Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
Преподаватель - Брыкало А.А.
brukalo_aa@mail.ru
https://vk.com/id399759339
Конспект урока «Математика»
Дата 06.11.20
Группа 5 «Механизация сельского хозяйства»
Тема: «Определение синуса, косинуса и тангенса угла»
Форма работы: индивидуальная, электронное обучение
Тип урока: изучение нового материала
Продолжительность урока: 1 час
Цель урока:
- ввести понятия косинуса, синуса, тангенса произвольного угла.
Глоссарий по теме:
Синус угла α– ордината точки, полученной поворотом точки (1; 0) вокруг начала координат на угол α. Обозначается sin α.
Косинус угла α – абсцисса точки, полученной поворотом точки (1; 0) вокруг начала координат на угол α. Обозначается cos α.
Тангенс угла α – отношение синуса угла к его косинусу. Обозначается tg α.
Котангенс угла α - отношение косинуса угла к его синусу. Обозначается сtg α.
Линия тангенсов - касательная, проведенная к точке (1;0).
Линия котангенсов - касательная, проведенная к точке (0;1).
Используемая литература:
Учебник: Математика. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы: учебник для общеобразовательных организаций: базовый и углубленные уровни./Ш.А.Алимов, Ю.М.Колягин, М.В.Ткачева и др.- 5 изд.- М.: Просвещение, 2018г
https://uchebnikionline.ru/uchebniki/10-klass/algebra-10-11-klass-alimov-kolyagin-bazovyy-i-uglublennyy-urovni
Интернет-ресурсы:
Методика преподавания математики http://methmath.chat.ru/
|
|
Российская электронная школа https://resh.edu.ru/
Учебный фильм «Определение синуса, косинуса и тангенса угла»
https://resh.edu.ru/subject/lesson/6019/main/199185/
Ход урока
Организационный этап:
Мотивационный модуль
Сегодня на уроке мы узнаем, как по другому называются абсцисса и ордината точки, лежащей на единичной окружности.
Основная часть:
Объясняющий модуль
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
- Ввод понятий синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла;
- Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла;
- Решение простейших тригонометрических уравнений.
1.Найдите координаты точек А, В, С и D, лежащих на единичной окружности (рис. 1)
Рисунок 1 – единичная окружность
Поставьте в соответствие точке её координаты
А (0; 1)
В (-1; 0)
С (1; 0)
D (0; -1)
Ответ: А(1; 0); В(0; 1); С(-1; 0); D(0; -1)
Рассмотрим окружность радиуса, равного 1 единичному отрезку, в прямоугольной системе координат хОу с центром в начале координат. Такую окружность называют единичной или тригонометрической.
Рисунок 2 – точка Р на единичной окружности
Точка Р (1; 0) при повороте вокруг начала координат на угол переместилась в точку Рₐ. Определим её координаты. (рис. 2).
|
|
Синусом угла называется ордината точки, полученной поворотом точки (1; 0) вокруг начала координат на угол .
Обозначается
Косинусом угла называется абсцисса точки, полученной поворотом точки (1; 0) вокруг начала координат на угол .
Обозначается
Угол может выражаться и в градусах и в радианах.
Пример 1.
Точка А(1; 0) при повороте на угол 90 (рис. 1)
Ордината точки В равна 1, значит или
Абсцисса точки В равна 0, значит
Пример 2.
Точка А(1; 0) при повороте на угол переместилась в точку ( рис. 1)
Найдите и
Ответ: = 0;
Пример 3.
Точка А(1; 0) при повороте на угол переместилась в точку
Найдите и
Ответ: = 1 = 0.
Рассмотрим ещё два понятия.
Определение. Тангенсом угла называется отношение синуса угла к его косинусу.
Обозначается tg
tg ,
Пример 4.
Найти tg 0. Вычислим по формуле tg = = 0.
Определение. Котангенсом угла называется отношение косинуса угла к его синусу.
