Анализ умозаключений в логике высказываний

ТЕМА 6

УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ ЛОГИКИ ВЫСКАЗЫВАНИЙ

 

Язык логики высказываний

Логика высказываний была построена в 1879 г. немецким учёным Фреге, хотя её предшественниками следует считать представителей мегарской школы, возникшей в 4 в. до н. э. в рамках древнегреческой философии. Вслед за мегариками основные её идеи разрабатывались стоиками, школа которых существовала ещё во времена Римской империи. В средние века им трудно было конкурировать с логикой Аристотеля, опиравшейся на поддержку католической церкви. Поэтому логика высказываний стала привлекать внимание исследователей только с 17 в., когда на волне нарождавшегося капитализма началось интенсивное развитие математики и естествознания. Но потребовалось ещё два столетия, чтобы она превратилась в самостоятельную область логических исследований, специфика которой находит своё выражение в её языке и используемых методах.

Язык логики высказываний характеризуется словарём, т. е. перечнем исходных символов, а также понятием осмысленного выражения (или формулы). Словарь языка логики высказываний включает в себя бесконечное множество пропозициональных переменных

 

p, q, r, … ,

 

принимающих значения на множестве высказываний, и особые символы для пропозициональных связок: ~ – отрицание,  – конъюнкция,  – дизъюнкция и  – импликация. В качестве технических выражений используются скобки, которые играют роль знаков препинания обычного языка.  

Для того чтобы проиллюстрировать значение скобок в языке логики высказываний, обратимся к следующему примеру. Предположим, что нам надо записать символически высказывание «Я пойду домой или останусь здесь и буду её ждать». Пытаясь уяснить смысл этого высказывания, мы приходим к выводу, что оно допускает двоякое истолкование. Первое из этих истолкований заключается в том, что мы имеем дело с дизъюнкцией, дизъюнктами которой являются высказывания «Я пойду домой» (p) и «Я останусь здесь и буду её ждать» (q  r). Второе истолкование сформулированного нами высказывания заключается в том, что мы имеем дело не с дизъюнкцией, а с конъюнкцией, конъюнктами которой являются высказывания «Я пойду домой или останусь здесь» (p  q) и «Я буду её ждать» (r). Как видно, различие между двумя истолкованиями нашего высказывания существенно. Однако без использования скобок его выразить просто невозможно, поскольку в обоих случаях мы получаем одну и ту же формулу: p  q  r. Расставив скобки, мы получим уже две различные формулы:

 

p  (q  r)

 

и

 

(p  q)  r.

 

Таким образом, скобки позволяют нам более точно выразить тот смысл, который мы вкладываем в выражения языка логики высказываний.

Понятие формулы в логике высказываний определяется следующим образом:

· пропозициональная переменная является формулой;

· если A – формула, то ~ A также является формулой;

· если A и B – формулы, то A  B, A  B и A  B также являются формулами.

В отличие от пропозициональных переменных p, q, r, … , обозначающих конкретные высказывания, буквы A и B в определении формулы логики высказываний обозначают произвольные высказывания. Так, частным случаем схемы A  B является не только высказывание p  q, но и высказывания p  ~ q, ~ p  q, (p  q)  (q  r) и т. д. Все эти высказывания объединяет то, что главной связкой в них является конъюнкция, т. е. при их построении она применялась последней.

Формулы логики высказываний, образованные из переменных и связок с возможным использованием скобок, обозначают высказывания, которым в естественном языке соответствуют предложения как их материальная оболочка. Так, если переменной p придать значение «Народ недоволен», переменной q – значение «Растёт инфляция», а переменной r – значение «Жизненный уровень падает», то формула p  (q  r) будет обозначать высказывание «Если народ недоволен, то растёт инфляция или жизненный уровень падает», формула (q  r)  p – высказывание «Если растёт инфляция и жизненный уровень падает, то народ недоволен», формула ~ q  ~ p – высказывание «Если инфляция не растёт, то неверно, что народ недоволен» и т. д. Придавая переменным p, q и r иные значения (например, p – «Правительство проводит правильный экономический курс», q – «Рубль укрепляется», а r – «Инфляция падает»), мы получим другие переводы этих формул на обычный язык.

