично ізольованої системи залишається сталим.

Розглянемо замкнену поверхню S в деякому провідному середовищі де тече струм.

- об’ємна густина.

(5.6)

(5.7)

(5.7) – рівняння неперервності.

(5.6) і (5.7) виражають закон збереження електричного заряду і є його математичним виразом.

якщо

-зменшиться.

Тобто джерелами та стоками вектора є швидкість зміни об’ємної густини електричного заряду в даній точці.

, , , ,

- такий струм не є стаціонарним. Для стаціонарного струму I не є функцією часу.

Згідно (5.7) одержимо

(5.8)

(5.8) – умова стаціонарності електричного струму.

Це означає, що у випадку стаціонарного струму поле вектора не має ні джерел ні стоків, лінії стаціонарного струму ніде не починаються і ніде не закінчуються, тобто лінії неперервні.

§3.Закон Ома для однорідного провідника.

Ом експериментально встановив, що

(5.9)

Сила струму, що протікає однорідним провідником, прямо пропорційна різниці напруги на кінцях провідника, коефіціент пропорційності , де R – опір провідника.

[R]=1Ом

1Ом – це опір, при якому тече струм 1А при напрузі 1В.

Для однорідного циліндричного провідника

де r - питомий опір, l – довжина провідника, S – поперечний переріз.

[r]=

Найкращі провідники мідь і алюміній(Cu,Al)

де a - температурний коефіцент.

Закон Ома в локальній (диференціальній) формі.

, (5.10)

де s - питома провідність.

[s]=См/м

См=1/Ом (Сіменс)

Електричне поле провідника зі струмом.

При наявності струму в провідному середовищі є макроскопічні заряди. Якщо струм стаціонарний, то розподіл зарядів в просторі з часом залишається.

Поле таких струмів буде потенціальним

при

Електростатичне поле

Навколо провідника зі струмом існує магнітне поле.

§4. Сторонні сили ЕРС та напруга.

;

Обчислимо циркуляцію вектора , що збігається з лінією струму. Якщо є лише кулонівське поле

Внаслідок потенціальності

Отже, j=0

Ми показали, що існування постійного струму при наявності лише кулонівського поля неможливе, тобто необхідна додаткова дія силового поля іншої природи.

Таким чином, в полі постійного струму поряд з ділянками, де позитивні носії струму рухаються в бік зменшення потенціала, повинні існувати ділянки, на яких перенос протилежних зарядів відбувається в напрямку зростання, тобто проти кулонівських сил. Це так звані сторонні сили.

Необхідні умови для існування струму:

1) наявність замкненого провідного контура;

2) дія в електричному колі сторонніх сил.

- напруженість сторонніх сил.

(5.11)

- електрорушійна сила, що діє на ділянці 1-2

(5.12)

Величина, що дорівнює роботі сторонніх сил по переміщенню одиничного позитивного заряду на ділянці 1-2, називається електрорушійною силою на цій ділянці.

[e]=Дж/Кл=В

- спад напруги на 1-2

(5.13)

Величина, яка чисельно дорівнює роботі, що виконується сторонніми і кулонівськими силами при переміщенні одиничного позитивного заряду по ділянці кола, називається спадом напруги або просто напругою U на даній ділянці.

Ділянка кола, на якій відсутні сторонні сили, називається однорідною.

-напруга для однорідної ділянки.

Лише такі сили можуть бути сторонніми, для яких циркуляція E

(5.14)

§5. Закон Ома для неоднорідної ділянки кола.

(5.15)

(5.15) – узагальнений закон Ома у локальній формі.

(5.16)

(5.16) – узагальнений закон Ома в інтегральній формі.

та I – величини алгебраїчні.

Якщо ЕРС сприяє переносу +заряду на даній ділянці, то вона більша за нуль.

Окремі випадки:

1) для однорідної ділянки.

2) , де r – внутрішній опір джерела. Для замкненого кола.

§6. Правила Кірхгофа для розгалужених електричних кіл.

- умова стаціонарності.

Алгебраїчна сума струмів, що сходяться у вузлі, дорівнює нулю.

(5.17)

1-2

2-3

3-1

(5.18)

Алгебраїчна сума добутків сил струмів в окремих ділянках в замкненому колі на їх опір, дорівнює алгебраїчній сумі ЕРС, що діють в колі.

