Свойства определенного интеграла.

17.11.2020; 11.10 -12.45

Математический анализ.

Лекция 11.

Интегральное исчисление

Первообразная функции. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица неопределенных интегралов.

Определение. Функция называется первообразной функции на интервале , если для всех x из выполняется равенство .

Аналогично вводится понятие первообразной для других множеств (отрезка, полуинтервала и т.д.). Легко видеть, что функция , где C –– константа, тоже будет первообразной для : . Справедливо и обратное утверждение.

Теорема. Пусть и –– любые первообразные для функции на . Тогда существует такая константа C , что на .

Доказательство. Введем функцию . Производная этой функции равна нулю на : .

Пусть –– любая, но фиксированная точка интервала , а x –– любая вторая точка интервала . По теореме Лагранжа имеем:

В последней формуле –– точка, расположенная между x и . Введем обозначение: . Тогда , т.е. .

Теорема доказана.

Тем самым установлен следующий результат. Пусть –– первообразная на . Тогда любая первообразная для представима в виде: , где C –– некоторое число.

Определение. Совокупность всех первообразных для функции на называется неопределенным интегралом от функции и обозначается символом . При этом знак называется знаком интеграла, выражение называется подынтегральным выражением, а называется подынтегральной функцией.

Полученные выше результаты позволяют записать

где –– какая-то (любая, но фиксированная) первообразная функция на , а C –– любая константа.

Свойства неопределенного интеграла.

1. .

2. .

3. .

4. , где A –– любое число.

Доказательство свойства 1:

При вычислении была использована формула для дифференциала функции: .

Равенства 3, 4 понимаются особым образом. И левая часть, и правая часть этих равенств есть множества функций. Равенства означают, что любая функция из множества левой части равенства отличается от любой функции из множества правой части равенства на число (на постоянное слагаемое).

Доказательство свойств 3, 4 основано на факте, который был использован при доказательстве теоремы: если производные двух функций на интервале совпадают, то эти функции отличаются на постоянное слагаемое.

Доказательство свойства 3:

Мы получим, что производная левой части равна производной правой части. Свойство 3 доказано.

Таблица неопределенных интегралов.

1. .

2. .

3. , .

4. , , .

5. , , .

6. , .

7. , .

8. , , .

9. , , .

10. , , .

11. , .

12. , , ,

13. , .

14. , , ,

, .

15. .

16. .

17. .

18. , , .

Замечание. Константа C в формулах может быть разной на каждом из интервалов, на которых определена формула.

Доказательство формул для неопределенного интеграла состоит в проверке того факта, что производная правой части равна подынтегральной функции.

Докажем для примера формулу 12 для :

Приложение. Определения и факты, использованные при ответе на вопрос.

Определение. Производной функции в точке x называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:

Определение (предела функции в точке):

Теорема Лагранжа. Пусть функция непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале . Тогда существует такая точка , для которой выполняется равенство

Определение. Функция называется непрерывной на отрезке , если она непрерывна во всех точках интервала , непрерывна слева в точке , непрерывна справа в точке .

Определение. Функция называется непрерывной в точке слева, если .

Определение (левостороннего предела функции):

Определение. Функция называется дифференцируемой в точке x, если приращение функции в этой точке представимо в виде , , где величина A не зависит от . При этом, слагаемое называется дифференциалом функции в точке x и обозначается символом .

Определение. Функция , , если она представима в виде , где .

Теорема (о связи производной функции и дифференцируемости функции). Функция является дифференцируемой в точке x тогда и только тогда, когда у функции есть производная в этой точке. При этом величина A из определения дифференцируемости равна производной: .

Теорема (о связи дифференцируемости и непрерывности функции). Если функция дифференцируема в точке x , то функция непрерывна в этой точке.

Определение. Функция называется непрерывной в точке , если .

Замена переменной в неопределенном интеграле.

Теорема. Пусть функция дифференцируема на некотором интервале и пусть –– множество значений этой функции. Пусть для функции на множестве существует первообразная , т.е.

. (1)

Тогда на интервале для функции существует первообразная, равная , т.е.

. (2)

Доказательство. Для доказательства формулы (2) нужно установить, что производная правой части равна подынтегральной функции

При дифференцировании было использовано правило дифференцирования сложной функции и условие теоремы (1).

Замечание. Множество , указанное в теореме может быть интервалом, отрезком и т.д.

Теорема доказана.

Приложение. Определения и факты, использованные при ответе на вопрос.

Определение. Функция называется дифференцируемой в точке x, если приращение функции в этой точке представимо в виде , , где величина A не зависит от .

Определение. Функция , , если она представима в виде , где .

Определение (предела функции в точке):

Определение. Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:

Теорема (о связи производной функции и дифференцируемости функции). Функция дифференцируема в точке x тогда и только тогда, когда у функции есть производная в этой точке. При этом величина A из определения дифференцируемости равна производной: .

Определение. Функция называется первообразной для функции на интервале (на отрезке, полуинтервале и т.д.), если для всех точек t из выполняется равенство .

Определение. Неопределенным интегралом от функции на интервале называется множество всех первообразных этой функции: .

Теорема (о производной сложной функции). Пусть функция имеет производную в точке , а функция имеет производную в точке . Тогда сложная функция имеет производную в точке и справедливо равенство

Задача . Вычислить .

Решение. Используем линейное свойство неопределенного интеграла и замены переменной:

Приложение. Определения и факты, использованные при решении задачи.