 

Истинностные таблицы

Логика высказываний (или пропозициональная логика) представляет собой раздел логики, в котором изучаются свойства пропозициональных связок, служащих для образования сложных высказываний из простых. Часто правильность наших умозаключений зависит от того, как мы понимаем пропозициональные связки. При этом нас не интересует структура простых высказываний (т. е. являются ли они, например, общеутвердительными или частноотрицательными), а интересует только то, как из них образуются сложные высказывания. Поэтому мы и называем простые высказывания атомарными, обозначая их отдельными буквами. Как известно, греческие философы Левкипп, Демокрит и их последователи полагали, что существуют неделимые частицы, которые они называли атомами и рассматривали как основу всего существующего. В отличие от древнегреческих атомистов, в логике не утверждают существование бесструктурных высказываний, а просто в некоторых случаях считают возможным отвлечься от их структуры. С одним из таких случаев мы сталкиваемся, например, в умозаключении

 

Если инфляция растёт, то уровень жизни людей падает. Инфляция растёт. Следовательно, уровень жизни людей падает,

 

для обоснования заключения которого необходимо знать, истинны ли его посылки и как понимается выражение «если, то» (импликация).

Имеются различные способы построения логики высказываний: табличный, аксиоматический и др. При табличном построении логики высказываний, которое мы выбираем как более приемлемое с интуитивной точки зрения, исходят из двух предпосылок, называемых семантическими. Вообще существует три уровня изучения языка – синтаксис, семантика и прагматика. Синтаксис изучает отношения между выражениями языка, отвлекаясь от описываемой им реальности, а также от его использователей. Центральное положение занимают в нём понятия аксиомы, теоремы, доказательства и т. д. Что касается семантики, то она изучает отношения между выражениями языка, с одной стороны, и описываемой им реальностью – с другой, но отвлекается от его использователей. Типично семантическими являются понятия значения, истины, лжи и др. Наконец, прагматика не только изучает отношения между выражениями языка и описываемой им реальностью, но и принимает во внимание его использователей, в качестве которых могут выступать отдельные люди или их группы. Центральное положение занимают в ней понятия знания, мнения, убеждения и т. д. Прагматический аспект изучения языка очень важен, но ещё не так детально разработан в науке, как семантический, которого мы и будем придерживаться в данной главе[1].

Первая семантическая предпосылка логики высказываний заключается в том, что каждое высказывание может быть либо истинным, либо ложным, но не тем и другим одновременно. Истина и ложь называются истинностными значениями (или просто значениями) высказываний. Первую обозначают обычно с помощью единицы (1), а вторую – с помощью нуля (0). Если в логике принимается два истинностных значения, то она называется двузначной (или классической) логикой. Помимо двузначной, существует многозначная (или неклассическая) логика, в которой принимается три или более истинностных значений. Корни многозначной логики можно обнаружить у Аристотеля, который для высказываний о случайных будущих событиях (например, «Завтра будет морское сражение») допускал третье значение – «неопределённо». Действительно, случайное событие может в будущем произойти, а может и не произойти. Поэтому высказывание об этом событии, сделанное сегодня, не может быть истинным или ложным, а может быть только неопределённым. Тем не менее вопрос о практическом использовании многозначной логики остаётся открытым, а сама она требует дальнейших исследований.

Вторая семантическая предпосылка логики высказываний заключается в том, что истинностные значения сложных высказываний зависят от истинностных значений входящих в них простых высказываний, а также от смысла пропозициональных связок. Установление смысла пропозициональных связок сводится к формулировке условий истинности для различных типов сложных высказываний, т. е. для отрицания, конъюнкции, дизъюнкции и т. д. Такие условия формулируются обычно с помощью истинностных таблиц, которые имеют преимущество наглядности по сравнению с другими способами определения пропозициональных связок. Несмотря на свою простоту, метод истинностных таблиц позволяет решать любые проблемы, возникающие в логике высказываний.

