Выбор модели при проведении полного факторного эксперимента
Планируя эксперимент на первом этапе, всегда стремятся получить линейную модель. Для двух факторов модель представляют в виде выражения (4.2). Однако не всегда экспериментатор имеет гарантии, что в выбранных интервалах варьирования процесс описывается линейной моделью. Часто встречающийся вид нелинейности связан с эффектом взаимодействия между факторами. ПФЭ позволяет оценить кроме коэффициентов при линейных эффектах коэффициенты взаимодействия. Для этого перемножают соответствующие столбцы. Тогда уравнение принимает вид
(4.3)
Матрица полнофакторного эксперимента с учетом фактора взаимодействия для ПФЭ 22 показана в табл.4.2.
Таблица 4.2
| Опыт | x0 | x1 | x2 | x1x2 | y |
| 1 | +1 | -1 | -1 | +1 | y1 |
| 2 | +1 | +1 | -1 | -1 | y2 |
| 3 | +1 | -1 | +1 | -1 | y3 |
| 4 | +1 | +1 | +1 | +1 | y4 |
Коэффициенты уравнений регрессии оцениваются следующим образом:
По столбцам x1 и x2 осуществляют планирование, что же касается столбцов , x0 и x1x2 ,то они служат только для расчета.
Нахождение модели методом ПФЭ состоит из следующих этапов:
· Выбор модели
· Планирование эксперимента
· Экспериментирование.
· Проверка однородности дисперсии (воспроизводимости).
· Проверка значимости коэффициентов.
· Проверка адекватности модели.
При составлении матрицы ПФЭ руководствуются следующими правилами:
· располагают, если имеется соответствующая информация, факторы в матрице в порядке убывания степени их влияния на целевую функцию;
|
|
|
· при составлении матрицы уменьшают частоту чередования уровней при переходе от x1 к x2, от x2 к x3 и т.д. каждый раз вдвое.
Рассмотрим пример составления МПЭ для трех факторного полного эксперимента. В качестве уравнения регрессии берем неполную квадратичную модель.
Введем обозначение переменных x через z, тогда
(4.4 )
где 
, 
, 
.
Составим МПЭ. 
(табл. 4.3).
Таблица 4.3
| Номер | x0 | x1 | x2 | x3 | x1x2 | x1x3 | x2x3 | x1x2x3 | Код. |
| Опыта | z0 | z1 | z2 | z3 | z4 | z5 | z6 | z7 | обозначение |
| 1 | +1 | -1 | -1 | -1 | +1 | +1 | +1 | -1 | y1 |
| 2 | +1 | +1 | -1 | -1 | -1 | -1 | +1 | +1 | y2 |
| 3 | +1 | -1 | +1 | -1 | -1 | +1 | -1 | +1 | y3 |
| 4 | +1 | +1 | +1 | -1 | +1 | -1 | -1 | -1 | y4 |
| 5 | +1 | -1 | -1 | +1 | +1 | -1 | -1 | +1 | y5 |
| 6 | +1 | +1 | -1 | +1 | -1 | +1 | -1 | -1 | y6 |
| 7 | +1 | -1 | +1 | +1 | -1 | -1 | +1 | -1 | y7 |
| 8 | +1 | +1 | +1 | +1 | +1 | +1 | +1 | +1 | y8 |
В зависимости от соотношения от числа неизвестных коэффициентов уравнения регрессии числа строк в плане ПФЭ 2n может являться насыщенным, при выборе числа членов уравнения m+1=N, ненасыщенным, при выборе числа членов уравнения и соответственно числа столбцов плана m+1<N и сверхнасыщенным m+1>N.
|
|
|
Дробный факторный эксперимент
Во многих реальных процессах некоторые факторы взаимодействия могут отсутствовать. И тогда ПФЭ будет обладать избыточностью опытов.
Рассмотрим пути минимизации числа опытов.
Обратимся к уравнению (4.2). Если мы располагаем сведениями о том, что в выбранных интервалах варьирования процесс может быть описан линейной моделью, то достаточно определить три коэффициента b0 ,b1 ,b2. В результате остается одна степень свободы, т.к. имеем четыре опыта, а количество констант три. Используем эту степень свободы для минимизации числа опытов. При линейном приближении b12 ®0 и тогда вектор-столбец х1х2 может быть использован для нового фактора х3.
Таблица 4.4
| Опыт | x0 | x1 | x2 | x3 | y |
| 1 | +1 | +1 | +1 | +1 | y1 |
| 2 | +1 | -1 | +1 | -1 | y2 |
| 3 | +1 | +1 | -1 | -1 | y3 |
| 4 | +1 | -1 | -1 | +1 | y4 |
При этом эксперименте появляются смешанные оценки
, (4.5)
т.е. столбцы.
