Выполненную и правильно оформленную работу предоставить преподавателю.

Практическое занятие № 5

Тема: «Операции над множествами. Решение комбинаторных задач.»

Цель: 1.Сформировать навыки решения заданий, связанных с базовыми понятиями теории множеств и операций над множествами, типовых комбинаторных задач.

2. Способствовать развитию логического мышления, памяти, внимания.

3. Способствовать привитию сознательного приобретения новых знаний по теме.

Теоретические сведения к практической работе:

1. Множество относится к математическим объектам, для которых нет строгого определения. Другим примером неопределяемого понятия служит точка в геометрии.

Один из основателей теории множеств Г. Кантор определял множество так: "Множество есть многое, мыслимое как целое".

Множество - это совокупность объектов, называемых элементами множества. Объекты, которые образуют множество, называются элементами этого множества. Пример: Множество S = {3, 2, 11, 5, 7} - элементы множества записывают в фигурных скобках.

Некоторые множества имеют стандартные названия и обозначения:

Æ — пустое множество;

N = {1, 2, 3, ...} — множество натуральных чисел;

Z = {0, ±1, ±2, ±3, ...} — множество целых чисел;

Q = { p, qÎ Z, q¹0} — множество рациональных чисел;

R = {все десятичные дроби} — множество вещественных чисел.

Множества, состоящие из одних и тех же элементов, называются равными (одинаковыми). Пишут А=В.

Множество, которое не содержит ни одного элемента, называется пустым и обозначается символом ∅. Принято считать, что пустое множество является подмножеством любого множества, ÆÍ А, где А – любое множество. Таким образом, всякое множество содержит в качестве своих подмножеств пустое множество и само себя.

Если каждый элемент множества А является элементом множества В, говорят, что множество А является подмножеством множества В, и записывают А ÍВ или В Ê А. Отметим, что по определению само множество А является своим подмножеством, т.е. А ÍА.

Если АÍВ и В ÍА, то по ранее введенному определению А = В.

Если АÍВ и А ¹В, то А есть собственное подмножество В, А ÌВ. Если А не является собственным подмножеством В, то записывают А ËВ.

Множества могут быть конечными или бесконечными. Конечное множество состоит из конечного числа элементов, например, множество страниц в книге, множество студентов в группе и т.д.

Бесконечное множество состоит из бесконечного числа элементов, т.е. это множество, которое не является ни конечным, ни пустым. Например: множество действительных чисел, множество точек плоскости, множество атомов во Вселенной и т.д.

Мощностью конечного множества называется количество его элементов. Мощность множества A обозначается m (A) или |А|.

Множество всех подмножеств данного множества А называется множеством-степенью и обозначается P(A). Множество P(A) состоит из 2ⁿэлементов.

Пересечение множеств

· Пересечением (произведением) множеств и называется множество, обозначаемое и состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат и множеству , и множеству :

А В

Объединение множеств

· Объединением (сумма) множеств и называется множество , состоящее только из тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств или :

А В

Объединение множеств содержит все элементы множества и все элементы множества .

Вычитание множеств

· Разностью между множествами и называется множество ( А \ В), состоящее из тех элементов множества , которые не принадлежат множеству , то есть .

Дополнение множества

Часто множества , … являются подмножествами некоторого более широкого множества , принимаемого за универсальное.

· Для совокупности множеств , ... универсальным множеством называют каждое множество такое, что , , , ... .

· Множество элементов универсального множества , не принадлежащих множеству , называется дополнением множества до множества или просто дополнением и обозначается . Таким образом, .

2.Комбинаторика занимается различного рода соединениями, которые можно образовать из элементов некоторого конечного множества. Термин "комбинаторика" происходит от латинского combina - сочетать, соединять.

Комбинаторикой называется раздел математики, изучающей вопрос о том, сколько комбинаций определенного типа можно составить из данных предметов (элементов).

Размещение с повторением. Из множества, содержащего m элементов, нужно выбрать k элементов, причем выбранный элемент, после того, как его взяли, вновь возвращается в исходное множество (то есть элементы в выбранном множестве могут повторяться).

