Эталоны ответов для самостоятельной работы на занятии

Актуальность темы :

Вероятностные представления довольно успешно применялись еще в 18 веке такими выдающимися учеными как Лаплас, Лагранж, Лежандр, Гаусс для оценки ошибок измерений, в результате чего уже в то время были заложены основы теории ошибок. Настоящая теория использования вероятностных идей в конкретных науках началась с 19 века. Первый урожай применения этого нового метода познания был получен в области изучения социальных явлений. Именно здесь было обращено внимание на то, что статистические закономерности, которым следуют социальные явления, получают свое объяснение на основе вероятностных представлений. Более того, этот новый способ анализа сложных социальных явлений в значительной мере способствовал обнаружению новых закономерностей в этой области.

Последние десятилетия характеризуются резким повышением интереса к тем разделам математики и ее приложений, которые анализируют явления, носящие «случайный» характер. Эта тенденция в значительной степени объясняется тем, что большинство возникших в последние десятилетия новых математических дисциплин, которое ныне обозначается собирательным термином «кибернетика», оказалось тесно связанным с теорией вероятностей. Тем самым теория вероятностей стала чуть ли не самой первой по прикладному значению из всех математических дисциплин. При этом возникновение новых, в большинстве своем «порожденных» теорией вероятностей наук, скажем «теория игр», «теория информации», «страховая математика» или «стохастическая финансовая математика» привело к положению, при котором теорию вероятностей также приходится рассматривать как объединение большого числа разнородных и достаточно глубоко развитых математических дисциплин. Если же прибавить ко всему вышесказанному бесспорное методологическое значение теории вероятностей, важность понимания связи между «случайным» и «неизбежным», между «динамическими» и «статистическими» закономерностями, то станет ясным, что в наше время основы теории вероятностей должны входить в научный багаж каждого образованного человека.

Учебные цели:

- анализировать условие задачи и описывать случайные события;

- выбирать необходимые формулы вычисления вероятностей событий;

- верно записывать формулы и вычислять вероятности событий;

Развивающие цели:

- развитие мыслительной деятельности, памяти и творческих способностей учащихся;

- развитие логического мышления учащихся, их алгоритмической культуры и математической интуиции;

- развитие умения анализировать, структурировать информацию, принимать решения;

- формирование умения проводить аналогию, сопоставлять данные, соотносить их с реальностью;

- формирование умения моделировать реальные ситуации;

- формирование у студентов целостной картины мира, расширение кругозора;

Воспитательные цели:

- воспитание познавательной активности, привлечение внимания и формирование интереса обучающихся к предмету;

- формирования навыков групповой работы, коллективного принятия решений;

- формирование навыков самоконтроля, внимания при решении задач;

- воспитание чувства ответственности;

- формирование культуры общения и общей культуры студентов.

- План занятия.

1. Вероятность случайного события.

2. Вероятность суммы событий.

3. Вероятность произведения событий.

Актуализация знаний.

Вопросы по повторению:

1. Как в комбинаторике называют комбинации из n элементов, в которых важен только набор элементов, без учета их порядка

2. Как называют комбинации из n элементов, в которых важен не только набор элементов, но и их порядок

3. Как называют комбинации из n элементов, которые отличаются только их порядком?

4. Событие, которое в результате эксперимента может как произойти, так и не произойти

5. Событие, которое в результате эксперимента обязательно произойдет

6. Событие, которое в результате эксперимента никогда не произойдет Как называется величина, равная отношению благоприятных событию исходов ко всем возможным исходам эксперимента

7. Как называют несовместные события, образующие полную группу, одно из которых заключается в том, что второе не произойдет

8. Как называют события, если наступление одного из них влияет на вероятность наступления другого

9. Как называют вероятность события, вычисленную при условии, что ему предшествовало другое событие, повлиявшее на него?

Решение задач.

1. Медсестра ставит трехзначный код из трех гласных букв на карту больного. Сколько вариантов нумерации у нее есть, если буквы можно повторять? А если нельзя?. 2.Сколькими способами можно выбрать две таблетки из пяти для приема?

