Приведем другой способ решений.

Решение.

Всего на теплоходе 1030 человек. Разделим 1030 на 70:

Значит, на теплоходе должно быть 15 шлюпок.

Ответ: 15.

2. На рисунке показано изменение температуры воздуха на протяжении трёх суток. По горизонтали указывается дата и время, по вертикали — значение температуры в градусах Цельсия. Определите по рисунку разность между наибольшей и наименьшей температурами воздуха 23 января. Ответ дайте в градусах Цельсия.

Решение.

Из графика видно, что 23 января наибольшая температура составляла −13 °C, а наименьшая −22 °C. Их разность составляет 9 °C.

Ответ: 9.

Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение.

Площадь треугольника равна разности площади большого прямоугольника и трех прямоугольных треугольников, гипотенузы которых являются сторонами исходного треугольника. Поэтому

см².

Ответ: 9,5.

Перед началом первого тура чемпионата по шашкам участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 36 шашистов, среди которых 15 спортсменов из России, в том числе Евгений Коротов. Найдите вероятность того, что в первом туре Евгений Коротов будет играть с каким-либо шашистом из России.

Решение.

В первом туре Евгений Коротов может сыграть с шашистами, из которых 14 — из России. Значит, вероятность того, что в первом туре Евгений Коротов будет играть с каким-либо шашистом из России, равна

Ответ: 0,4.

5. Найдите корень уравнения

Решение.

Перейдем к одному основанию степени:

Ответ: 1.

6. В треугольнике , , Найдите высоту

Решение.

Последовательно получаем:

Ответ: 4.

На рисунке изображён график функции — производной функции f(x) определённой на интервале (1; 10). Найдите точку минимума функции f(x).

Решение.

Точки минимума соответствуют точкам смены знака производной с отрицательного на положительный. На интервале (1; 10) функция имеет одну точку минимума x = 9.

Ответ: 9.

8. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые).

Решение.

Объем многогранника, изображенного на рисунке, равен сумме объемов двух прямоугольных параллелепипедов с ребрами 3, 2, 1 и 1, 1, 2 (все двугранные углы многогранника прямые):

Ответ: 8.

9. Найдите значение выражения при

Решение.

Выполним преобразования:

Ответ: 16.

10. При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон Па м⁵, где — давление в газе в паскалях, — объeм газа в кубических метрах, Найдите, какой объём (в куб. м) будет занимать газ при давлении , равном Па.

Решение.

Поскольку произведение давления на степень объёма постоянно, а давление не ниже , при заданных значениях параметров и Па м⁵ имеем неравенство:

Ответ: 27.

11. Вова и Гоша решают задачи. За час Вова может решить на две задачи больше, чем Гоша (при этом оба за час решают целое количество задач). Известно, что вместе они решат 33 задачи на 1 час 15 минут быстрее, чем это сделал бы один Вова. За какое время Гоша может решить 20 задач? Ответ дайте в часах.

Решение.

Обозначим — число задач, которые решает за час Гоша, тогда Вова за час решает задач. Вместе они решат 33 задачи на 1 час 15 минут быстрее, чем это сделал бы один Вова, отсюда имеем:

Поскольку за час мальчики решают целое количество задач Таким образом, Гоша решает 10 задач в час и решит 20 задач за 2 часа.

Ответ: 2.

12.

Найдите точку минимума функции

Решение.

Найдем производную заданной функции:

Найдем нули производной:

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Искомая точка минимума

Ответ: 7.

13. а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение.

a) Сгруппируем слагаемые и разложим левую часть уравнения на множители:

б) С помощью числовой окружности отберём корни уравнения, принадлежащие отрезку Получим числа

Ответ: а) б)

14. В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А и В, а на окружности другого основания — точки В₁ и С₁, причем ВВ₁ — образующая цилиндра, а отрезок АС₁ пересекает ось цилиндра.

а) Докажите, что угол АВС₁ прямой.

б) Найдите угол между прямыми ВВ₁ и АС₁, если АВ = 8, ВВ₁ = 6, В₁С₁ = 15.

Решение.

а) Рассмотрим плоскость, проходящую через ось цилиндра и прямую АС₁. Обозначим точку пересечения этой плоскости и окружности основания цилиндра, содержащую точку А, через точку С. Тогда СС₁ — образующая цилиндра. Отрезок АС пересекает ось цилиндра. Значит, он проходит через центр окружности основания цилиндра, то есть является ее диаметром. Следовательно, угол АВС прямой.

Прямая СС₁ является образующей цилиндра, поэтому она перпендикулярна прямой АВ. Таким образом, прямая АВ перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости ВСС₁ (BС и СС₁), а значит, прямая АВ перпендикулярна плоскости ВСС₁ и любой прямой, лежащей в этой плоскости. Значит, угол АВС₁ прямой.