Пользуясь правилом произведения, получим, что каждый из k элементов может быть выбран m способами. Таким образом, общее число комбинаций равно .

Пример 1. Сколько различных четырехзначных чисел можно составить из цифр 2, 3, 5, 7.

Решение. Первой цифрой в числе может быть любая из четырех имеющихся. То же самое можно сказать и о последующих цифрах числа, поэтому общее число комбинаций:

Размещениями без повторений из n элементов по m в комбинаторике называется любой упорядоченный набор из m различных элементов, выбранных из генеральной совокупности в n элементов.

Число размещений в комбинаторике обозначается A_n^m и вычисляется по формуле:

Пример 2. Сколько различных четырехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, при условии. Что цифры в числе не повторяются?

Решение. Общее число комбинаций равно числу размещений из 6 элементов по 4:

Перестановкой из m различных элементов называются комбинации, которые состоят из m элементов и отличаются друг от друга только порядком их расположения.

Число перестановок из m элементов равно:

Пример 3. Сколько различных четырехзначных чисел можно составить из цифр 2, 3, 5. 7, если цифры в числе не повторяются?

Решение. Количество чисел равно числу перестановок из четырех элементов:

Сочетаниями из n элементов по m элементов (m n) называются комбинации, состоящие из m элементов, взятых из данных n различных элементов, отличающиеся друг от друга только составом.

Число сочетаний из n элементов по m элементов вычисляется по формуле:

Пример 4. В группе 10 студентов. Сколькими способами можно выбрать из этой группы троих студентов для участия в конференции?

Решение. Число способов равно числу сочетаний из 10 элементов по 3 элемента: .

Методические указания к выполнению заданий:

Указания для задания №1:

Задача. Даны множества на числовой прямой A= ; B= ; C= .

Найти следующие множества: А и изобразить их на числовой оси.

Решение.

-Множество A состоит из точек числовой прямой ,которые принадлежат либо множеству A ,либо множеству C:

A .

-Множество A состоит из точек числовой прямой, которые принадлежат одновременно и множеству A и множеству B.

A .

-Множество A состоит из точек числовой прямой, которые принадлежат хотя бы одному из множеств A, B или C.

A .

-Множество ( A состоит из точек числовой прямой, которые принадлежат одновременно множеству A и множеству C. Построим множество A :

-Построим здесь же множество ( A

-Множество B состоит из точек числовой прямой, которые принадлежат одновременно и множеству B и множеству C.

-B = Ø так как у этих множеств нет общих точек.

Таблица . Правила изображения числовых промежутков.

Указания для заданий № 5 - 7:

1. При выполнении заданий следует применять формулы для перестановок, размещений и сочетаний элементов.

2. Следует помнить, что внутри размещения элементы отличаются друг от друга.

3. В комбинаторных задачах результаты должны быть положительными и целыми.

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ВЫПОЛНЕНИЯ СТУДЕНТАМИ:

