Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение
Тема: Предел функции – определения, теоремы и свойства
Пожалуйста, попытайтесь самостоятельно мысленно проанализировать нижеследующее и запомните простейшие виды пределов:
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
Вы должны понимать и сразу решать простейшие пределы, такие как 
, 
, 
и т.д.
Пределы с неопределенностью вида 
и метод их решения
Сейчас мы рассмотрим группу пределов, когда 
, а функция представляет собой дробь, в числителе и знаменателе которой находятся многочлены
Пример:
Вычислить предел 
Согласно нашему правилу попытаемся подставить бесконечность в функцию. Что у нас получается вверху? Бесконечность. А что получается внизу? Тоже бесконечность. Таким образом, у нас есть так называемая неопределенность вида . Можно было бы подумать, что 
, и ответ готов, но в общем случае это вовсе не так, и нужно применить некоторый прием решения, который мы сейчас и рассмотрим.
Как решать пределы данного типа?
Сначала мы смотрим на числитель и находим 
в старшей степени:
Старшая степень в числителе равна двум.
Теперь смотрим на знаменатель и тоже находим в старшей степени:
Старшая степень знаменателя равна двум.
Затем мы выбираем самую старшую степень числителя и знаменателя: в данном примере они совпадают и равны двойке.
Итак, метод решения следующий: для того, чтобы раскрыть неопределенность необходимо разделить числитель и знаменатель на в старшей степени.
|
|
|
Разделим числитель и знаменатель на 
Пример 2
Найти предел
Снова в числителе и знаменателе находим в старшей степени:
Максимальная степень в числителе: 3
Максимальная степень в знаменателе: 4
Выбираем наибольшее значение знаменателя, в данном случае четверку.
Согласно нашему алгоритму, для раскрытия неопределенности 
делим числитель и знаменатель на 
.
Разделим числитель и знаменатель на
Пределы с неопределенностью вида 
и метод их решения
Общее правило: если в числителе и знаменателе находятся многочлены, и имеется неопределенности вида 
, то для ее раскрытия нужно разложить числитель и знаменатель на множители.
Для этого чаще всего нужно решить квадратное уравнение и (или) использовать формулы сокращенного умножения.
Итак, решаем наш предел
Разложим числитель и знаменатель на множители
Для того чтобы разложить числитель на множители, нужно решить квадратное уравнение:
Сначала находим дискриминант:
И квадратный корень из него: 
.
Далее находим корни:
Таким образом:
Всё. Числитель на множители разложен.
Очевидно, что можно сократить на 
:
Теперь и подставляем -1 в выражение, которое осталось под знаком предела:
|
|
|
Естественно, в контрольной работе, на зачете, экзамене так подробно решение никогда не расписывают. В чистовом варианте оформление должно выглядеть примерно так:
Разложим числитель на множители.
Пример
Вычислить предел 
Сначала «чистовой» вариант решения
Разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель: 
Знаменатель:
, 
Что важного в данном примере?
Во-первых, Вы должны хорошо понимать, как раскрыт числитель, сначала мы вынесли за скобку 2, а затем использовали формулу разности квадратов.
Рекомендация: Если в пределе (практически любого типа) можно вынести число за скобку, то всегда это делаем.
Более того, такие числа целесообразно выносить за значок предела. Зачем? Да просто чтобы они не мешались под ногами. Главное, потом эти числа не потерять по ходу решения.
Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение
Продолжаем рассматривать неопределенность вида
Следующий тип пределов похож на предыдущий тип. Единственное, помимо многочленов, у нас добавятся корни.
Пример 6
Найти предел 
Начинаем решать.
Сначала пробуем подставить 3 в выражение под знаком предела
Еще раз повторяю – это первое, что нужно выполнять для ЛЮБОГО предела. Данное действие обычно проводится мысленно или на черновике.
|
|
|
Получена неопределенность вида , которую нужно устранять.
Как Вы, наверное, заметили, у нас в числителе находится разность корней. А от корней в математике принято, по-возможности, избавляться. Зачем? А без них жизнь проще.
Когда в числителе (знаменателе) находится разность корней (или корень минус какое-нибудь число), то для раскрытия неопределенности используют метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение.
Вспоминаем нашу нетленную формулу разности квадратов: 
И смотрим на наш предел: 
Что можно сказать? 
у нас в числителе уже есть. Теперь для применения формулы осталось организовать 
(которое и называется сопряженным выражением).
Умножаем числитель на сопряженное выражение:
Умножили. Теперь самое время применить вверху формулу :
Пример
Найти предел 
Сначала попробуйте решить его самостоятельно.
Окончательное решение примера может выглядеть так:
Разложим числитель на множители:
Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение
Самостоятельная работа
|
|
|
В тетрадях для лекций записать теорию и решить задачи!
Только подробное решение самостоятельной работы отправляете по электронной почте:
luda 181929@ yandex . ru
В работе указывайте ФИО и группу
Пожалуйста, задания отправляйте по расписанию занятий, но не позднее следующего занятия, иначе такие работы не будут проверяться!!!
Отправляемым файлам даёте имя «фамилия, группа, дата занятия». Например: ПетроваИСП-О-19 12.04
Примечание: в помощь INTERNET иэлектронный учебник Башмаков М.И. для СПО и НПО 2017 год
Дата добавления: 2020-12-12; просмотров: 200; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!