Свойства определенного интеграла.
1. Величина определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования :
.
2. Определенный интеграл с одинаковыми пределами межами интегрирования равен нулю:
.
3. От перестановки пределов интегрирования интеграл меняет знак на противоположный:
.
4. Интервал интегрирования функции можно разбивать на части:
.
5. Постоянный множитель можно вынести за знак определенного интеграла:
.
6. Определенный интеграл от суммы интегрируемых функций равен сумме интегралов от этих функций:
.
7. Если на всем отрезке 
имеем 
, то
.
8. Если на всем отрезке имеем 
, то
.
(монотонность определенного интеграла).
9. Если функция интегрируема на отрезке 
, то:
│ 
│≤ 
.
10. Если 
, то:
.
11. Если m і M – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f ( x ) на отрезке [ a ; b], ( a < b ), то:
(оценка интеграла по области).
12. Если функция f ( x ) непрерывна на отрезке[a ; b], то на этом отрезке найдется такая точка с , что
.
3. Методы вычисления определенных интегралов.
Вычисление определенного интеграла выполняется по формуле Ньютона-Лейбница:
.
Рассмотрим примеры решения задач на применение определенного интеграла:
Рис.1.
Рассмотрим случай, когда фигура ограничена двумя кривыми, которые пересекаются ( Рис.2)
Рис.2.
В таком случае, площадь фигуры находят по формуле:
.
Следует обратить внимание, что при вычислении определенного интеграла с помощью подстановки, поступают так же, как и при вычислении неопределенного интеграла. Однако в случае определенного интеграла имеется одна особенность, на которую нужно обратить внимание.
|
|
|
Метод подстановки заключается в том, что для приведения заданного неопределенного интеграла к табличному, выражают аргумент через новую переменную, а затем находят неопределенный интеграл и полученный результат снова выражают через первоначальную переменную.
В случае же определенного интеграла нет необходимости возвращаться к первоначальной переменной, однако нужно помнить, что, заменяя переменную под знаком интеграла, следует изменить и пределы интегрирования.
Например:
Задания для закрепления и самоконтроля:
1) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: у=2х; у=0; х=3.
Ответ: S = 9 (кв.ед.)
Литература:
В.П.Дубовик, И.И.Юрик «Высшая математика», К., 2003, ст.365-376; 401-409.
Дата добавления: 2020-11-23; просмотров: 59; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!