.3. В результате эксперимента выяснилось, что вакцина против гриппа срабатывает с вероятностью 0,98. Какова вероятность, что вакцинация на ребенка не подействует?

4. У стрелка развился конъюнктивит и его меткость снизилась до 0,9. Какова вероятность, что он промахнется при двух выстрелах подряд?

Изучение нового материала

Мы вспомнили основные правила теории вероятностей и с их помощью смогли вычислить вероятности случайных событий.

Давайте попробуем применить эти теоремы к решению практических задач.

Альбинизм (лат. albus — белый) — врождённое рецессивно-наследуемое отсутствие пигмента меланина (у животных) или хлорофилла (у растений), фенотипически проявляющийся отсутствием присущей для данного вида окраски кожи, волос, шерсти, радужной и пигментной оболочек глаз, зелёных частей растений. В настоящее время считается, что причиной альбинизма является отсутствие (или блокада) фермента тирозиназы, необходимой для нормального синтеза меланина — особого вещества, от которого зависит окраска тканей. Альбинизм — наследственное заболевание, проявляющееся в случае, если и отец и мать ребенка являются носителями этого измененного гена.

В лаборатории две клетки с 10 лабораторными мышами. В первой поломка гена обнаружена у трех, а во второй у четырех мышей. Для спаривания случайным образом выбирают по одной мыши из каждой клетки. С какой вероятностью полученное потомство унаследует генетическую поломку и будет носителем альбинизма?

Для решения задачи давайте составим схему и условно назовем мышей “белые” и “черные”.

или

Событие ={мышь имеет поломку гена}

Очевидно, что событие А может происходить только после предшествующего ему события, которое заключается в выборе мышей из клеток и его вероятность меняется в зависимости от того, чем закончился предыдущий эксперимент.

Сколько предшествующих случаев можно получить? (ч+ч, ч+б, б+ч, б+б)

Рассмотрим 4 случая, которые могут произойти в результате предшествующего эксперименту события и назовем их гипотезами.

Гипотеза - {и в первом и во втором случае нам попадутся черные мыши}

Какова условная вероятность события в этом случае?

Гипотеза - {в первом черная во втором белая мыши}

Какова условная вероятность события в этом случае?

Гипотеза - {в первом белая во втором черная мыши}

Какова условная вероятность события в этом случае?

Гипотеза - {и в первом и во втором случае нам попадутся белые мыши}

Какова условная вероятность события в этом случае?

Искомое событие может произойти только одновременно с одной из четырех представленных гипотез, каждая из которых тоже имеет свою долю вероятности. Следовательно, что должна произойти

ИЛИ И с ней зависимое событие А

ИЛИ И А

ИЛИ И А,

Т.е.

Вероятность первой гипотезы –

Вероятность второй гипотезы –

Вероятность третьей гипотезы –

Вероятность четвертой гипотезы –

Обратите внимание на то, что вы использовали для вычисления вероятности из прошлого занятия.

- Условная вероятность

- Вероятность произведения

- Вероятность суммы

Закрепление материала

В городе М живет семья - мама, папа и 3 детей.

Когда наступает сезон гриппа, каждый из троих детей заболевает в 7 случаях из 10.

В этот раз один из мальчиков заболел и родители решили обратиться за консультацией в поликлинику.

В регистратуре поликлиники сидят 3 диспетчера к каждому из которых с одинаковой долей вероятности равной 0,5 поступает звонок, причем, если первый диспетчер не занят, то звонок принимает он, если же занят – звонок переходит ко второму диспетчеру, если и он занят – к третьему.

Выслушав жалобы, диспетчер рекомендует как можно скорее отвезти ребенка в поликлинику и родители вызывают такси, что бы поехать на прием.

Как показывает практика, в течение первых 10 минут Uber присылает машину в 70% случаев, а такси Gett в 60% случаев.

Пока такси едет к дому, все одеваются и мама не глядя достает из шкафа пару перчаток, позабыв, что у нее три пары перчаток красного и 2 черного цвета.

Дождавшись такси, семья едет в больницу и при оплате поездки папа выясняет, что позабыл последние две цифры пин-кода кредитной карты, но, к счастью, вспоминает, что среди них нет четных цифр и пин-код заканчивается на число кратное трем.