Определение. Пусть функция определена на интервале . Неопределенным интегралом от функции на интервале называется множество всех первообразных функции на этом интервале.

Определение. Функция называется первообразной функции на интервале , если для всех выполняется равенство .

Теорема (линейное свойство неопределенного интеграла). Пусть функции и имеют первообразные на интервале . Тогда функция тоже имеет первообразную на и справедлива формула

Теорема. Пусть функция имеет производную на некотором интервале и пусть –– множество значений этой функции. Пусть для функции на множестве существует первообразная , т.е. . Тогда на интервале для функции существует первообразная, равная , т.е. .

Теорема (таблица производных):

, , .

Теорема (таблица неопределенных интегралов):

, .

Интегрирование по частям в неопределенном интеграле.

Теорема. Пусть функции и дифференцируемы на интервале и пусть, кроме того, на этом интервале существует первообразная функции . Тогда на интервале существует первообразная функции и справедлива формула

Эта формула называется формулой интегрирования по частям.

Доказательство. Запишем формулу для производной произведения:

Интеграл от производной существует по определению неопределенного интеграла:

. (1)

Интеграл существует по условию теоремы. Следовательно, по линейному свойству интеграла, существует интеграл от функции и

Константу C из формулы (1) писать не нужно, так как в правой части формулы стоит неопределенный интеграл.

Теорема доказана.

Приложение. Определения и факты, использованные при ответе на вопрос.

Определение. Функция , , если она представима в виде , где .

Определение (предела функции в точке):

Теорема (о производной произведения). Пусть функции и дифференцируемы в точке x . Тогда функция тоже дифференцируема в точке x и справедлива формула

Теорема (линейное свойство интеграла). Пусть на интервале у функций и есть первообразные. Тогда функция имеет на первообразную и справедлива формула

Вопрос 20. Определенный интеграл, его свойства. Площадь криволинейной трапеции.

Пусть функция задана на отрезке .

Рассмотрим разбиение отрезка точками : –– на n меньших сегментов. Пусть –– какая-нибудь точка i-го отрезка .

Введем обозначения: , (длины частичных отрезков и максимальная длина частичных отрезков).

Определение 1. Число называется интегральной суммой функции , соответствующей данному разбиению отрезка и данному выбору точек .

Определение 2. Число I называется пределом интегральных сумм при , если для произвольного существует такое , что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство: .

Для обозначения предела интегральных сумм используется обозначение .

Повторим определение 2, используя символы математической логики:

Определение 3. Функция называется интегрируемой на отрезке , если существует конечный предел I интегральных сумм этой функции при .

Этот предел называется определенным интегралом от функции на отрезке и обозначается следующим образом

Объединяя все три определения, получаем

Свойства определенного интеграла.

1. .

2. Если , то .

Свойства 1, 2 можно понимать как соглашение.

3. Если функция интегрируема на , то ограничена на .

Доказательство. Предположим противное. Пусть не ограничена на . Тогда при любом разбиении найдется такой отрезок , на котором функция не ограничена. Следовательно, за счет выбора интегральная сумма может быть сделана как угодно большой по модулю. Стало быть не может иметь конечного предела. Но тогда не является интегрируемой функцией, что противоречит условию.

Свойство 3 доказано.

4. Пусть функции и интегрируемы на . Тогда функция тоже интегрируема на и справедлива формула

. (1)

Доказательство. При любом разбиении отрезка и любом выборе точек справедливо соотношение

. (2)

Так как по условию функции и интегрируемы, то предел каждого слагаемого в правой части формулы (2) существует. Отсюда, по свойству предела (предел суммы равен сумме пределов), существует предел и левой части формулы (2). Поэтому функция интегрируема и справедлива формула (1).

Свойство 4 доказано.

5. Если функция интегрируема на и C –– число, то функция интегрируема на и справедливо равенство

6. Если функции , интегрируемы на , то функция тоже интегрируема на .

7. Если функция интегрируема на , то эта функция интегрируема на любом отрезке .

8. Пусть функция интегрируема на отрезках и . Тогда эта функция интегрируема на отрезке и справедливо равенство

Рассмотрим фигуру, ограниченную графиком функции , , где –– непрерывная функция и , а также отрезком оси Ox и отрезками прямых , (см. рис. 8). Эта фигура называется криволинейной трапецией.

Рис. 8. Криволинейная трапеция

Введем определение площади криволинейной трапеции.

Разобьем отрезок на несколько частей точками : . В каждом отрезке выберем точку . Введем обозначение , . Рассмотрим ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников с основаниями и высотами . Площадь этой ступенчатой фигуры вычисляется по формуле

Чем меньше отрезки , тем лучше аппроксимирует ступенчатая фигура криволинейную трапецию. Поэтому площадью криволинейной трапеции S называется предел площадей ступенчатых фигур при стремлении к нулю длин отрезков разбиения

Сравнивая определение площади и определение интеграла, получаем формулу для вычисления площади криволинейной трапеции:

Приложение. Определения и факты, использованные при ответе на вопрос.

Определение. Функция называется ограниченной на отрезке , если существует такое число M, что для всех выполняется неравенство: .

Определение. Функция называется неограниченной на отрезке , если для любого числа M найдется такое , что .

Теорема (о пределе суммы). Пусть , . Тогда имеет предел при и справедливо равенство

Дата добавления: 2020-11-29; просмотров: 69; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

Мы поможем в написании ваших работ!