Свойства прямоугольного параллелепипеда

Занятие по математике № 29 Группа 2 ВГ Дата проведения: 03.11.20г.

Тема: Параллелепипед

Выполненные задания отправлять на электронную почту: tatiefremenko@yandex.ua

или страницу вКОНТАКТЕ - https://vk.com/id592773352

Индивидуальные консультации, оценивание устных ответов по тел.:

0660627421, 0721813966 Ефременко Т.А.

Домашнее задание: составить краткий конспект занятия, выучить определения, рассмотреть примеры решения задач.

Материал для самостоятельного изучения

Видеоурок просмотреть по ссылке: https://interneturok.ru/lesson/geometry/10-klass/perpendikulyarnost-pryamyh-i-ploskostejb/pryamougolnyy-parallelepiped

Определение параллелепипеда

Поверхность, составленная из двух равных параллелограммов АВСD и А₁В₁С₁D₁ и четырех параллелограммов АВВ₁А₁, ВСС₁В₁, СDD₁С₁, DАА₁D₁, называется параллелепипедом (рис. 1).

Рис. 1 Параллелепипед

То есть: имеем два равных параллелограмма АВСD и А₁В₁С₁D₁ (основания), они лежат в параллельных плоскостях так, что боковые ребра АА₁, ВВ₁, DD₁, СС₁ параллельны. Таким образом, составленная из параллелограммов поверхность называется параллелепипедом.

Таким образом, поверхность параллелепипеда - это сумма всех параллелограммов, из которых составлен параллелепипед.

Свойства параллелепипеда

1. Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны.

(фигуры равны, то есть их можно совместить наложением)

Например:

АВСD = А₁В₁С₁D₁ (равные параллелограммы по определению),

АА₁В₁В = DD₁С₁С (так как АА₁В₁В и DD₁С₁С – противоположные грани параллелепипеда),

АА₁D₁D = ВВ₁С₁С (так как АА₁D₁D и ВВ₁С₁С – противоположные грани параллелепипеда).

2. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Диагонали параллелепипеда АС₁, В₁D, А₁С, D₁В пересекаются в одной точке О, и каждая диагональ делится этой точкой пополам (рис. 2).

Рис. 2 Диагонали параллелепипеда пересекаются и деляться точкой пересечения пополам.

3. Имеются три четверки равных и параллельных ребер параллелепипеда: 1 – АВ, А₁В₁, D₁C₁, DC, 2 – AD, A₁D₁, B₁C₁, BC, 3 – АА₁, ВВ₁, СС₁, DD₁.

Прямой параллелепипед

Определение. Параллелепипед называется прямым, если его боковые ребра перпендикулярны основаниям.

Пусть боковое ребро АА₁ перпендикулярно основанию (рис. 3). Это означает, что прямая АА₁ перпендикулярна прямым АD и АВ, которые лежат в плоскости основания. А, значит, в боковых гранях лежат прямоугольники. А в основаниях лежат произвольные параллелограммы. Обозначим, ∠BAD = φ, угол φ может быть любым.

Рис. 3 Прямой параллелепипед

Итак, прямой параллелепипед - это параллелепипед, в котором боковые ребра перпендикулярны основаниям параллелепипеда.

Прямоугольный параллелепипед

Определение. Параллелепипед называется прямоугольным, если его боковые ребра перпендикулярны к основанию. Основания являются прямоугольниками.

Параллелепипед АВСDА₁В₁С₁D₁ – прямоугольный (рис. 4), если:

1. АА₁⊥ АВСD (боковое ребро перпендикулярно плоскости основания, то есть параллелепипед прямой).

2. ∠ВАD = 90°, т. е. в основании лежит прямоугольник.

Рис. 4 Прямоугольный параллелепипед

Прямоугольный параллелепипед обладает всеми свойствами произвольного параллелепипеда. Но есть дополнительные свойства, которые выводятся из определения прямоугольного параллелепипеда.

Итак, прямоугольный параллелепипед - это параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны основанию. Основание прямоугольного параллелепипеда - прямоугольник.

Свойства прямоугольного параллелепипеда

1. В прямоугольном параллелепипеде все шесть граней прямоугольники.

АВСD и А₁В₁С₁D₁ – прямоугольники по определению.

2. Боковые ребра перпендикулярны основанию. Значит, все боковые грани прямоугольного параллелепипеда - прямоугольники.

3. Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда прямые.

Рассмотрим, например, двугранный угол прямоугольного параллелепипеда с ребром АВ, т. е. двугранный угол между плоскостями АВВ₁ и АВС.

АВ – ребро, точка А₁ лежит в одной плоскости – в плоскости АВВ₁, а точка D в другой – в плоскости А₁В₁С₁D₁. Тогда рассматриваемый двугранный угол можно еще обозначить следующим образом: ∠А₁АВD.

Возьмем точку А на ребре АВ. АА₁ – перпендикуляр к ребру АВ в плоскости АВВ₁, AD перпендикуляр к ребру АВ в плоскости АВС. Значит, ∠А₁АD – линейный угол данного двугранного угла. ∠А₁АD = 90°, значит, двугранный угол при ребре АВ равен 90°.

∠(АВВ₁, АВС) = ∠(АВ) = ∠А₁АВD= ∠А₁АD = 90°.

Аналогично доказывается, что любые двугранные углы прямоугольного параллелепипеда прямые.

Теорема

Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.

Примечание. Длины трех ребер, исходящих из одной вершины прямоугольного параллелепипеда, являются измерениями прямоугольного параллелепипеда. Их иногда называют длина, ширина, высота.

Задача 1.

Дано: АВСDА₁В₁С₁D₁ – прямоугольный параллелепипед (рис. 5).

Доказать: .