§7. Робота та потужність струму. Закон Джоуля-Ленца.

(5.19)

(5.20)

Згідно з законом збереження енергії, еквівалентна цій роботі енергія повинна витрачатися на виконання ділянкою кола роботи над зовнішніми тілами (для цього ділянка повинна переміщуватися в просторі), на відбування хімічних перетворень, а також виділятися в формі внутрішньої енергії, в результаті чого провідник нагрівається.

Якщо провідник нерухомий і в ньому немає хімічних перетворень

(5.21)

Якщо , то за проміжок часу

За час t виділиться кількість теплоти

(5.22)

Одержимо закон Джоуля-Ленца в локальній формі.

(5.23)

(5.23) – закон Джоуля-Ленца в локальній формі.

Питома теплова потужність струму пропорційна квадрату густини струму та питомому опору провідника в даній точці.

§8. Основи класичної теорії електропровідності металів.

Властивості електричного струму в металевих провідниках і основні закони, що його описують, можна пояснити використавши уявлення, які базуються на законах класичної фізики з мікроскопічної точки зору.

Теорія Друде-Лоренца:

1) Припускають, що рух електрона описується законами класичної

механіки.

2) Поведінка сукупності носіїв описується законами класичної теорії (молекулярно-кінетичної теорії).

1901р. Рікке

1897р. Ленард і Джонсон відкрили електрон.

1916р. Толмен і Стюарт.

300 м/с

е/m

Отже, носіями струму в металах є електрони. Це було доведено експериментально.

Недоліки теорії:

3. Класична теорія не пояснювала явище надпровідності.

У 1911р. Камерлінг-Оннес відкрив стрибкоподібне спадання до нуля електричного опору деяких металів при низьких температурах. Уперше це явище було виявлене в дослідах із ртуттю при температурах Т<4,2 К.

У 1967 р. Боголюбов і незалежно американські фізики Бардін, Купер, Шріффер створили квантову теорію надпровідності.

Для пояснення надпровідності класична теорія не придатна.

Розділ 6. Магнітне поле постійних струмів у вакуумі.

§1 Вектор індукції магнітного поля.

У 1820 році Х.Ерстед експериментально виявив дію постійного електричного струму в провіднику на магнітну стрілку. У дослідах Ерстеда магнітна стрілка розміщувалася під або над провідником паралельно в напрямі південь – північ уздовж меридіана. Під час пропускання струму крізь провідник магнітна стрілка поверталася і намагалася установитися перпендикулярно до провідника. Зі зміною напряму струму в провіднику на протилежний змінювався і напрям дії сили на магнітну стрілку (стрілка поверталася на 180°).

У тому ж році А.Ампер встановив закон взаємодії двох елементів струмів, які містяться на певній відстані один від одного. Два паралельних провідники, по яких проходять струми однакового напряму, притягуються один до одного. Зміна напряму одного із струмів зумовлює відштовхування провідників зі струмом.

Висновки:

1) магнітне поле утворюється лише зарядами, що рухаються;

2) магнітне поле діє лише на рухомі заряди.

З узагальнення дослідних фактів випливає поняття силової характеристики магнітного поля — вектора магнітної індукції .

Властивості сили, з якою магнітне поле діє на нарухомі заряджені частинки:

- напрямок та величина сили залежить від напрямку та величини швидкості руху частинок. При цьому в кожній точці простору з магнітним полем завжди є такий напрямок, під час руху вздовж якого на заряджену частинку не діє поле;

- при довільному напрямі руху заряду напрямок сили, що діє на нього з боку поля завжди перпендикулярний площині, в якій лежать вектор і напрям поля ( ).

Величина магнітної сили буде пропорційна заряду частинки та перпендикулярній складовій її швидкості.

Вектор спрямований завжди таким чином, що з його кінця поворот вектора , діючого на позитивний заряд, що рухається в магнітному полі із швидкістю , відбувається за найменшою відстанню проти годинникової стрілки.

(6.1)

Величина В показує з якою силою магнітне поле діє на одиничний заряд, що рухається в полі з одиничною складовою швидкості v_^.

Принцип суперпозиції для магнітного поля: магнітне поле утворене декількома зарядами, що рухаються, або струмами, дорівнює сумі магнітних полів, породжених кожним зарядом або струмом окремо.

(6.2)

§2 Сила Лоренца.

