При обработке результатов измерений следует помнить, что точность вычислений должна быть согласована с точностью самих измерений.
Расчет ошибок косвенного измерения
Пусть искомая величина Z является функцией двух переменных: X и Y, т.е
Z=f(x, y).
Установлено, что абсолютная ошибка функции y = f ( x ) равна произведению производной этой функции на абсолютную ошибку аргумента, т. е.
.
Поэтому для определения абсолютной ошибки функции Z=f(x,y) находят полный дифференциал этой функции:
dz= 
, (2)
где 
и 
- частные производные функции Z по аргументам X и Y.
Каждая частная производная находится как простая производная функции Z = f ( x , y ) по соответствующему аргументу. Оставшийся аргумент рассматривается как постоянный множитель.
При малых значениях дифференциалов аргументов dx и dy (или приращений аргументов 
и 
) приращение функции 
.
В этом случае формула (2) принимает вид
Z= 
.
В качестве средней абсолютной погрешности принимают среднюю квадратичную погрешность 
, которая определяется соотношением
, (3)
где 
и 
-суммарные погрешности измерений величины X и Y, определяемые по формуле (1).
Средняя относительная погрешность величины Z рассчитывается по формуле 
.Следовательно, разделив обе части выражения (3) на 
, получим относительную погрешность функции Z:
.
Таким образом, если 
и Y -прямые измерения, полученные в эксперименте, а Z -искомая величина, как результат этого эксперимента, то средняя относительная погрешность величины Z зависит от всех средних значений прямых измерений и их абсолютных погрешностей.
|
|
|
Зная относительную погрешность, находят абсолютную ошибку величины Z:
Окончательный результат измерений записывают так:
Z= 
.
Пример.
Рассмотрим расчет ошибок на примере определения плотности твердого тела правильной геометрической формы. Для цилиндра массой m, высотой h, диаметром D средняя плотность определяется соответствующими средними значениями прямых измерений:
.
Обратим внимание на то, что прямыми измерениями в этой формуле являются измерения массы, высоты и диаметра цилиндра. Постоянные коэффициенты (в нашем случае это число 4) и число p (как правило, мы его берем с тремя значащими цифрами – 3,14) в формуле для расчета относительной, а потом и абсолютной погрешности, участие не принимают.
При расчете среднего значения плотности необходимо на первом этапе определиться с число значащих цифр. Для этого мы смотрим, сколько значащих цифр получилось при расчете среднего значения массы, высоты и диаметра цилиндра. Согласно правилам расчетов при умножении и делении величин, полученных прямыми измерениями (см. файл «Правила записи результатов измерений») выбираем НАИМЕНЬШЕЕ КОЛИЧЕСТВО ЗНАЧАЩИХ ЦИФР.
|
|
|
После расчета среднего значения плотности приступаем к расчету погрешностей.
Используя формулу (3), для нашего случая получаем
.
Обратите внимание! В формуле участвуют слагаемые, соответствующие тем прямым измерениям, что были получены в процессе эксперимента.
Найдя частные производные 
, имеем
.
Разделив левую и правую части последнего выражения на 
,
получаем
,
отсюда 
.
Таким образом, относительная погрешность плотности
.
Коэффициент 2 в слагаемом 
появился благодаря тому, что в формуле расчета плотности диаметр возводился во вторую степень, что при частном дифференцировании привело к возникновению данного коэффициента.
Зная относительную ошибку, находим абсолютную погрешность плотности ( 
):
.
При обработке результатов измерений следует помнить, что точность вычислений должна быть согласована с точностью самих измерений.
Дата добавления: 2020-11-23; просмотров: 64; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!