Молекулярно-кинетическая интерпретация явлений переноса
Работа 142
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТАТЕПЛОПРОВОДНОСТИ МЕТОДОМ НАГРЕТОЙ НИТИ
Цель работы – изучение теплопроводности воздуха как одного из явлений переноса в газах.
Введение.
Выведенная из состояния равновесия, любая макросистема стремится вернуться в равновесное состояние. Энтропия при этом растет, значит этот процесс необратим. Нарушение равновесия сопровождается возникновением потоков или частиц, или тепла, или электрического заряда и др. Соответствующие процессы называют явлениями переноса. Все они являются необратимыми.
Рассмотрим три явления переноса: диффузия, внутреннее трение и теплопроводность (причем в условиях, когда отклонения от равновесия малы). Сначала приведем эмпирические уравнения этих процессов — они применимы к любым средам (газообразным, жидким и твердым). Затем получим молекулярно-кинетический вывод данных уравнений для газов, который позволит нам раскрыть содержание коэффициентов, характеризующих соответствующие явления. - В дальнейшем придется использовать понятие потока той или иной физической величины через интересующую нас поверхность S. Напомним, поток — величина скалярная и алгебраическая. Его знак зависит от выбора положительного «направления»: с одной стороны поверхности S к другой или наоборот. Положительное направление обычно выбирают произвольно (за исключением замкнутых поверхностей, где по соглашению его выбирают наружу области, ограниченной этой поверхностью).
|
|
|
Мы будем рассматривать потоки в основном через плоские поверхности S, перпендикулярные оси X, выбирая положительное «направление» поверхности S совпадающим с ортом оси X. Если физическая величина будет переноситься через S в направлении оси X, будем считать соответствующий поток положительным, если же в обратном направлении, то — отрицательным.
Любое явление переноса связано с неодинаковостью в пространстве определенной величины. Например, поток тепла возникает в случае неодинаковости температуры в разных точках среды. На эту особенность потоков следует обратить внимание. Та же температура — это характеристика системы в целом, а здесь мы говорим, что она разная. Приходится вводить понятие локально го равновесия. В состоянии локального равновесия среда в каждой малой части своего объема находится в тепловом равновесии, однако равновесие между различными частями отсутствует.
Под малостью имеют в виду объем, размер которого намного превышает, например, среднее расстояние между соседними молекулами. При этом число частиц в таком объеме должно быть макроскопическим, чтобы можно было применять макроскопические параметры состояния теплового равновесия.
|
|
|
Диффузия. Так называют взаимопроникновение вещества в различных смесях, обусловленное тепловым движением молекул. Пусть смесь содержит две компоненты с парциальными плотностями 
и 
. Концентрация каждой компоненты стремится выровняться, возникают потоки массы обеих компонент, направленные в сторону уменьшения их плотностей. Экспериментально было установлено выражение для плотности потока массы i-й компоненты:
(1)
где D – коэффициент диффузии. Знак минус обусловлен тем, что поток i-й компоненты противоположен производной 
- ее называют градиентом плотности.
Внутреннее трение. Из механики известно, что сила трения между двумя слоями жидкости или газа, отнесенная к единице площади поверхности раздела слоев, равна
(2)
где 
— коэффициент вязкости (вязкость), производная 
- градиент скорости - характеризует степень изменения скорости жидкости или газа в направлении оси X, перпендикулярном направлению движения слоев.
Согласно 2-му закону Ньютона взаимодействие двух слоев с силой f можно рассматривать как процесс передачи в единицу времени импульса. Тогда (2) можно представить как
(3)
где 
- импульс, передаваемый ежесекундно от слоя к слою через единицу площади поверхности, т. е. плотность потока импульса. Знак минус обусловлен тем, что поток импульса противоположен по направлению градиенту .
|
|
|
Теплопроводность. Опыт показывает, что если в среде создать вдоль оси градиент температуры 
, то возникает поток тепла, плотность которого
χ 
Вт/ 
(4)
где χ - коэффициент теплопровод ности (теплопроводность). Знак минус стоит по той же причине: плотность потока противоположна по направлению градиенту .
В заключении отметим еще раз:
1) потоки всех величин являются алгебраическими. Их знак зависит от направления оси X. Достаточно обратить положительное направление этой оси на противоположное, и знак потока изменится;
2) во всех трех явлениях переноса направления плотностей потоков противоположны градиентам соответствующих величин. Это означает, что потоки всегда направлены в сторону уменьшения величин 
, и, Т, т. е. против их градиентов. Таким образом, для потоков существенны градиенты величин, имеющих тенденцию выравниваться.
Перейдем к обоснованию эмпирических законов переноса с молекулярно-кинетической точки зрения, причем только для газов.
Молекулярно-кинетическая интерпретация явлений переноса
|
|
|
Будем считать, что молекулы движутся по трем направлениям X, Y и Z, так что на каждое направление в одну сторону плотность потока молекул составляет
(5)
где п — концентрация молекул. Эти потоки и являются переносчиками определенных физических величин?. Плотность потока величины G, будем обозначать 
.