Розглянемо заряд q, який рухається у магнітному полі з швидкістю . Тоді на заряд діє сила з боку магнітного поля:

(6.3)

Робота сили Лоренца дорівнює 0.

§3 Магнітне поле точкового заряду, що рухається повільно і рівномірно.

Простір ізотропний, тому, якщо заряд нерухомий, всі напрямки рівноправні. Звідси випливає, що створене точковим зарядом електростатичне поле є сферично-симетричним. Якщо заряд рухається з швидкістю , у просторі з’являється виділений напрямок (напрямок вектора ). Тому магнітне поле має осьову симетрію.

З узагальнення дослідних фактів одержали:

(6.4)

В СІ ,

§4 Магнітне поле елемента струму. Закон Біо-Савара-Лапласа.

- теплова швидкість хаотичного руху електронів

- дрейфова швидкість електронів

(6.5)

Це закон Біо-Савара-Лапласа.

Приклад.

Розглянемо магнітне поле прямого струму.

(6.6)

§5 Дія магнітного поля на провідник із струмом.

1. Сила Ампера

Якщо провідник, по якому тече струм, знаходиться в магнітному полі, то на кожний з носіїв струму діє сила:

де .

dq=endV=enSdl,

S – площа поперечного перерізу.

, , ,

, .

В результаті дії магнітного поля на окремі носії струму, вони набувають поперечного імпульсу, який повністю передається кристалічній гратці при зіткненні з йонами, що розташовані в її вузлах. Внаслідок цього на провідник зі струмом діє сила – сила Ампера.

(6.7)

(6.8)

Отже, 1Тл – це індукція такого поля, в якому на кожний метр провідника зі струмом 1А, розташованого перпендикулярно до лінії вектора , діє сила 1Н.

2. Сила взаємодії паралельних струмів

F ₁₂ = F ₂₁

b=1м I₁=I₂

F^*=2×10^-7×I²

Ампер – сила такого незмінного струму, який під час проходження двома провідниками нескінченної довжини нескінченно малого перерізу, розташованими в вакуумі на відстані 1м, утворює силу взаємодії 2×10^-7Н на кожен метр довжини.

3. Результуюча сила, що діє на контур з струмом

Якщо струм постійний, а магнітне поле однорідне, то =0

Результуюча сила, що діє на контур струму в однорідному полі, дорівнює нулю, тобто контур не буде переміщуватися.

§6 Магнітні властивості контура з струмом

1. Дипольний момент контура з струмом

(6.9)

[p_m]=А×м²

2. Магнітне поле на осі кільцевого струму

(6.10)

В центрі r=0 (6.11)

Якщо r >> R (6.12)

Висновки:

магнітне поле на осі малого контуру визначається формулою (6.12), що не залежить від форми контура;

формула (6.12) аналогічна формулі для напруженості електричного поля на осі диполя:

§7 Контур з струмом в зовнішньому магнітному полі.

1. Момент сил, що діють на контур зі струмом в зовнішньому однорідному полі

ab=S

(6.13)

Таким чином, на кільце з струмом в магнітному полі з індукцією діє обертальний механічний момент.

Висновок:

В зовнішньому магнітному полі елементарний контур з струмом поводить себе так само, як і елементарний диполь в зовнішньому електричному полі: він буде повертатися до положення стійкої рівноваги, при якому .

1Тл дорівнює магнітній індукції такого однорідного магнітного поля, в якому на плоский контур з струмом з магнітним моментом на 1А×м² діє максимальний обертальний момент, що дорівнює 1Н×м.

2. Потенціальна енергія контура зі струмом в магнітному полі

Якщо контур з струмом повертається в початковий стан, він повертає одержану енергію, виконуючи при цьому роботу над оточуючими тілами.

Отже, потенціальна енергія контура зі струмом:

const=0, W_p =- p_mBcosa,

(6.14)

Окремі випадки:

1) , a =0, M=0 - це умова рівноваги,

W_p=W_p^min=-p_mB - мінімальна енергія.

Отже, це положення стійкої рівноваги

2) , a = p /2, M = p_mB ,

W_p=0.

3) , a = p , M =0,

W_p = W_p^max = p_mB – положення нестійкої рівноваги.