Истинностная таблица для отрицания включает в себя две строки, соответствующие возможным значениям некоторого высказывания A, к которому оно применяется:

 

A	~ A
1	0
0	1

 

Как видно из этой таблицы, высказывание ~ A ложно, если A истинно, и истинно, если A ложно. Так, высказывание «Банк Америки не является американским банком» ложно, поскольку высказывание «Банк Америки является американским банком» истинно. С другой стороны, высказывание «Банк Америки не является российским банком» истинно, поскольку высказывание «Банк Америки является российским банком» ложно.

Истинностные таблицы для конъюнкции, дизъюнкции и импликации включают в себя уже не две, а четыре строки, поскольку мы должны учитывать в них все возможные комбинации значений двух высказываний A и B, к которым они применяются:

 

A	B	A  B	A  B	A  B
1	1	1	1	1
1	0	0	1	0
0	1	0	1	1
0	0	0	0	1

 

Как видно из этих таблиц, конъюнкция истинна только тогда, когда все её конъюнкты истинны, а в остальных случаях она ложна. Дизъюнкция ложна только тогда, когда все её дизъюнкты ложны, а в остальных случаях она истинна. Импликация ложна только тогда, когда её антецедент истинен, а консеквент ложен, а в остальных случаях она истинна. Так, если высказывание «В Екатеринбурге проживает более одного миллиона человек» (p) истинно, а высказывание «Екатеринбург – столица России» (q) ложно, то высказывание «В Екатеринбурге проживает более одного миллиона человек и Екатеринбург – столица России» (p  q) ложно, высказывание «В Екатеринбурге проживает более одного миллиона человек или Екатеринбург – столица России» (p  q) истинно, а высказывание «Если в Екатеринбурге проживает более одного миллиона человек, то Екатеринбург – столица России» (p  q) ложно.

У каждого, кто впервые знакомится с истинностными таблицами для пропозициональных связок, естественно возникает вопрос, почему в своих строках они имеют те, а не иные значения. Почему, например, импликация в четвёртой строке своей истинностной таблицы истинна, а не ложна? Или, более общо, откуда вообще берутся те определения пропозициональных связок, которые находят своё отражение в истинностных таблицах? Конечно, эти определения не берутся логиками из головы, а рассматриваются ими как отражения языковой практики людей, т. е. практики использования людьми выражений «не», «и», «или», «если, то» и др. Определения пропозициональных связок являются моделями, с помощью которых описываются свойства этих выражений, выступающих в качестве оригиналов. Однако соответствие между моделью и оригиналом всегда бывает частичным, а не полным. То, что определения пропозициональных связок в общем и целом соответствуют языковой практике людей, ни у кого не вызывает сомнений. Более того, эти определения, ставшие с конца 19 в. неотъемлемой частью логики высказываний, уходят своими корнями во времена античности, когда их впервые стали использовать представители мегарской школы.

Используя истинностные таблицы для пропозициональных связок, мы можем построить истинностную таблицу для любого высказывания, записанного на языке логики высказываний. Такая таблица показывает, при каких условиях наше высказывание истинно, а при каких – ложно, т. е. даёт обзор условий его истинности. Для того чтобы проиллюстрировать процедуру построения истинностной таблицы, возьмём в качестве примера высказывание «Если я устал или голоден, то я не могу готовиться к занятиям». Обозначив его просты компоненты буквами p, q и r, мы получим формулу

 

(p  q)  ~ r,

 