б) Поскольку прямые ВВ₁ и СС₁ параллельны, искомый угол равен углу АС₁С.

Треугольники АВС и АСС₁ являются прямоугольными, поэтому:

; .

Ответ:

Приведем другой способ решений.

a) Введем систему координат, как показано на рисунке. Найдем координаты точек A, B и C₁. Пусть а радиус основания — r, тогда

Найдем координаты векторов и

Найдем длины векторов и

Найдем косинус угла между этими векторами:

Значит, угол АВС₁ прямой.

15. Решите неравенство:

Решение.

Пусть тогда имеем:

Вернёмся к исходной переменной:

Ответ:

16. На стороне CD трапеции ABCD отмечена точка M, которая является серединой этой стороны.

а) Докажите, что

б) На стороне CD отмечена точка K, такая, что причем AD = 2BC. Расстояние от точки D до прямой AB равно 10. Найдите расстояние от точки K до стороны AB.

Решение.

а) Пусть высота трапеции равна 2h, тогда . Следовательно,

б) Продлим боковые стороны трапеции до пересечения в точке E. Так как отрезок BC является средней линией треугольника AED. Заметим, что откуда

Из равенства AD = 2BC получаем, что Таким образом, точка K лежит на средней линии трапеции. Тогда K — середина CD. Из подобия прямоугольных треугольников DH₁E и KH₂E, где DH₁ и KH₂ — перпендикуляры к AB, имеем:

Таким образом,

Ответ: б)

17. В июле планируется взять кредит на сумму 1 342 000 рублей. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга.

На сколько рублей больше придётся отдать в случае, если кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за 4 года), по сравнению со случаем, если кредит будет полностью погашен двумя равными платежами (то есть за 2 года)?

Решение.

Пусть сумма кредита составляет S = 1 342 000 рублей, ежегодные выплаты в случае погашения кредита за 4 года составляют x рублей, а в случае погашения кредита за 2 года — y рублей. По условию долг перед банком (в рублях) по состоянию на июль должен уменьшаться следующим образом:

откуда

рублей.

В этом случае придётся отдать 2 073 600 рублей.

Если отдавать кредит двумя равными платежами, то долг перед банком (в рублях) по состоянию на июль должен уменьшаться следующим образом:

откуда рублей.

В этом случае придётся отдать 1 756 800 рублей, то есть на 316 800 рублей меньше, чем в предыдущем случае.

Ответ: 316 800 рублей.

18. Найдите все значения a, при каждом из которых множеством решений неравенства является отрезок.

Решение.

Перепишем неравенство в виде И нарисуем эскизы графиков левой и правой частей неравенства.

Из рисунка видно, что график правой части неравенства лежит выше левой при Заметим, что при a = 1, решением кроме отрезка становится еще и точка x = 5, что противоречит условию.

При дальнейшем увеличении a в решение будет попадать еще один отрезок с правым концом в точке x = 5. Левый конец будет сдвигаться вплоть до случая касания при котором решение снова превратится в один отрезок.

Рассмотрим случай касания:

тогда

Итак, интервал не удовлетворяет условию задачи.

Ответ:

19. Даны n различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию (n ≥ 3).

а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 16?

б) Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 900?

в) Найдите все возможные значение n, если сумма всех данных чисел равна 235.

Решение.

а) Да. Например, числа 1, 3, 5, 7 составляют арифметическую прогрессию, а их сумма равна 1 + 3 + 5 + 7 = 16.

б) Так как все данные n чисел натуральные, то наименьшее из них больше или равно 1, а поскольку все эти числа различны (т. е. отличаются друг от друга не менее, чем на 1), то их сумма S не меньше суммы 1 + 2 + ... +, т. е. Если известно, что S < 900, то из неравенства следует, что откуда n < 42 (при имеем: ). При n = 41 имеем: натуральные числа от 1 до 41 (без пропусков) составляют арифметическую прогрессию, их количество равно 41, а сумма меньше 900. Таким образом, наибольшее возможное значение n в пункте б) равно 41.

в) Пусть — наименьшее из данных n чисел, образующих арифметическую прогрессию, d — разность этой прогрессии. Тогда по известной формуле сумма этих n чисел равна Если известно, что сумма данных n чисел равна 235, то Заметим, что число 47 простое и (в пункте б) доказано, что ), то n — один из делителей числа 10.

Так как то возможные значения n = 5 или n = 10. Подставим в равенство поочередно n = 5 и n = 10, получаем следующие равенства: и Первое из этих равенств выполняется, например, при а второе — при Прогрессии 1, 24, 47, 70, 93 и 1, 6, 11, …, 46 состоят из 5 и 10 членов, а их сумма равна 235.