Классическая теория электропроводности

Постоянный электрический ток

Электрический ток — это упорядоченное движение заряженных частиц. За направление тока принимают направление движения положительныхзарядов.

Различают несколько видов электрического тока. Предположим. что имеется макроскопическое заряженное тело (например, шар), которое перемещается в пространстве. Так как вместе с телом будут перемещаться заряды, то возникает направленное движение зарядов, то есть электрический ток. Такой ток, связанный с движением макроскопических тел, называется конвекционным (переносным) током. Если внутри какого-то тела упорядоченно перемещается некоторое число заряженных частиц вследствие того, что в нем создается электрическое поле, то такой ток называется током проводимости. Для возникновения тока проводимости необходимо наличие свободных носителей заряда.

 

Сила тока и плотность тока в проводнике

В проводниках часть валентных электронов не связана с определенными атомами и может свободно перемещаться по всему его объему. В отсутствие приложенного к проводнику электрического поля такие свободные электроны — электроны проводимости — движутся хаотично, часто сталкиваясь с ионами и атомами, и изменяя при этом энергию и направление своего движения. Через любое сечение проводника в одну сторону проходит столько же электронов, сколько и в противоположную. Поэтому результирующего переноса электронов через такое сечение нет, и электрический ток равен нулю. Если же к концам проводника приложить разность потенциалов, то под действием сил электрического поля свободные заряды в проводнике начнут двигаться из области большего потенциала в область меньшего — возникнет электрический ток. Исторически сложилось так, что за направление тока принимают направление движение положительных зарядов, которое соответствует их переходу от большего потенциала к меньшему.

Электрический ток характеризуется силой тока I (рис. 4.1).

Сила тока есть скалярная величина, численно равная заряду переносимому через поперечное сечение проводника в единицу времени (4.1)

 

Рис. 4.1. Сила тока в проводнике

Согласно (4.1), сила тока в проводнике равна отношению заряда , прошедшего через поперечное сечение проводника за время к этому времени.

Замечание: В общем случае сила тока через некоторую поверхность равна потоку заряда через эту поверхность.

Если сила тока с течением времени не изменяется, то есть за любые равные промежутки времени через любое сечение проводника проходят одинаковые заряды, то такой ток называется постоянным, и тогда заряд, протекший за время t, может быть найден как (рис. 4.2)

(4.2)

Рис. 4.2. Постоянный ток, протекающий через разные
сечения проводника

 

Величина , численно равная заряду, проходящему через единицу площади поперечного сечения проводника за единицу времени, называется плотностью тока.

С учетом определения силы тока плотность тока через данное сечение может быть выражена через силу тока , протекающего через это сечение

(4.3)

 

При равномерном распределении потока зарядов по всей площади сечения проводника плотность тока равна

(4.4)

 

В СИ единицей измерения силы тока является ампер (А). В СИ эта единица измерения является основной.

Уравнение (4.1) связывает единицы измерения силы тока и заряда

В СИ единицей измерения плотности тока является ампер на квадратный метр (А/м2):

Это очень малая величина, поэтому на практике обычно имеют дело с более крупными единицами, например

Плотность тока можно выразить через объемную плотность зарядов и скорость их движения v (рис. 4.3).

Рис. 4.3. К связи плотности тока j с объемной плотностью зарядов и дрейфовой скоростью v носителей заряда. За время dt через площадку S пройдут все заряды из объема dV = vdt S

 

Полный заряд, проходящий за время dt через некоторую поверхность S, перпендикулярную вектору скорости v, равен

(4.5)

Так как dq/(Sdt) есть модуль плотности тока j, можно записать

(4.6)

Поскольку скорость v есть векторная величина, то и плотность тока также удобно считать векторной величиной, следовательно

 

Здесь плотность заряда, скорость направленного движения носителей заряда.

 

(4.7)

Следует подчеркнуть, что плотность тока, в отличие от силы тока — дифференциальная векторная величина. Зная плотность тока, мы знаем распределение течения заряда по проводнику. Силу тока всегда можно вычислить по его плотности. Соотношение (4.4) может быть «обращено»: если взять бесконечно малый элемент площади , то сила тока через него определится как . Соответственно, силу тока через любую поверхность S можно найти интегрированием

(4.8)

Классическая теория электропроводности

В начале двадцатого столетия был экспериментально доказан тот факт, что носителями тока в металлах являются свободные электроны. Исходя из этих представлений, немецкий физик Друде создал (1900 г.) классическую электронную теорию проводимости металлов, усовершенствованную затем другими физиками. Внутренняя структура металлов характеризуется кристаллической решеткой, например такой, какая изображена на (рис. 4.33).