построенную из них с помощью трёх пропозициональных связок – дизъюнкции, импликации и отрицания. Структура полученной нами формулы указывает на то, что при её построении вначале использовались дизъюнкция (p  q) и отрицание (~ r), а затем они были соединены с помощью импликации ((p  q)  ~ r). Поскольку эта формула построена из трёх пропозициональных переменных p, q и r, каждая из которых может быть либо истинной, либо ложной, число строк в её истинностной таблице равно восьми. Вообще число строк в истинностной таблице определяется по формуле 2ⁿ, где 2 – постоянная величина, равная числу истинностных значений, а n – число пропозициональных переменных, которое больше или равно единице, но всегда конечно. Итак, построив две вспомогательные таблицы для формул p  q и ~ r, мы получаем в конечном счёте истинностную таблицу формулы (p  q)  ~ r :

 

p	q	r	p  q	~ r	(p  q)  ~ r
1	1	1	1	0	0
1	1	0	1	1	1
1	0	1	1	0	0
1	0	0	1	1	1
0	1	1	1	0	0
0	1	0	1	1	1
0	0	1	0	0	1
0	0	0	0	1	1

 

Как видно из этой таблицы, высказывание «Если я устал или голоден, то я не могу готовиться к занятиям» истинно в пяти из восьми возможных случаев, а ложно – в трёх.

 

Анализ умозаключений в логике высказываний

Сталкиваясь на практике с необходимостью подвергнуть анализу то или иное умозаключение, мы обычно полагаемся на свою интуицию. Однако интуиция не может служить надёжным средством анализа умозаключений, поскольку она характеризуется такими чертами, как неясность, неустойчивость, фрагментарность и т. д. И здесь нам большую помощь может оказать логика, которая как раз занимается выработкой средств анализа умозаключений. Вообще логику можно рассматривать как совокупность теорий, изучающих различные виды умозаключений, которые используются нами для получения нового знания. В данной главе мы рассматриваем одну из таких теорий – логику высказываний, а в последующих главах будут рассмотрены ещё две – теория непосредственных умозаключений и силлогистика.

Для того чтобы установить правильность умозаключения, выраженного в обычном языке, мы должны сначала перевести его на язык логики высказываний, а затем убедиться, что из посылок в нём следует заключение, т. е. истинность посылок гарантирует истинность заключения. Обратимся к примеру, в качестве которого у нас будет выступать умозаключение

 

Я переутомился или заболел. Если бы я переутомился, то я бы раздражался. Я не раздражаюсь. Следовательно, я заболел,

 

состоящее из трёх посылок и заключения. Мы сможем назвать это умозаключение правильным, если мы убедимся в том, что принятие нами его посылок вынуждает нас принять и заключение. Прежде всего запишем сформулированное нами умозаключение в виде системы формул логики высказываний

 

p  q, q  r, ~ r  p

 

в которой посылки разделяются запятыми, а связка обозначается знаком « ». Затем построим истинностную таблицу, последние четыре колонки которой включают в себя значения, приписываемые посылкам и заключению анализируемого нами рассуждения:

 

p	q	r	p  q	q  r	~ r	p
1	1	1	1	1	0	1
1	1	0	1	0	1	1
1	0	1	1	1	0	1
1	0	0	1	1	1	1
0	1	1	1	1	0	0
0	1	0	1	0	1	0
0	0	1	0	1	1	0
0	0	0	0	1	1	0

 

В этой таблице нас интересуют строки, в которых посылки одновременно истинны. Как мы видим, посылки p  q, q  r и ~ r одновременно истинны только в одной строке – четвёртой. Но если мы посмотрим, каково значение заключения p в этой строке, то мы увидим, то им также является значение «истинно». Поэтому мы можем сказать, что истинность посылок нашего рассуждения несовместима с ложностью его заключения, т. е. заключение следует из посылок.

