Перевод чисел из любой системы счисления в десятичную
Решение задач по теме «Системы счисления»
Теоретический материал
Системы счисления
Системой счисления называется совокупность правил наименования и изображения чисел с помощью конечного набора символов, называемых цифрами.
Системы счисления бывают непозиционные и позиционные.
Система счисления называется непозиционной, если значение цифры в записи числа не зависит от позиции, которую она занимает в последовательности цифр, изображающей число. Примеры непозиционных систем счисления: римская, древнегреческая и др.
С истема счисления называется позиционной, если значение цифры в записи числа зависит от позиции, которую она занимает в последовательности цифр, изображающей число. Примеры позиционных систем счисления: десятичная, двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная и др.
В позиционных системах счисления основание системы счисления – это количество цифр, используемых в записи числа. В таблице собраны примеры нескольких систем счисления с указанием их основания и алфавита.
Название системы | Основание | Используемые цифры |
Десятичная | 10 | 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 |
Двоичная | 2 | 0,1 |
Восьмеричная | 8 | 0,1,2,3,4,5,6,7 |
Шестнадцатеричная | 16 | 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F |
В следующей таблице приведены первые 17 числе нескольких систем счисления:
Основание | |||||||||||||||||
«10» | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
«2» | 0 | 1 | 10 | 11 | 100 | 101 | 110 | 111 | … | ||||||||
«8» | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 20 |
«16» | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | A | B | C | D | E | F | 10 |
Обратите внимание, что при последовательном счете, начиная с нуля, в любой системе обязательно наступает момент, когда число становится двузначным и обозначается как «10». Появление двух знаков в изображении числа означает, что кончились знаки алфавита данной системы счисления и приходится использовать комбинацию из двух цифр.
|
|
Развернутая форма записи чисел
В позиционной системе счисления любое вещественное число может быть представлено в виде: Aq = ± (an-1qn-1+an-2qn-2 + … + a1q1 + a0q0 + a-1q-1 + a-2q-2 + … + a-mq-m) – развернутая форма числа.
Здесь:
А – само число,
q – основание системы счисления,
ai – цифры данной системы счисления (an-2; an-1 и др.),
n – число разрядов целой части числа,
m - число разрядов дробной части числа.
Пример 1. Записать в развернутом виде число А10 = 5124,23
5124,2310 = 5*103 + 1*102 + 2*101 + 4*100 + 2*10-1 + 3*10-2
Пример 2. Записать в развернутом виде число А8 = 327,14
327,148 = 3*82 + 2*81 + 7*80 + 1*8-1 + 4*8-2
Пример 3. Записать в развернутом виде число А16 = 3D,2E
3D,2E 16 = 3*161 + D*160 + 2*16-1 + E*16-2 = 3*161 + 13*160 + 2*16-1 + 14*16-2
Свернутой формой записи чисел называется запись в виде
|
|
A = an-1an-2…a1a0,a-1a-2…a-m . именно такой формой записи чисел мы пользуемся в повседневной жизни.
Перевод из десятичной системы в другие системы счисления
Алгоритм перевода целых чисел из десятичной системы счисления в любую другую.
1. Последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на основание новой системы счисления до тех пор, пока не получится частное, меньше делителя.
2. Полученные остатки, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, , привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления.
3. Составить число в новой системе счисления, записывая его, начиная с последнего частного.
Например, для перевода из десятичной системы в двоичную, делят на 2; для перевода в восьмеричную – на 8 и т.д.
Пример 4. 17510 à x2
Таким образом, 17510 à101011112
Пример 5. 17510 àх8
Таким образом, 17510 à2578
Пример 6. 17510 àх16
Число 15 в шестнадцатеричной системе записывается как «F», а число 10 – как «А». Таким образом, 17510 àAF16
Дробную часть числа, если таковая имеется, переводят по другому алгоритму.
1. Последовательно умножить данное число и получаемые дробные части произведения на основание новой системы счисления до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равна нулю или не будет достигнута требуемая точность представления числа.
|
|
2. Полученные целые части произведений, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления.
3. Составить дробную часть числа в новой системе счисления, начиная с целой части первого произведения.
Пример 7 0,62510à x2
0 , | 625 *2 |
0 | 1250 *2 |
0 | 2500 *2 |
0 | 5000 *2 |
1 | 0000 |
Получаем: 0,62510à 0,00012
П ример 8. 0,6562510à x8
0, | 65625 *8 |
5 | 25000 *8 |
2 | 00000 |
Получаем: 0,6562510à 0,528
П ример 9. 0,6562510à x16
0, | 65625 *16 |
10 (А) | 50000 *16 |
8 | 00000 |
Получаем: 0,6562510à 0,А816
Пример 10 . 0,910à x2
0 , | 9 *2 |
1 | 8 *2 |
1 | 6 *2 |
1 | 2 *2 |
0 | 4 *2 |
0 | 8 *2 |
1 | 6 |
…..
