СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА.

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРА.»

I. Определение криволинейной трапеции.

Изучая геометрию, научились находить площади фигур, границами которых являются ломаные линии, а также площадь круга и его частей.

В математике разработаны методы, позволяющие вычислять площади фигур, границами которых являются кривые линии (части парабол, гипербол, синусоид и т.д.).

Теперь, используя знания о первообразной функции, мы научимся находить площади фигур, называемых криволинейными трапециями.

Пусть дана функция y=f(x). Рассмотрим график функции на промежутке [a; b].

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная отрезком [ a; b] оси 0х, прямыми х=а и х= b и графиком непрерывной и не меняющей на отрезке [ a; b] знака функции y= f( x).

II. Площадь криволинейной трапеции (I-я формула).

Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную графиком функции y=f(x), прямыми х=а и х=b и отрезком [a; b] оси абсцисс.

Пусть . Площадь криволинейной трапеции, заштрихованной на

рисунке, есть функция от х. Обозначим ее через S(x).

Между функцией y=f(x), одной из границ данной криволинейной трапеции и

ее площадью существует связь, которую можно записать в виде следующего равенства:

Это равенство означает, что переменная площадь S( x) есть первообразная для функции f( x). Поэтому площадь криволинейной трапеции может быть вычислена при помощи интегрирования.

Используя полученное равенство , где на промежутке [a; b], выведем формулу для вычисления площади криволинейной трапеции.

Т.к. согласно основному свойству первообразных функция имеет множество первообразных, отличающихся друг от друга постоянным слагаемым, пусть S(x) и F(x) – две первообразных функции f(x),

тогда S(x)=F(x)+C для всех .

Подставив в равенство S(x)=F(x)+C вместо х число а, получим

S (a) =F (a) +C.

Но S(x) – это площадь, значит, S(a)=0, следовательно,

F (a) +C=0, C= - F (a).

Таким образом, S(x)=F(x) – F(a). Искомую площадь криволинейной трапеции получим путем подстановки в последнее равенство х=b:

S=F (b) – F (a).

III. Определенный интеграл. Формула Ньютона – Лейбница.

Выведем еще одну формулу для нахождения площади криволинейной трапеции.

Рассмотрим положительную и непрерывную функцию

y=f(x), определенную на [a; b]

x_n=b

Разделим отрезок

[a; b] на n равных частей:

абсциссы точек деления x₁ , х₂,…,х_n-1 , а соответствующие ординаты f(x₁), …, f(x_n_-1).

Зная, что x₁ - x₀=x₂ – x₁=…=x_n - x_n_-1= x, и что х_i – x_i_-1= обозначим

На каждом из отрезков построим прямоугольник, длина которого х, а высота на каждом [x_k_-1; x_k] равна f(x_k_-1).

Тогда площади каждого такого прямоугольника S=f(x_k_-1) x, а площадь всей получившейся ступенчатой фигуры равна:

Короче эта сумма записывается так:

- эта интегральная сумма, где

- «сигма» (греческая буква) – означает, что вычисляется сумма однотипно образованных слагаемых. Изменяя k от 0 до n-1, получим последовательно все члены рассматриваемой суммы.

Очевидно, что, увеличивая n – число отрезков деления [a; b], мы уменьшаем длину каждого из них, причем эта длина стремится к нулю.

Тогда площадь ступенчатой фигуры сколь угодно близко приближается к площади данной криволинейной трапеции, т.е. существует .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Интегралом функции f( x) от а до b называется предел интегральной суммы:

- «интеграл от а до b эф от икс де икс».

- S – «summa» - лат.;

integer – «весь, целый» - лат. (введен в1696 г. И.Б.Бернулли)

символ введен в 1686 г. Лейбницем;

f(x) – подынтегральная функция;

f(x)dx ~ f(x_k) x – подынтегральное выражение

dx – дифференциал аргумента;

а – нижний предел интегрирования;

b – верхний предел интегрирования.

А теперь замечаем, что предел интегральной суммы для неотрицательной и непрерывной на промежутке [a; b] функции f(x) равен площади соответствующей криволинейной трапеции, т.е.

S_{крив.трап}= .

Но ранее для площади криволинейной трапеции была получена формула

S_{крив.трап}=F(b) – F(a), где

F(x) – одна из первообразных функции y=f(x).

Таким образом, получим формулу:

Эта формула называется формулой Ньютона-Лейбница.

Замечание: Для вычисления площади криволинейной трапеции используют формулу Ньютона-Лейбница В этой формуле:::

- читается - «интеграл от а до b эф от икс де икс», где .

- S – «summa» - лат. – знак интеграла

integer – «весь, целый» - лат. (введен в1696 г. И.Б.Бернулли)

символ введен в 1686 г. Лейбницем;

f(x) – подынтегральная функция;

f(x)dx – подынтегральное выражение

dx – дифференциал аргумента;

а – нижний предел интегрирования;

b – верхний предел интегрирования.

При нахождении площади криволинейной трапеции для удобства вычислений эту формулу используют в следующем виде:

S_{крив.трап}= .

СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА.

1) ;

2) ;

3) ;

4) если a < c < b, то

IV. Методы интегрирования определенного интеграла.

Замечание. Обычно рассматривают те же три наиболее применяемые метода интегрирования, которые отрабатывались при изучении неопределенного интеграла: непосредственное интегрирование, замена переменной, интегрирование по частям.

1. Метод непосредственного интегрирования – применяются свойства и таблица неопределенных интегралов, свойства определенных интегралов и формула Ньютона-Лейбница.

Пример:

2. Метод интегрирования по частям – для определенного интегралаприменяется с использованием формулы вида , как и для неопределенного интеграла, если под знаком интеграла стоит произведение функций.

Примеры:

Метод замены переменной.

ТЕОРЕМА. Пусть дан интеграл , где - непрерывная на отрезке функция. Сделаем замену переменной - непрерывно дифференцируемая на отрезке функция. Если:

1). при изменении переменной от до переменная изменяется от до , т.е., ;

2). сложная функция определена и непрерывна на отрезке ,

то имеет место равенство = .

Замечание. Теорема предполагает, что, в отличие от метода замены переменной при интегрировании неопределенного интеграла, когда после интегрирования выполняли переход к старой переменной, в данном случае заменяют также и пределы интегрирования, т.е., находят , что исключает обратный переход к старой переменной.

Пример:

Дата добавления: 2020-11-23; просмотров: 43; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

Мы поможем в написании ваших работ!