Анализ умозаключений включает в себя не только установление их правильности, но и обнаружение в них ошибок. Однако с помощью средств логики высказываний мы можем обнаружить только формальную ошибку, т. е. ошибку в форме умозаключения, представляющей собой способ связи его посылок и заключения. Эта ошибка имеет традиционное латинское название «non sequitur», которое на русский язык переводится как «не следует» или «не вытекает». Проиллюстрируем её на примере умозаключения

 

Если цены на товары широкого потребления растут, то население недовольно. Население недовольно. Следовательно, цены на товары широкого потребления растут,

 

которое на первый взгляд кажется правильным, но при ближайшем рассмотрении оказывается ошибочным, поскольку его посылки могут быть истинными, а заключение – ложным. Действительно, рассмотрим истинностную таблицу, соответствующую этому умозаключению:

 

p	q	p  q	q	p
1	1	1	1	1
1	0	0	0	1
0	1	1	1	0
0	0	1	0	0

 

Первая строка построенной нами истинностной таблицы показывает, что заключение нашего умозаключения может быть истинным при истинных посылках, однако третья строка говорит о том, что оно может быть и ложным. Иными словами, мы имеем дело с ошибкой «не следует» (или «не вытекает»).

Помимо формальной, в умозаключениях существуют и содержательные ошибки. Если первая из них касается способа связи, существующей в умозаключении между посылками и заключением, то последние связаны с нарушением требования истинности, которое предъявляется к посылкам. Содержательных ошибок в умозаключениях две – «основное заблуждение» и «предвосхищение основания». Первая из них заключается в том, что умозаключение основывается на ложных посылках. То, насколько большое внимание уделяется ей в логике, видно из её названия, которое является буквальным переводом латинского выражения «error fundamentalis», появившегося ещё несколько столетий назад. Ошибку «основное заблуждение» мы можем обнаружить, например, в умозаключении

 

Если активы банка превышают 3 триллиона рублей, то он относится к числу крупнейших российских банков. Активы Банка «Центр-инвест» превышают 3 триллиона рублей. Следовательно, Банк «Центр-инвест» относится к числу крупнейших российских банков,

 

поскольку одна из его посылок – вторая – ложна.

В вышеприведённом примере ложность одной из посылок легко установить, обратившись к банковским отчётам или справочной литературе. Однако порой мы сталкиваемся с умозаключениями, в которых ложность посылок неочевидна, хотя они и вызывают у нас сомнения. Иными словами, эти посылки сами нуждаются в обосновании, которое могло бы устранить наши сомнения. Мы перешли уже к рассмотрению второй содержательной ошибки в умозаключениях, названной нами «предвосхищение основания»[2]. Так, умозаключение

 

Если бы Цезарь был тираном, то он бы заслуживал смерти. Цезарь не был тираном. Следовательно, Цезарь не заслуживал смерти

 

основывается на сомнительной посылке «Если бы Цезарь был тираном, то он бы заслуживал смерти», поскольку идея предавать смерти тиранов далека от очевидности.

Ошибки в умозаключениях совершают люди, которые в одних случаях поступают осознанно, а в других – неосознанно. Поэтому мы можем их классифицировать в зависимости от того, осознанно они совершаются или нет. Ошибки в умозаключениях, совершаемые неосознанно, называются паралогизмами. Они являются следствием того, что у людей недостаточно развита логическая интуиция. Ошибки в умозаключениях, совершаемые осознанно, называются софизмами. Они связаны не с недостаточной развитостью у людей логической интуиции, а с их желанием ввести других людей в заблуждение, чтобы обманным путём достичь каких-то своих целей. Касаясь мотивации людей, совершающих ошибки в умозаключениях, мы выходим за рамки логики и вступаем в сферу теории аргументации, которая является комплексной наукой о различных формах обмена мнениями между людьми.

 

[1] То, насколько важно принимать во внимание использователей языка, видно из следующего примера: высказывание «Земля сотворена в шесть дней» далеко не все признают истинным, однако истинность высказывания «В Библии сказано, что земля сотворена в шесть дней» ни у кого не вызовет сомнений, поскольку в Библии действительно сказано, что земля сотворена в шесть дней (Бытие 1).

[2] Традиционное латинское название этой ошибки – «petitio principii», означающее буквально «требование обоснования».

---

Дата добавления: 2020-11-29; просмотров: 397; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!