Пусть через интересующую площадку S молекулы будут переносить то значение величины G, которое они имели на расстоянии X от площадки S. Т. е. будем предполагать, что последнее соударение молекулы испытывают на этом расстоянии от S.
Общее уравнение переноса. Пусть величина G характеризует определенное молекулярное свойство, отнесенное к одной молекуле. Это может быть энергия, импульс, электрический заряд и др. Ясно, что при наличии градиента величины G должен возникнуть поток в сторону ее уменьшения.
Пусть величина G меняется только в направлении оси X, например. Площадку S будут пронизывать молекулы, движущиеся во встречных направлениях, их плотность потоков обозначим 
и 
.Причем они должны быть равны друг другу ( j' = j"), что бы не возникало газодинамических потоков и чтобы все процессы сводились только к переносу величины G.Тогда для результирующей плотности потока величины G можно записать:
(6)
Благодаря малости 
разность значений 
представим в виде
(7)
С учетом этой формулы выражение (6) запишем так:
(8)
Это и есть общее уравнение переноса для любой величины G.
Здесь 
— концентрация молекул, 
— их средняя тепловая скорость. Значения этих величин берутся в сечении S.
Применим это уравнение к явлениям переноса – теплопроводности. В этом явлении величиной G в (8) является средняя энергия теплового движения, приходящаяся на одну молекулу. Из теоремы о равнораспределении энергии по степеням свободы имеем 
, и тогда плотность потока тепла
(9)
Для упрощения этой формулы введем удельную теплоемкость 
. Для этого обратим внимание на то, что 
— это теплоемкость при постоянном объеме, рассчитанная на одну молекулу. Произведение данной величины на концентрацию п0 дает теплоемкость единицы массы су, умноженную на плотность газа . Таким образом, учитывая, что 
, перепишем (9) в виде
(10)
Из сравнения этого выражения с формулой (4) видим, что теплопроводность
(11)
где, cv— удельная теплоемкость, отнесенная к единице массы, 
Единицей теплопроводности является Вт/(м-К).
При заданной концентрации , теплопроводность зависит в основном от средней скорости . Из-за этого легкие газы обладают значительно большей теплопроводностью, чем тяжелые, поскольку ~ 
. Например, при нормальных условиях кислород имеет теплопроводность 
, а водород — 
Анализ коэффициентов переноса. Запишем три коэффициента рассмотренных явлений переноса:
(12)
Все три коэффициента, D, и 
, с ростом температуры Т увеличиваются, так как ~ 
.
Поскольку ~ 
, а 
~ , то как вязкость , так и теплопроводность не зависят от концентрации, а значит и от давления (при неизменной температуре).
Приведенные выше расчеты и результаты относятся к так называемым стационарным задачам, когда распределение интересующей нас величины Gзависит только от координат. Но процессы переноса (выравнивания величины G)зависят и от времени. Это обстоятельство приводит к необходимости решать нестационарные задачи, учитывающие зависимость величины G как от координат, так и от времени.
Для решения подобных уравнений необходимо знать начальные и граничные условия. Если они заданы и известен коэффициент переноса, то задача является чисто математической, и ее решение подробно рассматривается, в курсе математической физики.
Теория метода
Распространение теплоты в газах осуществляется тремя способами: тепловым излучением (перенос энергии электромагнитными волами), конвекцией (перенос энергии за счет перемещения слоев газа в пространстве из областей с более высокой температурой в области с низкой температурой) и теплопроводностью.
Теплопроводность – это процесс передачи теплоты от более нагретого слоя газа к менее нагретому за счет хаотического теплового движения молекул. При теплопроводности осуществляется непосредственная передача энергии от молекул с большей энергией к молекулам с меньшей энергией. Для стационарного процесса, при котором разность температур в слое газа не изменяется со временем, количество теплоты δQ, которая переносится вследствие теплопроводности за время dτ через поверхность площадью S, перпендикулярную к направлению переноса энергии, в направлении уменьшения температуры, определяется по закону Фурье:
(13)
где χ– коэффициент теплопроводности; dT/dr – градиент температуры.
Для идеального газа
(14)
здесь ρ - плотность газа; λ- средняя длина свободного пробега молекулы;
< 
> - средняя скорость теплового движения молекул,
< 
>= 
- удельная теплоемкость газа при постоянном объеме.
Рассмотрим два коаксиальных цилиндра, пространство между которыми заполнено газом. Если внутренний нагревать, а температуру наружного цилиндра поддерживать постоянной, ниже температуры нагревателя, то в кольцевом слое газа возникает радиальный поток теплоты, направленный от внутреннего цилиндра к наружному. При этом температура слоев газа, прилегающих к стенкам цилиндров, равна температуре стенок. Выделим в газе кольцевой слой радиусом r, толщиной dr и длиной L. По закону Фурье (13) тепловой поток q=δQ/dτ, т.е.количество теплоты, которая проходит через этот слой за одну секунду. можно записать в виде
(15)
Распределяя переменные, получим
Тогда
или
(16)
Здесь T1, R2 и T1, R2 – соответственно температуры поверхностей и радиусы внутреннего и наружного цилиндров.