Этот перевод можно продолжать бесконечно. В этом случае деление производим до тех пор, пока не получим нужную точность представления числа.
Получаем: 0,910à 0,1110012 с точностью до семи значащих цифр после запятой.
Для перевода произвольных чисел, т.е. содержащих целую и дробную части, осуществляется в два этапа. Отдельно переводится целая часть, отдельно – дробная. В итоговой записи полученного числа целая часть отделяется от дробной запятой.
|
|
Пример 11. 2145,8610à х16. Дробную часть вычислять до пятого знака.
1) 214510à х16
214510à 86116
2) 0,8610à х16
0, | 86 *16 |
13 (D) | 76 *16 |
12 (C) | 16 *16 |
2 | 56 *16 |
8 | 96 |
15 (F) | 36 |
Получаем: 0,8610à 0,DC28F2 с точностью до пяти значащих цифр после запятой.
Перевод чисел из любой системы счисления в десятичную
Алгоритм перевода чисел из любой системы счисления в десятичную.
1. Представить число в развернутой записи. При этом основание системы счисления должно быть представлено в десятичной системе счисления.
2. Найти сумму ряда. Полученное число является значением числа в десятичной системе счисления.
Пример 12. 1101,012 ® х10
1. Запишем число 1101,012 в развернутой форме: 1*23 + 1*22 + 0*21 + 1*20 + 1*2-1 + 1*2-2.
2. Найдем сумму ряда: 23 + 22 + 20 + 2-1 + 2-2 = 8 + 4 + 1 + 0,5 + 0,25 = 13,7510.
Пример 13. 0,718 ® х10
1. Запишем число 0,718 в развернутой форме: 7*8-1 + 1*8-2.
2. Найдем сумму ряда: 7*0,125 + 0,0625 = 0,937510.
Перевод чисел из двоичной системы счисления в систему счисления с основанием
q = 2n.
Алгоритм перевода двоичных чисел в систему счисления с основанием q = 2n.
1. Целую часть двоичного числа разбить справа налево, а дробную - слева направо на группы по n цифр в каждой.
2. Если в крайней левой в целой части и/или в крайней правой в дробной части группе окажется меньше n разрядов, то их надо дополнить нулями до нужного числа разрядов.
3. Рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число изаписать ее соответствующей цифрой в системе счисления с основанием =2n.
Пример 14. 1101110,00012 ® х8
1101110,00012 ® 156,048
Пример 14. 1101110,00012 ® х16
1101110,00012 ® 6Е,116
Перевод чисел из системы счисления с основанием q = 2n в двоичную систему счисления.
Алгоритм перевода чисел из системы счисления с основанием q = 2n в двоичную систему счисления.
1. Каждую цифру числа, записанного в системе счисления с основанием q = 2n, заменить ее n-разрядным эквивалентом в двоичной системе счисления.
Пример 15. 315,028 ® х2
315,028 ® 11001101,000012
Пример 16. 12С16 ® х2
12С16 ® 1001011002
Двоичная арифметика
Таблица сложения двоичных чисел
+ | 0 | 1 |
0 | 0 | 1 |
1 | 1 | 10 |
1 означает перенос в следующий разряд
Таблица вычитания двоичных чисел
- | 0 | 1 |
0 | 0 | 11 |
1 | 1 | 0 |
1 означает заем из старшего разряда
Таблица умножения двоичных чисел
* | 0 | 1 |
0 | 0 | 0 |
1 | 1 | 1 |
Пример 17.
1101,01 + 111,10 10100,11 | 1001,10 -- 100,01 101,01 | 1011 * 101 ------ 1011 1011 ------------- 110111 |
Обратите внимание на то, что 1 +1 +1 = 1 + перенос 1 в следующий разряд |
Примеры из заданий ЕГЭ
1. Задание А1 демоверсии 2010 года (сайт )
Дано А=9D16, B=2378. Какое из чисел C, записанных в двоичной системе, отвечает условию A<c<="" p="">
1) 10011010 | |
2) 10011110 | |
3) 10011111 | |
4) 11011110 |
</c
Решение.
Переведем все данные нам числа в десятичную систему счисления. Проще будет сравнивать числа.
A = 9D16 = 9*161 + D*160 = 144 + 13*1 = 15710.
