Глава 3. Материалы для практических занятий
Материалы для лекции и практического
1.1. Корни многочлена. Теорема Безу. Схема Горнера
Число c называют корнем многочлена 
, если 
.
Справедлива теорема Безу.
Остаток от деления многочлена на линейный двучлен 
равен значению многочлена при 
.
Число c тогда и только тогда является корнем многочлена , когда делится нацело на .
Число c называют k-кратным корнем многочлена , если делится на 
, но не делится на 
.
Если 
, то коэффициенты многочлена 
и остаток r могут быть найдены по схеме Горнера:
| 
| 
| … | 
| 
| |
| 
| 
| 
| … | 
| 
|
где , , …, – коэффициенты многочлена , записанного по убывающим степеням x:
, а
.
Задача №6
Найти кратность корня x = 5 многочлена: 
.
Решение.
Используя схему Горнера, имеем:
| 1 | – 15 | 76 | – 140 | 75 | – 125 | |
| 5 | 1 | – 10 | 26 | – 10 | 25 | 0 |
Получим, что 
).
Число 5 является корнем . Если 5 будет корнем и 
, то 5 будет корнем многочлена второй кратности или выше.
Проверим, будет ли 5 корнем многочлена 
по схеме Горнера:
| 1 | – 10 | 26 | – 10 | 25 | |
| 5 | 1 | – 5 | 1 | – 5 | 0 |
, следовательно, 5 – корень .
.
Проверим, будет ли число 5 корнем многочлена 
.
| 1 | – 5 | 1 | – 5 | |
| 5 | 1 | 0 | 1 | 0 |
Число 5 является корнем 
, отсюда имеем:
, а 
.
Число 5 корнем многочлена 
уже не является. Следовательно, делится на 
, но не делится на 
. Значит, кратность корня 5 многочлена равна 3.
|
|
|
Процесс решения можно оформить следующим образом:
| 1 | – 15 | 76 | – 140 | 75 | – 125 | |
| 5 | 1 | – 10 | 26 | – 10 | 25 | 0 |
| 5 | 1 | – 5 | 1 | – 5 | 0 | |
| 5 | 1 | 0 | 1 | 0 | ||
| 5 | 1 | 5 | 26¹0 |
Число 5 является трехкратным корнем многочлена 
, т.е. .
Задача №7
Остатки от деления многочлена на x – 2 и x – 3 равны соответственно 5 и 7. Найти остаток от деления этого многочлена на 
.
Решение.
, т.к. степень делителя равна двум, то степень остатка 
меньше или равна единице, т.е. 
.
По теореме Безу имеем 
, 
.
При x = 2 равенство принимает вид 
,
При x = 3 
.
Решая систему 
получаем a = 2, b = 1.
Итак, 
.
Задача №8
Найти, при каких a и b многочлен 
делится на 
.
Решение.
.
При x = 1 имеем 
,
При x = – 1 
, получаем систему
отсюда a = – 2, b = 0.
Задача №9
Пользуясь схемой Горнера, разложить многочлен 
по степеням x – 1, найти значение многочлена и всех его производных при x = 1.
Решение.
По формуле Тейлора имеем:
- разложение многочлена по степеням x – 1.
Как видно из формулы, для решения задачи нужно найти значения многочлена и его производных при x = 1. Это можно сделать непосредственно, находя производные многочлена , а затем их значения при x = 1.
|
|
|
Но для решения этой задачи можно использовать также и схему Горнера. Запишем разложение многочлена по степеням (x – 1) с неопределенными коэффициентами:
.
Числа 
равны соответственно остаткам от деления многочленов , 
, 
, 
, 
, 
на x – 1, где есть частное от деления на x – 1, есть частное от деления на 
и т.д. Наконец, есть частное от деления на x – 1.
Все решения можно записать в схему:
| 1 | 3 | 0 | 0 | 2 | -4 | |
| 1 | 1 | 4 | 4 | 4 | 6 | 2 |
| 1 | 1 | 5 | 9 | 13 | 19 | |
| 1 | 1 | 6 | 15 | 28 | ||
| 1 | 1 | 7 | 22 | |||
| 1 | 1 | 8 | ||||
| 1 | 1 |
Отсюда 
, 
, 
, 
, 
, 
, тогда , 
, 
, 
, 
, 
.
Подставляем найденные значения в формулу Тейлора, имеем: 
.
Задача №10
Разложить на простейшие дроби рациональную дробь 
.