3. Контур зі струмом в неоднорідному магнітному полі

Розглянемо замкнутий контур в неоднорідному полі. Виділимо елемент струму . По закону Ампера:

Þ контур має переміщуватись. Результуюча сила:

Вираз в дужках – міра неоднорідності магнітного поля.

F=F_x

(6.15)

- ця функція характеризує силу, що діє на контур з струмом в неоднорідному полі.

p_m >0 (за визначенням), Þ напрямок сили залежить від cosa

Якщо Þ cosa>0 Þ F_x>0 Þ контур буде рухатись в ділянку сильного поля.

Якщо Þ F_x=0 Þ такий контур рухатись не буде.

Якщо Þ cosa<0 Þ F_x<0 Þ контур буде рухатись в ділянку слабкого поля.

Висновок:

В зовнішньому неоднорідному магнітному полі контур з струмом буде втягуватись в ділянку сильного поля, якщо зорієнтований за полем ( ), і буде виштовхуватись в ділянку слабкого поля, якщо зорієнтований проти поля ( ).

4. Робота під час переміщення контура з струмом в магнітному полі

Розглянемо ділянку замкненого контура. Виділимо елемент струму .

Для того, щоб перемістити контур з струмом на , треба виконати роботу:

(6.16)

Робота, що виконується силами Ампера при переміщенні елемента струму в магнітному полі, дорівнює добутку сили струму на елементарний магнітний потік крізь поверхню, що утворюється при переміщенні елемента .

(6.17)

Робота амперових сил дорівнює добутку сили струму на приріст магнітного потоку крізь поверхню, що спирається на контур.

Розділ 7. Фундаментальні властивості магнітного поля.

Потік магнітного поля. Теорема Гауса для магнітного поля в вакуумі.

Нехай в просторі задана деяка поверхня S будь-якої форми. Виділимо елементарну площадку dS.

(7.1)

[Ф]=1Вб=1Тл × м²=1Н × м² / А × м=1В × с

1Вб – це потік магнітного поля при індукції 1Тл крізь площадку в 1м², розташовану ^ до вектора .

- кількість магнітних ліній, що виходять і входять в замкнену поверхню.

- поле заряда q, який рухається рівномірно і повільно.

(7.2)

Вираз (7.2) є теорема Гауса в локальній (або диференціальній) формі:

дивергенція магнітного поля всюди дорівнює нулю.

Дивергенція - це питома алгебраїчна потужність джерел. Отже, в природі не існує магнітних зарядів, які були б джерелами магнітного поля.

За теоремою Остроградського-Гауса:

, S -це замкнена поверхня, яка оточує об¢єм V. Отже, (7.3)

Це теорема Гауса для магнітного поля в вакуумі в інтегральній формі:

потік вектора магнітної індукції крізь довільну замкнену поверхню дорівнює нулю.

Отже, лінії магнітного поля завжди замкнені.

§2 Теорема про циркуляцію магнітного поля у вакуумі.

Циркуляція вектора :

Розглянемо прямий струм у тонкому провіднику, обмежимо його плоским контуром довільної форми.

Отже, циркуляція вектора за контуром l дорівнює добутку магнітної сталої на силу струму, що охоплюється цим контуром.

Якщо струм не охоплюється контуром:

, якщо струм

охоплюється

контуром

0, якщо струм

не охоплюється

контуром

інтегрування

Знак циркуляції може бути “+” і “-”. Знак циркуляції можна врахувати, вважаючи I алгебраїчною величиною. Додатнім вважають струм, напрямок якого пов¢язують з напрямом правила правого свердлика.

Нехай маємо струми I₁, I₂,…, I_N.

(7.4)

Циркуляція магнітного поля (вектора ) постійних струмів в вакуумі за довільним контуром l дорівнює добутку магнітної сталої на алгебраїчну суму струмів, що охоплюються цим контуром.

(7.5)

Той факт, що циркуляція вектора в загальному випадку не дорівнює нулю, говорить про те, що магнітне поле не є потенціальним на відміну від електростатичного.

Поняття скалярного потенціалу відсутнє.

§3 Обчислення магнітних полів за допомогою теореми про циркуляцію.

1) Магнітне поле прямолінійного провідника радіуса R нескінченної довжини з струмом I.

2) Магнітне поле нескінченно довгого соленоїда

n – кількість витків на одиницю довжини

Можна показати, що магнітне поле нескінченно довгого соленоїда зосереджене всередині каркаса, а назовні відсутнє взагалі.