Из уравнения (16) получим формулу для определения коэффициента теплопроводности газа:
(17)
Формулу (17) получили в предположении, что теплота переносится от внутреннему к наружному цилиндру только благодаря теплопроводности. Это предположение достаточно обосновано, поскольку поток лучистой энергии при невысоких температурах и малом диаметре нагревателя составляет незначительную часть количества теплоты, которая переносится, а конвекция устраняется подбором диаметра наружного цилиндра и его вертикальном расположении в экспериментальной установке.
Внутренним цилиндром может служить тонкая проволока (нить). Обычно вольфрамовая, которая нагревается электрическим током. Тогда после установления стационарного режима тепловой поток можно принять равным мощности электрического тока, протекающего через проволоку.
где Iн – ток через проволоку; Uн – падение напряжения на проволоке.
Если последовательно с проволокой включить эталонный резистор сопротивления Rр, то
и тогда
(18)
где Up – падение напряжения на эталонном резисторе
Используя равенство (18) в формуле (17). получим
(19)
здесь D и d - диаметры наружного цилиндра и проволоки; 
- разность температур проволоки и наружного цилиндра (трубки).
Температуру трубки T можно принять равной температуре окружающего воздуха.
Для вычисления разности температур ΔT в слое газа напишем формулы, по которым определяют сопротивление проволоки при температуре окружающего воздуха и в нагретом состоянии:
где Rо сопротивление проволоки при температуре t = 0o C; α- температурный коэффициент сопротивления материала проволоки.
Исключив из этих равенств Rо, найдем
Учитывая, что 
и
получим,
(20)
где Uн, Uн.о. – падение напряжения на проволоке соответственно в нагретом состоянии и при температуре окружающего воздуха t0; Uр, Uр.о. – падение напряжения на эталонном резисторе соответственно при нагретой проволоке и при температуре окружающего воздуха tо.
Экспериментальная установка
Для определения коэффициента теплопроводности воздуха предназначена экспериментальная установка ФПТ1-3, общий вид которой показан на рисунке 1.
Рабочий элемент установки представляет собой стеклянную трубку, заполненную воздухом, вдоль оси которой натянута вольфрамовая проволока 4. Температура трубки в ходе эксперимента поддерживается постоянной, благодаря принудительной циркуляции воздуха между трубкой и кожухом блока рабочего элемента 3,которая осуществляется с помощью вентилятора, находящегося в блоке рабочего элемента. Температура воздуха в трубке измеряется цифровым термометром 2. Значение напряжения на эталонном резисторе Up и на проволоке UH измеряют цифровым вольтметром. Значение напряжения на проволоке устанавливается регулятором «Нагрев», который находится на передней панели приборов.
1. Геометрические размеры рабочего элемента: диаметр трубки D = 26±1 мм, диаметр проволоки d = 0,64 мм, длина трубки L = 0,402 м;
2. Параметры рабочего элемента: материал ̶ вольфрам, электрическое сопротивление ̶ 11±1 Ом, температурный коэффициент сопротивления α = 4,1×10-3 Ом/ºС, точность измерения температуры ±1ºС;
3. Параметры эталонного резистора RP – сопротивление эталонного резистора – 41,5 Ом.
Рисунок 1 Общий вид экспериментальной установки ФПТ1-3
1 - блок приборов; 2 – цифровой термометр; 3 – блок рабочего элемента; 4 – вольфрамовая проволока; 5 – датчик температуры (термопара)
Порядок выполнения работы.
1. Включить установку тумблером «Сеть». Включить тумблер «Нагрев».
2. Нажать кнопку “Uр” (режим измерения падения напряжения на эталонном резисторе) и с помощью регулятора «Нагрев» установить падение напряжения не более 0,06 В, при котором температура проволоки остается практически неизменной ( “не нагревающий” ток).
3. Нажать кнопку «Uн» (режим измерения падения напряжения на проволоке) и зарегистрировать падение напряжения.
4. Повторить измерения по пп. 2-3 для 3-5 значений напряжения Uр.о.. Все результаты занести в таблицу №1.
5. Нажать кнопку “Uр” и с помощью регулятора “нагрев” установить падение напряжения на эталонном резисторе Uр в диапазоне 0,3 ... 1,5 В.
6. Подождав две минуты, что необходимо для стабилизации теплового режима рабочего элемента, нажать кнопку “Uн” и определить падение напряжения на проволоке Uн
7. Повторить измерения по пп. 5-6 для 3-5 значений падения напряжения Uр. Результаты занести в таблицу 1.
Таблица 1.
| Номер измерен. | Up.о., B | Uн.о., В | tо, оC | Uр, B | Uн, B | ΔT, K | χ, Вт/(м·К) |
| 1. | |||||||
| 2. | |||||||
| 3. | |||||||
| 4. | |||||||
| 5. |
8. Установить ручку регулятора “Нагрев” на минимум. Отключить тумблер “Нагрев”, после чего отключить установку тумблером “Сеть”.
Дата добавления: 2020-11-29; просмотров: 161; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!