Пример. Допустим х1 и х2х3 между собой неразличимы. Однако парные взаимодействия в линейной модели незначительны. Зато вместо восьми опытов для изучения влияния трех факторов можно поставить только четыре опыта, т.е. вместо ПФЭ 23 мы имеем 23-1. В теории эксперимента 23-1 называют полурепликой. В общем случае имеют дело с дробной репликой. А факторный эксперимент называют дробным (ДФЭ).
|
|
|
Для составления МПЭ ДФЭ вводится понятие определяющего контраста, который позволяет определить какие оценки смешаны друг с другом, не изучая МПЭ для выявления совпадающих столбцов. Для этого используется символичное обозначение произведения столбцов равного +1 или -1. Это и называют контрастом. Чтобы определить какой эффект смешан с данным, нужно помножить обе части определяющего контраста на столбец, соответствующий данному эффекту.
Планирование экспериментов при построении квадратичной модели
В уравнениях (4.3), (4.4) учитывались только линейные эффекты и эффекты взаимодействия. В некоторых случаях существенными могут оказаться коэффициенты при квадратных переменных, их кубов и т.д.
Для двухфакторного эксперимента модель может быть представлена выражением
(4.5)
Полученные вектор – столбцы 
и 
являются единичными столбцами, совпадающие друг с другом и с фиктивным столбцом 
. Эти столбцы неразличимы, поэтому нельзя сказать за счет чего получилась величина 
. Очевидно, она включает в себя значения свободного члена 
и вклады квадратичных членов. Символически это можно записать:
|
|
|
Для квадратичной модели получается следующая система смешивания:
.
Следовательно, планирование эксперимента на двух уровнях не дает возможности получить раздельные оценки коэффициентов при квадратичных членах и фиктивной переменной .
Согласно теории интерполяции, для решения задачи нахождения раздельных оценок число уровней каждой из независимых переменных должно быть на единицу больше степени интерполяционного полинома. Для полинома второй степени число уровней должно быть равно трем.
Однако применение методов ПФЭ плана 3n не является рациональным из-за резкого увеличения опытов эксперимента. Поэтому разработаны специальные методы построения планов второго порядка.
Например, в качестве двухфакторных планов второго порядка могут служить планы, представляемые вершинами и, по крайней мере, одной центральной точкой любого (n-1) мерного правильного многоугольника (который можно вписать в круг).
Пример. Имеем восьмиугольный план (рис.4.5, табл.4.6).
Этот пример можно обобщить на случай получения планов второго порядка. Для этого к ПФЭ типа 2n добавляется центральная точка с координатами (0,0,…0) и, так называемые, звёздные точки с координатами (0,0,…, 
,…,0), лежащие на сфере диаметра 
. Т.е. план ПФЭ достраивается до плана второго порядка. Такой план называется композиционным планом.
Рис.4.5. Восьмиугольный план эксперимента
Таблица 4.6
| Опыт | x1 | x2 | Описание |
| 1 | -1 | -1 | План 22 |
| 2 | +1 | -1 | представлен |
| 3 | -1 | +1 | квадратом |
| 4 | +1 | +1 | АВС D |
| 5 | Ö 2 | 0 | План |
| 6 | - Ö 2 | 0 | представлен |
| 7 | 0 | Ö 2 | звёздными точками |
| 8 | 0 | - Ö 2 | MNKL |
| 9 | 0 | 0 | Центральная точка |
Добавление двух сфер, образованных звездными точками и центральной точкой, к ПФЭ позволяет получить раздельные оценки b0 и bii. Все три сферы образуют композиционный план второго порядка.
В зависимости от критерия оптимальности плана, различают ортогональное, композиционное планирование и рототабельное композиционное планирование.
План, приведенный в табл. 4.6, является рототабельным и обеспечивает получение раздельных оценок b0 и bii.
Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий
Во многих случаях инженерной практике перед исследователем ставится задача не только выявления связи между рядами наблюдений, но и нахождение таких численных значений факторов при которых отклик (выходной параметр) достигает своего экстремального значения. Эксперимент, решающий эту задачу, называется экстремальным. В этом случае задача сводится к оптимизационной и формулируется следующим образом: требуется определить такие координаты экстремальной точки ( 
поверхности отклика 
, в которой она максимальна (минимальна).
Разработано множество методов пошаговой оптимизации, мы же рассмотрим некоторые, которые эффективно используются в промышленном и лабораторном эксперименте.
Дата добавления: 2020-11-23; просмотров: 123; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!