Основные свойства неопределённого интеграла
Цели работы
научиться находить производную сложной функции
· интервалы монотонности функции с помощью производной;
научиться находить точки экстремума и экстремумы функции;
научиться находить промежутки выпуклости и вогнутости функции, точки перегиба;
научиться исследовать функцию с помощью производной и строить графики.
Указания к оформлению
Отчёт по контрольной работе выполняется в тетради и должен содержать:
точное наименование работы
цель работы;
ход работы (условие задачи);
результаты работы ( подробное решение задач);
вывод
Варианты заданий
Вариант 1
1. Вычислить производную: а) у=cos5x; б) у=73х-1
2. Вычислить производную в точке х0=0: 
3. Найти промежутки монотонности и экстремумы функции: 
;
4. Найти промежутки вогнутости, выпуклости, точки перегиба: 
5. Исследовать на монотонность и выпуклость и построить график: 
Вариант 2
1. Вычислить производную: а) 
; б) у= 
2. Вычислить производную в точке x0 = ln2 
3. Найти промежутки монотонности и экстремумы функции: 
4. Найти промежутки вогнутости, выпуклости, точки перегиба: 
5. Исследовать на монотонность и выпуклость и построить график:
.
Вариант 3
1. Вычислить производную:а) у= 
б) 
2. Вычислить производную в точке х0=0 
3. Найти промежутки монотонности и экстремумы функции: 
.
4. Найти промежутки вогнутости, выпуклости, точки перегиба: 
|
|
|
5. Исследовать на монотонность и выпуклость и построить график: 
.
Вариант 4
1. Вычислить производную: а) у= 
б) у= 
2. Вычислить производную в точке x0=2: 
3. Найти промежутки монотонности и экстремумы функции: 
4. Найти промежутки вогнутости, выпуклости, точки перегиба: 
5. Исследовать на монотонность и выпуклость и построить график: 
Вариант 5
1. Вычислить производную:а) у=cos5x; б) у=73х-1
2. Вычислить производную в точке х0=0:
3. Найти промежутки монотонности и экстремумы функции: а) 
;
4. Найти промежутки вогнутости, выпуклости, точки перегиба: 
;
5. Исследовать на монотонность и выпуклость и построить график: 
.
Вариант 6
1. Вычислить производную: а) у= 
б)
2. Вычислить производную в точке x0=0 
3. Найти промежутки монотонности и экстремумы функции: 
4. Найти промежутки вогнутости, выпуклости, точки перегиба: 
.
5. Исследовать на монотонность и выпуклость и построить график: 
.
ПРИМЕР.
Исследовать на монотонность и выпуклость построить график функции 
Решение:
Воспользуемся планом полного исследования функции.
1. Область определения.
Функция определена на всей числовой оси кроме точки 
2. Точек пересечения с осями координат.
А) с осью ох А (0,0): у=0 
|
|
|
Б) с осью оу А (0,0): х=0 у(0)=0
Итак, единственная точка пересечения с осями координат (0; 0)
3. Промежутки возрастания и убывания функции, точки экстремума.
Находим производную первого порядка:
Применяемые формулы: 
’
1. 
2. 
, 
, 
3. Производная 
обращается в нуль при 
и не существует при 
. Однако, критическими точками являются только точки 
и 
: они лежат внутри области определения функции 
и в них эта функция непрерывна. Точка 
.
4. Исследуем критические точки по знаку производной .
| 0 | 
| 1 | 
| 
| 
| |
| у | 
| 0 | 
| Не сущ. | 
| 
| 
|
| y` | + | 0 | - | Не сущ. | - | 0 | + |
| max | min |
Найдём значение производной в каждом из интервалов:
> 0 
< 0
< 0 
> 0
Если на некотором промежутке 
имеет производную 
для 
, то на 
функция возрастает 
(убывает 
).
Следовательно, функция возрастает 
на 
,
убывает 
на 
.
4. Если 
– критическая точка и производная 
при переходе через точку 
меняет знак, то функция имеет в данной точке экстремум:
максимум, если знак производной меняется с «+» на «–»,
минимум, если знак производной меняется с «–» на «+».
Найдём значения функции в критических точках:
|
|
|
т. (0 
0 
-точка максимума, т. ( 
-точка минимума
5. Направления выпуклости и точки перегиба.