Решение.
Разложим числитель 
по степеням x + 5 по формуле Тейлора, используя схему Горнера.
| 1 | 7 | 4 | – 25 | 1 | |
| – 5 | 1 | 2 | – 6 | 5 | – 24 |
| – 5 | 1 | – 3 | 9 | – 40 | |
| – 5 | 1 | – 8 | 49 | ||
| – 5 | 1 | – 13 | |||
| – 5 | 1 |
.
|
|
|
Тогда 
Задача №11
Вычислить значение многочлена 
при 
.
Решение.
Ближайшим целым числом к 4,99 является 5, поэтому сначала разложим многочлен по степеням x – 5 по формуле Тейлора, используя схему Горнера, а затем подставим значение x = 4,99.
| 3 | – 5 | 7 | – 1 | 6 | |
| 5 | 3 | 10 | 57 | 284 | 1426 |
| 5 | 3 | 25 | 182 | 1194 | |
| 5 | 3 | 40 | 382 | ||
| 5 | 3 | 55 | |||
| 5 | 3 |
;
;
Итак, 
.
Глава 3. Материалы для практических занятий
В задачах 1 – 10 разделить с остатком многочлен на 
:
1. 
, 
.
2. 
, 
.
3. , 
.
4. 
, 
.
5. 
, 
.
6. 
, 
.
7. 
, 
.
8. 
, 
.
9. 
, 
.
10. 
, 
.
В задачах 11 – 20 найти необходимые и достаточные условия делимости многочлена на :
11. 
, .
12. , 
.
13. 
, 
.
14. 
, .
15. 
, .
16. , 
.
17. 
, .
18. 
, .
19. , 
.
20. 
, 
.
В задачах 21 – 30 найти наибольший делитель многочленов и с помощью алгоритма Евклида:
|
|
|
21. 
, 
.
22. 
, 
.
23. 
, 
.
24. 
, 
.
25. 
, 
.
26. 
, 
.
27. 
, 
.
28. 
, 
.
29. 
, 
.
30. 
, 
.
В задачах 31 – 40, пользуясь алгоритмом Евклида, найти многочлены 
и 
так, чтобы 
, где 
– наибольший общий делитель многочленов и 
:
31. 
, 
.
32. 
, 
.
33. 
, 
.
34. 
, 
.
35. , 
.
36. 
, 
.
37. 
, 
.
38. 
, 
.
39. 
, .
40. 
, 
.
В заданиях 41–50, пользуясь схемой Горнера, разделить многочлен на линейный двучлен 
и найти значение многочлена при 
:
41. 
, 
.
42. 
, 
.
43. 
, 
.
44. 
, 
.
45. 
, .
46. 
, 
.
47. 
, .
48. 
, 
.
49. 
, 
.
50. 
, .
В задачах 51 – 55 найти остаток от деления многочлена на 
, не применяя теорему о делении с остатком:
51. 
, .
52. , 
.
53. 
, 
.
54. 
, 
.
55. 
, 
.
56. Многочлен 
при делении на 
и 
дает соответственно остатки 5 и 7. Найти остаток от деления этого многочлена на 
.
57. При делении на , и 
остатки соответственно равны 3, 15 и 0. Найти остаток от деления на 
.
58. Многочлен при делении на , , и на 
дает соответственно остатки 1, 3, 5 и 6. Найти остаток при делении этого многочлена на произведение 
.
59. Найти при каких значения a многочлен 
делится на 
.
60. При каких значения a и b многочлен 
при делении на дает остаток 15, а при делении на – остаток 0?
В задачах 61 – 70 найти кратность корня 
для многочлена .
61. 
, 
.
62. 
, 
.
63. 
, 
.
64. 
, 
.
65. 
, 
.
66. 
, .
67. 
, 
.
68. 
, .
69. 
, .
70. 
, 
.
В задачах 71 – 80, пользуясь схемой Горнера, разложить многочлен 
по степеням . Найти значения многочлена 
и его производных при .
71. 
, .
72. 
, .
73. 
, 
.
74. 
, .
75. 
, .
76. 
, .
77. 
, 
.
78. , 
.
79. 
, 
.
80. 
, 
.
В задачах 81 – 90 разложить на простейшие дроби данные рациональные дроби:
81.  .
82.  .
83.  .
84.  .
85.  .
| 86.  .
87.  .
88.  .
89.  .
90.  .
|
Дата добавления: 2020-11-29; просмотров: 288; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!