У будь-якій точці соленоїда поле однорідне, і в будь-якій точці магнітна індукція дорівнює значенню магнітної індукції на осі.

(7.6)

n × I – кількість ампер-витків.

3) Магнітне поле тороїда

(7.7)

Алгоритм розв ¢ язку задач:

Аналіз симетрії магнітного поля.

Раціональний вибір контура.

Безпосереднє обчислення циркуляції вздовж контура.

Застосування теореми і вираження .

§4 Локальна форма теореми про циркуляцію.

За теоремою Стокса:

(7.8)

У кожній точці простору в вакуумі ротор магнітного поля дорівнює добутку магнітної сталої на вектор густини струму в цій точці.

§5 Потенціальні та вихрові поля

	Електростатичне поле	Магнітне поле
Силова характеристика
Теорема Гауса в інтегральній формі		поле соленоїдне
Теорема Гауса в локальній формі		поле бездівергентне
Теорема про циркуляцію	поле потенціальне
Теорема про циркуляцію в локальній формі		вихрове поле

Розділ 8. Магнітне поле в речовині. Магнетики.

§ 1. Магнітний момент атомів та молекул. Намагнічування. Вектор .

Атом – мікроскопічний контур з магнітним моментом

За відсутності зовнішніх полів речовина не проявляє магнітних властивостей, внаслідок теплового руху атомів. При дії магнітного поля виникає сумарний магнітний момент.

Під дією зовнішнього магнітного поля магнітні моменти набувають переважної орієнтації в напрямку поля, внаслідок чого речовина намагнічується.

Намагнічуванням називається явище виникнення в речовині об’ємного макроскопічного магнітного моменту.

Вектор намагнічування (намагніченість) – сумарний магнітний момент всіх молекул, визначений за фізично нескінченно малим об’ємом взятим в околі точки, що розглядається.

(8.1)

Залежить від:

а) величини магнітного поля в точці;

б) конкретних фізичних властивостей речовини

§2 Струми намагнічування. Теорема Гауса для магнітного поля в речовині.

Намагнічування речовини обумовлене переважною орієнтацією векторів

Те ж саме можна сказати і про елементарні кільцеві струми, пов’язані з кожною молекулою. Їх називають молекулярними струмами.

При намагнічуванні відбувається таке впорядкування руху зарядів в молекулах, в результаті якого по поверхні будь-якого виділеного в намагніченій речовини об’єму циркулює макроскопічний струм, що називається струмом намагнічення.

Струми, що утворюють магнітні моменти і не дають вклад в макроскопічні струми провідності, називаються струмами намагнічування.

- зовнішнє поле в речовині

(8.2)

Теорема Гауса в речовині має такий самий вигляд, як і у вакуумі.

(8.3)

Магнітне поле соленоїдальне.

§ 3. Теорема про циркуляцію магнітного поля в речовині. Вектор напруженості магнітного поля Н.

У вакуумі:

Застосовуючи формулу Стокса:

В речовині:

(8.4)

(8.5)

Треба знайти такий допоміжний вектор, ротор якого визначався б лише густиною макроскопічних струмів провідності.

Виберемо всередині речовини довільну поверхню S, яка обмежена контуром l і обчислимо .

В цю суму ненульовий вклад дають струми, які “нанизані”, бо всі інші або не перетинають поверхню, або перетинають її двічі.

Нанизані на цей контур будуть лише молекулярні струми, центри яких знаходяться всередині циліндра.

Сумарний струм, що охоплюється елементом dl:

-скалярний добуток двох векторів

(8.6)

(8.7)

Якщо в рівнянні (8.5) замінити , то:

(8.8)

У вакуумі:

(8.9)

- локальна форма теореми про циркуляцію вектора .

Ротор вектора напруженості магнітного поля в будь-якій точці магнетика дорівнює густині струмів в цій самій точці.

Проінтегруємо формулу (8.6) за будь-якою поверхнею S:

(8.10)

(8.10) – теорема про циркуляцію магнітного поля в речовині.

(8.10)

Циркуляція вектора напруженості магнітного поля за довільним контуром дорівнює алгебраїчній сумі макроскопічних струмів провідності, що охоплені цим контуром.

§4 Магнітна сприйнятливість. Магнітна проникність речовини.