Рис. 4.33. Схема кристаллической решетки металлов

В узлах решетки расположены положительные ионы, представляющие собой атомы металла, лишенные одного или нескольких валентных электронов и поэтому заряженные положительно. Эти положительные ионы способны совершать лишь небольшие тепловые колебания около своих положений равновесия в узлах кристаллической решетки. В пространстве между ионами практически свободно движутся оторвавшиеся от атомов и «обобществленные» кристаллом валентные электроны, образуя так называемый электронный газ. Согласно теории Друде, электроны в кристаллической решетке ведут себя во многом подобно идеальному газу, поэтому можно использовать для описания их поведения известные формулы кинетической теории газов (рис. 4.34).

Рис. 4.34. Газ свободных электронов в кристаллической решетке металла.
Показана траектория одного из электронов

 

В отсутствие внешнего поля любые направления скорости электронов, находящихся в хаотическом тепловом движении, равновероятны, следовательно, средняя плотность тока равна нулю, и можно сказать, что электронный газ в целом покоится по отношению к положительным ионам решетки. Согласно классической термодинамике, средняя энергия поступательного теплового движения молекул любого газа зависит лишь от температуры T, но не от химической природы и молекулярного веса газа и равна

(4.62)

Отсюда находим среднеквадратичную скорость хаотического движения частиц

(4.63)

Мы видели (см. п. 4.1), что для комнатных температур v_Т = 10⁶ м/с. При наличии внешнего электрического поля электроны в металле будут также обладать некоторой средней (дрейфовой) скоростью v направленного движения против внешнего поля Е. Согласно данным выше оценкам, скорость v на много порядков меньше скорости v_Т (рис. 4.35).

Рис. 4.35. Движение свободного электрона в кристаллической решетке:
а — хаотическое движение электрона в кристаллической решетке металла;
b — хаотическое движение с дрейфом, обусловленным электрическим полем.
Масштабы дрейфа сильно преувеличены

Если рассматривать электронный газ в металле как идеальный газ, то тепловое движение электронов в кристаллической решетке можно охарактеризовать средней длиной свободного пробега , то есть средним расстоянием, проходимым свободно движущимися электронами в металле между двумя последовательными столкновениями с ионами решетки. Среднее время между двумя столкновениями будет

Так как v << v_Т, то можно считать, что ни ни не меняются при наложении электрического поля Е.

Закон Ома

При наличии внешнего электрического поля Е на электрон действует сила F = еЕ, вследствие чего он приобретает ускорение

(m — масса электрона). Будем считать, что при столкновении с ионом электрон полностью теряет свою скорость направленного движения: v_min = 0. Далее он начинает ускоряться электрическим полем и к следующему столкновению приобретает скорость

Следовательно, средняя скорость направленного движения v за период между двумя столкновениями, то есть за время составляет

(4.64)

Значит, плотность тока будет равна

(4.65)

Сопоставляя полученное для плотности тока j выражение с законом Ома (4.9), получаем формулу для проводимости s и для связанного с ним удельного сопротивления

(4.66)

 

Приведем численные оценки. как будет показано в дальнейшем, связь длины свободного пробега с эффективным
сечением рассеивающего центра (иона) и концентрацией этих центров имеет вид

Для металлов, как мы уже обсуждали, концентрация ионов примерно совпадает с концентрацией свободных электронов

Подставляя выражение для в формулу (4.66), получаем

(4.67)

Оценку для сечения можно получить, зная порядок диаметров атомов

откуда

Скорость хаотического движения была оценена как v_Т = 10⁵ м/с. Получаем теперь из (4.67) значение удельного сопротивления

(4.68)

 

Полученная оценка действительно воспроизводит порядок величины удельных сопротивлений металлов, представленных в таблице (см. п. 4.3).

Коэффициент пропорциональности называется проводимостью вещества проводника.

Проводимость связывает напряженность поля в данной точке с установившейся скоростью «течения» носителей заряда. Поэтому она может зависеть от локальных свойств проводника вблизи этой точки (то есть от строения вещества), но не зависит от формы и размеров проводника в целом. Соотношение (4.9) носит название закона Ома для плотности тока в проводнике (его называют также законом Ома в дифференциальной форме).

 

Рис. 4.4. Силовые линии электрического поля совпадают с линиями тока

Чтобы понять порядки величин, оценим дрейфовую скорость носителей заряда в одном из наиболее распространенных материалов — меди. Возьмем для примера силу тока I = 1 А, и пусть площадь поперечного сечения провода составляет
1 мм² = 10^–6 м². Тогда плотность тока равна j = 10⁶ А/м². Теперь воспользуемся соотношением (4.7)

Носителями зарядов в меди являются электроны (е = 1.6·10^-19 Кл), и нам осталось оценить их концентрацию . В таблице Менделеева медь помещается в первой группе элементов, у нее один валентный электрон, который может быть отдан в зону проводимости. Поэтому число свободных электронов примерно совпадает с числом атомов. Берем из справочника плотность меди — r _Cu=8,9·10³ кг/м3. Молярная масса меди указана в таблице Менделеева — M_Cu = 63,5·10^–3 кг/моль. Отношение

— это число молей в 1 м³. Умножая на число Авогадро Na = 6,02·10²³ моль^–1, получаем число атомов в единице объема, то есть концентрацию электронов

Теперь получаем искомую оценку дрейфовой скорости электронов

Для сравнения: скорости хаотического теплового движения электронов при 20°С в меди по порядку величины составляют 10⁶ м/с, то есть на одиннадцать порядков величины больше.