После того, как семья попадает в поликлиник и поднимается на третий этаж к нужному кабинету, мама занимает очередь к врачу и оказывается пятой. После нее очередь занимают еще пятеро. Среди 10 детей сидящих в очереди еще трое больны гриппом.

Спустя несколько минут медсестра вызывает ребенка в кабинет и врач осматривает его, выписывает лекарство и отпускает принимать лечение домой.

И пока семья борется с гриппом дома ответьте, пожалуйста, на следующие вопросы.

1. Какова вероятность, что звонок принял третий диспетчер? (0,125)

2. Какова вероятность, что такси пришлось ждать больше десяти минут?(0,12)

3. Какова вероятность, что мама уехала в перчатках одного цвета? (7/15)

4. Сколько вариантов пришлось перебрать папе, чтобы заплатить за такси?(10)

5. Какова вероятность, что нужный вариант был первым?(0,1)

6. Какова вероятность, что вошедшие в кабинет перед мальчиком пациенты не были заражены гриппом?(1/14)

7. Сколько детей наивероятнейшим образом должны были заболеть гриппом в этой семье? (2)

Эталоны ответов для самостоятельной работы на занятии

Задача 1.: Какова вероятность, что звонок принял третий диспетчер?

Решение задачи: Т.к. при звонке на диспетчерский пульт происходит переадресация при занятости телефона, то для того, чтобы звонок был адресован третьему диспетчеру нужно, чтобы первые два были заняты, что произойдет с вероятностью 0,5 для каждого.

Т.е.

Задача 2.: Какова вероятность, что такси пришлось ждать больше десяти минут?

Решение задачи: Т.к. ожидание более 10 минут происходит во всех оставшихся от указанных процентов случаях, то ее можно вычислить как вероятность противоположного события. Для Uber такая вероятность составит , а для Gett . Для того чтобы ожидание продлилось больше 10 минут нужно, чтобы обе службы опоздали.

Следовательно

Задача 3.: Какова вероятность, что мама уехала в перчатках одного цвета?

Решение задачи: Для того, чтобы оказаться в перчатках одного цвета необходимо чтоб они были или обе красные или обе черные.

Всего вытащить две перчатки из 10 имеющихся можно столькими способами, сколько существует сочетаний из 10 по 2.

Вариантов вытащить две красные перчатки из 10 штук, среди которых 6 красных столько, сколько сочетаний из 6 по 2, а две четные – столько, сколько существует сочетаний из 4 по 2.

Следовательно

Задача 4.: Сколько вариантов пришлось перебрать папе, чтобы заплатить за такси?

Решение задачи: из двух цифр на первом месте может находиться одна из пяти нечетных, на втором только та из нечетных, которая делится на 3 – 3 или 9. Существует столько комбинаций, сколько можно получить переменожив количество вариантов для первой и второй цифры.

Следовательно

Задача 5.: Какова вероятность, что нужный вариант был первым?

Решение задачи: Т.к. всего вариантов 10, а нужный только один,

следовательно

Задача 6.: Какова вероятность, что вошедшие в кабинет перед мальчиком пациенты не были заражены гриппом?

Решение задачи: Т.к. больных гриппом в очереди всего 4, то здоровых 6. Вероятность того, что первый пациент будет здоров 6 из 10, т.к. в очереди осталось всего 9 человек и здоровых на одного меньше, то вероятность, что второй зашедший в кабинет пациент будет здоров – 5 из 9. И так далее, до тех пор пока не пройдут 4 человека.

Следовательно

Задача 7.: Сколько детей наивероятнейшим образом должны были заболеть гриппом в этой семье? (2)

Решение задачи: Т.к. вероятность заболеть гриппом для каждого из детей одинакова, то вероятность заразиться вычисляется по схеме Бернулли

Следовательно, заболеть должны были 2 ребенка, как наивероятнейшее событие по схеме Бернулли.

Контроль усвоения новой темы

Дата добавления: 2020-11-23; просмотров: 464; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

12 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!