Число элементов объединения и разности двух конечных множеств
Урок 1,2 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
Множество – это совокупность объектов (в математике или окружающей действительности), сгруппированных по какому-либо признаку.
Обозначают множество заглавной латинской буквой, например, множество А, множество В.
Множество – не значит «много». Множество может состоять из большого числа элементов, из нескольких элементов или из одного элемента. А так же множество может вообще не содержать ни одного элемента. Такое множество называют «пустое множество» и обозначают символом Ø
Элементы множества – это объекты или предметы, составляющие множество. Обозначают строчными латинскими буквами: a, b, c, d, t, f и т.д.
Множества бывают конечные и бесконечные. Например, множество всех двухзначных чисел – конечное. Множество всех целых чисел – бесконечное. Для некоторых числовых множеств в математике приняты стандартные обозначения:
N – множество натуральных чисел;
Z – множество целых чисел;
Q – множество рациональных чисел;
R – множество действительных чисел.
Способы задания множеств
1. Пересечением (применяется только для конечных множеств). Все элементы множества записывают в фигурных скобках.
Например, множество всех чётных однозначных чисел запишем так:
A = {2, 4, 6, 8}
2. Характеристическими свойствами (когда элементов очень много или множество является бесконечным).
Например, множество В = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14}
|
|
|
Зададим то же самое множество с помощью характеристических свойств:
В = { x | x 
N , x <15}
Читается эта запись так: «множество В состоит их элементов икс, таких что икс – число натуральное и икс меньше пятнадцати».
Отношения между множествами
1. Если множества А и В имеют общие элементы, т.е. элементы, принадлежащие одновременно А и В, то говорят, что множества пересекаются.
Например A= {a, b, c, d, e}, В= { b , d , k , m }, C = { x , y , z }, то множества А и В пересекаются, т.к. у них есть общие элементы - d и b. А множества А и С и множества В и С не пересекаются, т.к. не содержат общих элементов.
2. Множество В называют подмножеством множества А, если каждый элемент В является так же элементом множества А. пустое множество является подмножеством любого множества. Любое множество является подмножеством самого себя.
Например A= {a, b, c, d, e}, B = { c , d , e }, перечислим все подмножества множества А:
B A – множество В является подмножеством А
А A – множество А подмножество самого себя
Ø А – пустое множество является подмножеством множества А.
3. Множества А и В называются равными, если А подмножество В, а В подмножество А, то есть все их элементы равны. Порядок элементов в множестве роли не играет.
|
|
|
Например A= {a, b, c, d, e}, B = { c , d , a, e , b }, перечислим все подмножества множества А:
B A – множество В является подмножеством множества А
А B – множество А является подмножеством множества В
Отношения между множествами наглядно представляют с помощью особых чертежей, называемых кругами Эйлера.
На приведенном ниже рисунке:
а) А и В пересекаются;
б) В подмножество А:
в) А подмножество В
г) А и В совпадают (равны)
|
|
|
|
|
|
 | |||||||||
| |||||||||
 | |||||||||
 |  | ||||||||
а) б) в) г) д)
 |
Число элементов объединения и разности двух конечных множеств
Пусть A и B — конечные множества. Число элементов множества A условимся обозначать символом m(A) и называть численностью множества A.
Определим численность объединения множеств A и B.
Если множества A и B не пересекаются (см. рис. 1а), то m(AÈB) = m(A) + m(B). Таким образом, численность объединения конечных непересекающихся множеств равна сумме численностей этих множеств.
|
|
|
Если множества A и B пересекаются (см. рис. 1б), то в сумме m(A) + m(B) число элементов пересечения AÇB содержится дважды: один раз в m(A), а другой — в m(B). Поэтому, чтобы найти численность объединения m(AÈB) , нужно из указанной суммы вычесть m(AÇB). Таким образом:
m(AÈB) = m(A) + m(B) - m(AÇB)
Определим теперь численность разности множеств A и B.
Если множества A и B не пересекаются (см. рис. 1а), то A \ B = A, и поэтому m(A\B) = m(A).
Если множества A и B пересекаются (см. рис. 1б), то m(A\B) = m(A) - m(AÇB).
Если В Ì А (см. рис. 1в), то AÇB = B, и, следовательно, m(A\B) = m(A) - m(B).
Примеры решения задач
Задача 1. Каждый студент первого курса обязан изучать хотя бы один иностранный язык. На юридическом факультете изучаются либо английский, либо немецкий язык. Из 94 первокурсников юридического факультета 76 человек изучают английский язык, 34 – изучают немецкий. Сколько студентов изучают два языка?
Решение. Обозначим А – множество студентов, изучающих английский язык; В – множество студентов, изучающих немецкий язык. Множество всех первокурсников равно АÈВ. Множество, изучающих два языка AÇB. Воспользуемся формулой
|
|
|
m(AÈB) = m(A) + m(B) - m(AÇB).
Из условия задачи m(A)=76, m(B)=34, m(AÈB) =94. Поэтому
m(AÇB)= 76+34-94=16.
Дата добавления: 2020-11-23; просмотров: 1049; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!