Уравнение непрерывности

Возьмем произвольную воображаемую замкнутую поверхность S, которую в разных направлениях пересекают движущиеся заряды. Мы видели, что полный ток через поверхность равен

где dq — заряд, пересекающий поверхность за время dt. Обозначим через q' заряд, находящийся внутри поверхности. Его можно выразить через плотность заряда , проинтегрированную по всему объему, ограниченному поверхностью

Из фундаментального закона природы - закона сохранения заряда — следует, что заряд dq, вышедший через поверхность за время dt, уменьшит заряд q' внутри поверхности точно на эту же величину, то есть dq ' = –dq или

Подставляя сюда написанные выше выражения для скоростей изменения заряда внутри поверхности , получаем математическое соотношение, выражающее закон сохранения заряда в интегральной форме

(4.10)

Напомним, что интегрирования ведутся по произвольной поверхности S и ограниченному ею объему V.

Сторонние силы. ЭДС

Пусть на концах проводника длиной l создана разность потенциалов которая порождает внутри него электрическое поле Е, направленное в сторону падения потенциала (рис. 4.5-1). Если поле внутри проводника можно считать однородным, то

(4.11)

Рис. 4.5. Для возникновения тока необходима разность потенциалов на концах проводника.
Для поддержания разности потенциалов нужен источник тока

 

При этом в проводнике возникает электрический ток, который идет от большего потенциала к меньшему . Движение (положительных) зарядов от к приводит к выравниванию потенциалов во всех точках. Электрическое поле в проводнике при этом исчезает, и ток прекращается. Очевидно, обязательным условием существования тока является наличие разности потенциалов

а для ее поддержания необходимо иметь специальное устройство, с помощью которого будет происходить разделение зарядов на концах проводника. Такое устройство называется источником тока. Таким образом, для получения тока требуется наличие замкнутой цепи и источника тока (рис. 4.5-2). Гальванические элементы, аккумуляторы, термоэлементы, электрические генераторы — примеры источников тока. Источник тока выполняет одновременно и вторую задачу — он замыкает электрическую цепь, по которой можно было бы осуществить непрерывное движение зарядов. Ток течет по внешней части — проводнику и по внутренней — источнику тока. Источник тока имеет два полюса: положительный, с более высоким потенциалом, и отрицательный, с более низким потенциалом. При разомкнутой внешней цепи на отрицательном полюсе источника тока образуется избыток электронов, а на положительном — недостаток. Разделение зарядов в источнике тока производится с помощью внешних, так называемых сторонних сил, направленных против электрических сил, действующих на разноименные заряды в проводниках самого источника тока. Природа сторонних сил может быть самой различной: механической, химической (рис. 4.6), тепловой, биологической и т. Д.

Итак, перемещение заряда по замкнутому проводнику под действием источника тока происходит за счет сил не электростатического происхождения — сторонних сил, действующих внутри источника. Электростатические силы не могут обеспечить движение зарядов по замкнутому контуру в силу своей консервативности (работа этих сил по замкнутому контуру равна нулю).

Таким образом, если цепь, состоящая из проводника и источника тока, замкнута, то по ней проходит ток, и при этом совершается работа сторонних сил. Эта работа складывается из работы, совершаемой против сил электрического поля внутри источника тока , и работы, совершаемой против механических сил сопротивления среды источника , то есть

(4.12)

 

Отношение работы, которую совершают сторонние силы при перемещении точечного заряда вдоль всей цепи, включая и источник тока, к заряду, называется электродвижущей силой (ЭДС) источника тока: (4.13)

 

Работа против сил электрического поля равна

(4.14)

Если полюсы источника разомкнуты, то , и тогда

(4.15)

то есть ЭДС источника тока при разомкнутой внешней цепи равна разности потенциалов, которая создается на его полюсах.

Распределение потенциала в замкнутой цепи представлено на рис. 4.7.

Рис. 4.7. Распределение потенциала в замкнутой электрической цепи

Ясно, что движение положительных зарядов происходит в сторону уменьшения потенциала. В то же время необходимо наличие области, где движение зарядов происходит в сторону увеличения потенциала за счет сторонних сил. Проще говоря: чтобы вода текла вниз, кто-то должен поднять её наверх.

 

---

Дата добавления: 2020-11-27; просмотров: 140; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!