Вариант - 1	Вариант - 2
1. Даны множества на числовой прямой А,В и С. Найти множества: А и изобразить их на числовой оси. А= , В= , С=	1. Даны множества на числовой прямой А,В и С. Найти множества: А и изобразить их на числовой оси. А= , В= , С=
2. Сравнить множество А с множествами B, C, D. а) Если множества пересекаются, найти их пересечения. б) Найти универсальное множество для данных множеств. в) Изобразить отношения между множествами с помощью кругов Эйлера - Венна. А = {красный, желтый, синий, зеленый}. B = {красный, желтый}. С = {желтый, синий, черный, оранжевый}. D = {коричневый, голубой, розовый}.	2. Сравнить множество А с множествами B, C, D. Сравнить множества B, C, D. а)Найти попарно пересечение множеств В, С, D. б) Найти универсальное множество для данных множеств. в) Изобразить отношения между множествами с помощью кругов Эйлера-Венна. А = {а \| a – студент ВГСПУ}. B = {b \| b – студент - филолог ВГСПУ }. С = {с \| с– студент-историк ВГСПУ }. D = {d \| d – студент первого курса ВГСПУ}.
3. Сколько человек в группе занимается спортом, если 9 человек занимаются лыжами и плаванием, а 12 человек – плаванием и волейболом, причем в секцию по плаванию ходят 4 человека из групп?	3.Пятьдесят лучших студентов колледжа наградили за успехи поездкой в англию и Германию. Из них 5 - не владели ни одним разговорным иностранным языком, 34 – знали английский язык и 27 – немецкий. Сколько студентов владели двумя разговорными иностранными языками ?
4. Найти множество, являющееся пересечением множеств А={д, е, ф, ж, в, г, п, с} и В={а, б, г, и, к, л. ж о} и мощность найденного множества. Построить диаграммы Эйлера-Венна.	4. Найти множество, являющееся объединением множеств А={h, l, m, p, q} и В={l, p, o, g, t, s, h} и мощность найденного множества. Найти универсальное множество для множеств А и В. Построить диаграммы Эйлера-Венна.
5. Найдите значения выражения:
а) б) в) г)	а) б) в) г)
6. Сколькими способами можно выбрать 3-х дежурных, если в классе 30 человек?	6. Научное общество состоит из 25 человек. Надо выбрать президента общества, вице-президента, ученого секретаря и казначея. Сколькими способами может быть сделан этот выбор, если каждый член общества может занимать лишь один пост?
7.На 7 сотрудников выделены 5 различных путевок. Сколькими способами их можно распределить среди сотрудников?	7. Сколькими способами можно переставить буквы в слове «ДЕЛЕНИЕ»?
Вариант - 3	Вариант -4
1. Даны множества на числовой прямой А,В и С Найти множества А и изобразить их на числовой оси. А= , В= , С=	1. Даны множества на числовой прямой А,В и С Найти множества А и изобразить их на числовой оси. А= , В= , С=
2. Найти множество, являющееся объединением множеств А= {1, 2, 5, 7, 10}и В = {2, 3, 5, 6, 7, 9}, и мощность найденного множества. Найти универсальное множество для множеств А и В. Построить диаграммы Эйлера-Венна.	2. Найти множество, являющееся разностью множеств А= {1, 2, 5, 7, 10}и В = {2, 3, 5, 6, 7, 9}, и мощность найденного множества. Построить диаграммы Эйлера-Венна.
3.Каждый студент группы программистов занимается в свободное время либо в НСО, либо спортом. Сколько студентов в группе, если 23 – увлекаются спортом, 12 – занимаются в НСО, а 7 – совмещают занятия в НСО и увлечение спортом ?	3. В классе 35 учащихся. Из них 20 посещают математический кружок, 11 – физический, 10 учащихся не посещают ни одного их этих кружков. Сколько учеников посещают и математический, и физический кружок ?
4. Найти множество, являющееся разностью множеств А={a, b, c, d, e, f, g} и В={h, i, j, a, k, l, f} и мощность найденного множества. Найти универсальное множество для множеств Аи В. Построить диаграммы Эйлера-Венна.	4. Даны множества А={2, 3, 5, 8, 13, 15}, В={1, 3, 4, 8,16}, С={12, 13, 15, 16}, D={0, 1, 20}. Найти множества, являющееся А ∩ В ∩ С, D\В, и мощность каждого из найденных множеств. Построить диаграммы Эйлера – Венна.
5. Найдите значения выражения:
а) б) в) г)	а) б) в) г)
6. Сколькими способами собрание, состоящее из 18 человек, может выбрать из своего состава председателя собрания и секретаряз его выбрать ловек ажков книг333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333?	6. Тренер отбирает 5 спортсменов из 12. Сколькими способами он может составить команду?
7.Сколько перестановок можно сделать из букв слова « МИССИСИПИ» ?	7.Сколько вариантов распределения 3- х путевок в санаторий различного профиля можно составить для 5 претендентов?