Пример решения задачи на нахождение центра тяжести плоской фигуры

Тема: Расчет координат центра тяжести плоской фигуры.

Способы определения координат центра тяжести

1 Аналитический (путем интегрирования).

2 Метод симметрии. Если тело имеет плоскость, ось или центр симметрии, то его центр тяжести лежит соответственно в плоскости симметрии, оси симметрии или в центре симметрии.

3 Экспериментальный (метод подвешивания тела).

4 Разбиение. Тело разбивается на конечное число частей, для каждой из которых положение центра тяжести C и площадь S известны. Например, проекцию тела на плоскость xOy (рисунок 1.8) можно представить в виде двух плоских фигур с площадями S1 и S2 (S = S1 + S2). Центры тяжести этих фигур находятся в точках C1(x1, y1) и C2(x2, y2). Тогда координаты центра тяжести тела равны

рис.1.8

5 Дополнение (метод отрицательных площадей или объемов). Частный случай способа разбиения. Он применяется к телам, имеющим вырезы, если центры тяжести тела без выреза и вырезанной части известны. Например, необходимо найти координаты центра тяжести плоской фигуры (рисунок 1.9):

рис.1.9

Центры тяжести простейших фигур

Рис.1.10

1 Центр тяжести треугольника

Центр тяжести площади треугольник совпадает с точкой пересечения его медиан (рисунок 1.10, а).

DM = MB, CM = (1/3)AM.

2 Центр тяжести дуги окружности

Дуга имеет ось симметрии (рисунок 1.10, б). Центр тяжести лежит на этой оси, т. е. yC = 0.

dl – элемент дуги, dl = Rdφ, R – радиус окружности, x = Rcosφ, L = 2αR,

Следовательно:

xC = R(sinα/α).

3 Центр тяжести кругового сектора

Сектор радиуса R с центральным углом 2α имеет ось симметрии Ox, на которой находится центр тяжести (рисунок 1.10, в).

Разбиваем сектор на элементарные секторы, которые можно считать треугольниками. Центры тяжести элементарных секторов располагаются на дуге окружности радиуса (2/3)R.

Центр тяжести сектора совпадает с центром тяжести дуги AB:

Решение задач на определение центра тяжести плоской фигуры рекомендуется проводить в следующем порядке:

1. сложное сечение разбиваем на простые, положение центра тяжести которых известно, либо легко может быть определено;

2. выбираем произвольно координатные оси. Если плоская фигура имеет ось симметрии, то рекомендуется провести одну из координатных осей вдоль оси симметрии. Так как центр тяжести С сечения лежит на оси симметрии (т. е. на одной из координатных осей), то необходимо определить лишь одну координату;

3. определяем площади простых сечений;

4. определяем координаты центров тяжести простых сечений относительно выбранных осей координат. Координаты центров тяжести простейших фигур смотреть в конце данного раздела;

5. найденные значения подставляем в формулы:

где А1, А2 ... АК - площади простых сечений,

x1, x2 … xK,

y1, y2 … yК – координаты центра тяжести простых сечений;

6. значения XC, YC откладываем от выбранных осей координат с учетом знака, т. е. от точки О в положительном направлении координаты со знаком «плюс» и в отрицательном направлении координаты со знаком «минус».

Пример решения задачи на нахождение центра тяжести плоской фигуры

Пример 1.Определить координаты центра тяжести плоской фигуры, изображённой на рисунке 2, если известно a = 40 см, b =100 см, r = 20 см .

Рис. 2 - Схема задачи

Решение:

1. Разбиваем чертёж фигуры на простейшие составные части: прямоугольник, треугольник, полукруг, обозначаем центр тяжести каждой из них и располагаем чертёж фигуры в первой четверти координатных осей (рис. 3).