Находим производную второго порядка
, 
Имеем 
и 
не существует при 
, но 
точеки перегиба
1. Находим интервалы выпуклости функции 
и вогнутости 
:
| 
| 
| 0 | 
| |
| у | 
| 0 | 
|
| |
| y`` | + | 0 | - | + |
Если во всех точках 
: 
, то кривая 
на этом интервале выпукла (вогнута).
Т.е. функция выпукла 
на 
и
вогнута на 
Построим график функции 
 |
|
|
|
| |
Построение графиков
https://math.semestr.ru/math/plot.php
Контрольная работа 2
Цели работы
научиться находить первообразные;
научиться вычислять неопределённые интегралы с помощью таблицы первообразных;
научиться вычислять неопределённые интегралы методом замены переменной;
научиться вычислять неопределённые интегралы с помощью интегрирования по частям;
Основные свойства неопределённого интеграла
1. 
.
2. 
.
3. 
, где α≠0,
|
|
|
т.е. постоянный множитель можно выносить за знак неопределённого интеграла.
4. 
,
т.е. неопределённый интеграл от суммы равен сумме неопределённых интегралов.
5. Если 
, то
, где а≠0.
Таблица простейших интегралов
1. 
.
2. 
.
В частности, 
.
3. 
4. 
В частности, 
5. 
6. 
.
7. 
8. 
9. 
В частности, 
10. 
В частности, 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
Вариант 1
1.Вычислить интегралы:
а) 
; б) 
; в) 
.
2.Вычислить интегралы методом подстановки:
а) 
; б) 
; в) 
.
3. Вычислить интегралы:
а) 
; б) 
; в) 
;
4.Вычислить площадь, ограниченной линиями. y=x2, у=2х+3.
5.Найти объём тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями: у=х3, х=0,у=8 вокруг оси 0х.
Вариант 2
1.Вычислить интегралы:
а) 
; б) 
; в) 
.
2.Вычислить интегралы методом подстановки:
а) 
; б) 
; в) 
.
3. Вычислить интегралы:
а) 
; б) 
; в) 
4.Вычислить площадь, ограниченной линиями. y=x2, у=4х-3.
5.Найти объём тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями: у= 
, х=0,у=0,х=1 вокруг 0х.
Вариант 3
1.Вычислить интегралы:
а) 
; б) 
; в) 
.
2.Вычислить интегралы методом подстановки:
а) 
; б) 
; в) 
.
3. Вычислить интегралы:
а) 
; б) 
; в) 
;
4.Вычислить площадь, ограниченной линиями. y= 
, у= 
.
5.Найти объём тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями: у= 
, х=0,х=ln2 вокруг оси 0х.
Вариант 4
1.Вычислить интегралы:
а) 
; б) 
; в) 
.
2.Вычислить интегралы методом подстановки:
а) 
; б) 
; в) 
.
3. Вычислить интегралы:
а) 
; б) 
; в) 
;
4.Вычислить площадь, ограниченной линиями. y= 
, у=2х.
5.Найти объём тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями: у=2sinx, 0≤x≤π вокруг оси 0х.
Вариант 5
1.Вычислить интегралы:
а) 
; б) 
; в) 
.
2.Вычислить интегралы методом подстановки:
а) 
; б) 
; в) 
.
3. Вычислить интегралы:
а) 
; б) 
; в) 
;
4.Вычислить площадь, ограниченной линиями. y=x2-4x+5, у=х+5.
5.Найти объём тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями: у2 =6x, х=3,х=5 вокруг оси 0х.
Вариант 6
1.Вычислить интегралы:
а) 
; б) 
; в) 
.
2.Вычислить интегралы методом подстановки:
а) 
; б) 
; в) 
.
3. Вычислить интегралы:
а) 
; б) 
; в) 
;
4.Вычислить площадь, ограниченной линиями. y=x2-8x+16, у=6-х.
5.Найти объём тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями: у =xex, х=1,y=0 вокруг 0х.
Пример 1.
Используя таблицу, найти следующие интегралы:
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
; д) 
.
Решение.
а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
.
Дата добавления: 2020-11-29; просмотров: 114; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!