Обозначается сtg
сtg
Пример 5.
Найти сtg .
Вычислим по формуле сtg =
2. Меру угла (в радианах) можно рассматривать как действительное число, поэтому и – это числовые выражения. А так как каждая точка единичной окружности имеет координаты х и у такие, что выполняются неравенства -1 ≤ х ≤ 1; -1 ≤ у ≤ 1,то синус и косинус не могут превышать значения, больше .
|
|
Чтобы решить уравнения = а, нужно считать х неизвестным, число а – заданным.
Пример 6.
Решить уравнение = 1.
Найдем точку с ординатой 1 и запишем, каким числам х она соответствует. На окружности мы видим эту точку: В (0; 1). Она соответствуют числу и всем числам вида
Решением уравнения = 1 являются х = .
3. Полезно знать синусы, косинусы, тангенсы некоторых углов. Для этого рассмотрим дугу единичной окружности в I четверти координатной плоскости (рис. 3).
Рисунок 3 – 1 четверть единичной окружности
Точки А (1; 0) и В (0; 1) нам знакомы. Рассмотрим ещё несколько точек на окружности и найдем их координаты. Точка С является серединой дуги АВ, значит угол АОС равен половине прямого угла, 45 или . Ордината точки С равна её абсциссе. Их значения нетрудно найти по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника ОСF, оно равно А значит,
,
tg 45
Дуга АМ составляет третью часть прямого угла, . Ордината точки М равна , значит
|
|
, tg30 .
Дуга АN составляет прямого угла, . Абсцисса точки N равна , поэтому
, tg 60 .
Чтобы легче запомнить эти значения, придумали мнемоническое правило- правило на ладони (рис. 4).
Рисунок 4 - мнемоническое правило- правило на ладони
Расположим ладонь так, как на рисунке, пусть мизинцу соответствует угол 0 , следующим пальцам– 30 , 45, 60 и 90 . Так же присвоим им номера: мизинец №0, следующие №1, №2, №3, №4. Чтобы найти синус, используем формулу: = . А для косинуса нумерацию будем вести от большого пальца, выполняя вычисления по той же формуле. = .
Например, = , = = .
А тангенс можно вычислить по формуле: tg = .
Тангенсы и котангенсы, также как и синусы, косинусы, можно определить по единичной окружности. Для этого познакомимся с ещё одним понятием.
На единичной окружности касательная, проведенная к точке (1; 0) называется линией тангенсов. Касательная, проведенная к точке (0; 1) - линия котангенсов (рис. 5).
Рисунок 5 – линия тангенсов и линия котангенсов
Например, чтобы найти tg , находим пересечение радиус-вектора под углом с линией тангеса. Это число , или .
Чтобы найти ctg , радиус-вектор под углом должен пересечь линию котангенсов.
Это число .
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
Пример 7.
Решить уравнение =0.
Синусом угла является ордината точки, поэтому значения синусов находим по оси Оу. Найдем точки А (1; 0) и С (-1; 0) с ординатой 0 и запишем, каким числам х они соответствуют. Они соответствуют числам 0 (точка А), (точка С), 2
Решением уравнения = 0 являются х = . Z- множество целых чисел.
Пример 8.
Решить уравнение =1.
Найдем точки с абсциссой 1 и запишем, каким числам х они соответствуют. На рис.3 мы видим эту точку: А (1; 0) Она соответствуют числу и всем числам вида
Решением уравнения = 1. являются х = , где .
Таблица 1.
Домашнее задание:
- посмотреть учебный фильм «Определение синуса, косинуса и тангенса угла»
https://resh.edu.ru/subject/lesson/6019/main/199185/
- записать основные понятия, таблицу 1, сделать конспект по теме, решить задания и оформить их решение:
1.Найти sin 2700, cos 2700 и с tg 2700.
2.Решить уравнение sin x =1.
Дата добавления: 2020-11-27; просмотров: 296; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!