В = 2378 = 2*82 + 3*81 + 7*80 = 128 + 24 + 7 = 15910.
Значит, чтобы выполнялось условие A<c10. Сразу исключаем ответ под номером 3, так как это нечетное число.</c
Далее переведем 15810 в двоичную систему счисления. 15810 = 100111102. Правильный ответ 2.
2. Задание А4 демоверсии 2010 года (сайт )
Вычислите сумму чисел X и Y, если X=1101112 , Y=1358
Результат представьте в двоичном виде.
1) 110101002 2) 101001002 3) 100100112 4) 100101002 Решение. Переведем число Y = 1358 в двоичную систему счисления. |
Y = 1358 = 10111012. Выполним сложение двоичных чисел.
1 1 0 1 1 1
+ 1 0 1 1 1 0 1
-------------------
1 0 0 1 0 1 0 0 Правильный ответ 4.
3. Задание B3 демоверсии 2010 года (сайт )
В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 49 записывается в виде 100. Укажите это основание.
Решение.
Допустим, что основание системы равно х, тогда составим развернутую форму записи числа:
100х = 1*x2 + 0* x1 + 0*x0 = x2.
По условию задачи х2 = 4910. Найдем х:
х2 = 49 Þ х = 7.
Можно выполнить проверку. Переведем число 4910 в 7-ричную систему счисления:
Ответ: 7.
4. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 17 оканчивается на 2.
Решение.
Последняя цифра в записи числа представляет собой остаток от деления числа на основание системы счисления 17-2 = 15. Найдем делители числа 15, это числа 3, 5 ,15.
Выполним проверку, записав число 17 в системах счисления с основанием 3, 5 , 15:
1710 = 1223 = 325 = 1215.
Ответ: 3, 5, 15.
3. Задание B3 (Информатика: ЕГЭ-2009: Самые новые издания/ авт.-сост. О.В. Ярцева, Е.Н. Цикина. – М.: АСТ: Астрель, 2009)
В саду 100q фруктовых деревьев. Из них 33q яблони, 22q груши, 16q слив и 5q вишен. В какой системе счисления посчитаны деревья?
Решение.
По условию 33q + 22q + 16q + 5q + = 100q.
Воспользуемся развернутой формой записи чисел:
(3*q1 + 3*q0) + (2*q1 + 2*q0) + (1*q1 + 6*q0) + 5*q0 = 1*q2 + 0*q1 + 0*q0;
3q + 3 + 2q + 2 + q + 6 + 5 = q2;
q2 – 6q – 16 = 0 Þ q = 8. Проверку выполните самостоятельно.
Ответ: 8.
4. Задание B3 (Информатика: ЕГЭ-2009: Самые новые издания/ авт.-сост. О.В. Ярцева, Е.Н. Цикина. – М.: АСТ: Астрель, 2009)
(Информатика: ЕГЭ-2009: Самые новые издания/ авт.-сост. О.В. Ярцева, Е.Н. Цикина. – М.: АСТ: Астрель, 2009)
Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 41, запись которых в системе счисления с основанием 3, оканчивается на 12.
Решение.
В интервале от 4 до 41 выберем те числа, которые при делении на 3 дают остаток 2. Это 5, 8, 11, 17, 20, 23, 26, 29, 32, 35, 38, 41.
Далее из полученных чисел выберем, у которых частное от их деления 3, при делении на 3 еще раз, дает остаток 1.
1) 41: 3 = 13 (ост. 2)
13 : 3 = 4 (ост. 1) Þ 41 – искомое число.
2) 38 : 3 = 12 (ост. 2)
12 : 3 = 4 (ост. 0) – при переводе числа 38 в 3-ричную систему счисления получим число, оканчивающееся на 10, а не на 12 как нам требуется по условию задания. Не забудьте в ответе выписать полученные числа в порядке возрастания!
Ответ: 5, 14, 23, 32, 41.
5. Задание B3 (Информатика: ЕГЭ-2009: Самые новые издания/ авт.-сост. О.В. Ярцева, Е.Н. Цикина. – М.: АСТ: Астрель, 2009)
Сумму восьмеричных чисел 17 + 170 + 1 700 + … + 1 700 000 перевели в шестнадцатеричную систему счисления. Найдите в записи числа, равного этой сумме, третью цифру слева.
Решение.
Решим задание «в лоб». Найдем сумму восьмеричных чисел 17 + 170+1 700+17 000 + 170 000 + 1 700 000.
2 111 1078 ® х10 ® y16
2 111 1078 ® 561 73510 ® 89 24716.
Ответ: 2.
Дата добавления: 2020-11-29; просмотров: 122; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!