Коллизий задач за базовые процессоры в данном примере не возникает.
Пример 4.2. Положим, исходные условия те же, что и в примере 4.1, но необходимо максимизировать коэффициент загрузки базового процессора типа 3.
Поскольку условные ветвления процессов вычислений отсутствуют (см. рис. 1), то – частный вид критерия (2.7) и представляет собой отношение суммарного времени использования соответствующего процессора к крайнему сроку завершения задания
.
Допустим, коллизии разрешаются за счет незадействованного базового процессора типа , введение которого в состав ресурсов сопровождается минимальным значением штрафной функции стоимости
.
Максимум загрузки процессора обеспечивается распределениями, диаграммы которых показаны на рис. 4.
При этом в случаях, иллюстрируемых рис. 4, а и 4, в, возникают коллизии, вызванные конкуренцией задач и
за единственный базовый процессор третьего типа. Поскольку оптимальные длительности выполнения этих задач одинаковы и равны
, то с позиций загрузки базового процессора не имеет значения, какой из них отдать преимущество в его использовании: загрузка процессора после разрешения коллизии не изменяется. Самым «дешевым» является введение процессора типа 4 (см. табл. 1). Однако задача
не может быть на нем реализована, поскольку
. Поэтому на этот процессор назначается задача
, при этом
– минимальное из возможных значений функции штрафа.
Заметим, что в штрафной функции , в отличие от (2.6), вместо времени, отведенного для выполнения
-й задачи, фигурирует априорная оценка
. Дело в том, что коэффициент загрузки процессоров при равенстве длительности выполнения конкурирующих задач оказывается нечувствительным к введению процессора, тип которого отличается от типа процессора, за который эти задачи конкурируют. В подобных случаях для оценки качества распределения полезно использовать вторичный показатель эффективности в виде функции штрафа
. А вот если в качестве критерия оптимальности использовать функцию стоимости вида (2.5) или (2.6), то при таком разрешении коллизий не обеспечивается ее минимум. Иными словами, соотношение (3.7) теоремы 1 не выполняется.
|
|
Оптимизация распределения ресурсов по векторному критерию
Рассмотрим, каким образом подход к оптимизации распределения ресурсов, изложенный в разделе 3 данной лекции, может быть обобщен для нахождения -оптимальной стратегии
, где отношение
формируется вектором критериев
,
, (2.4).
Предположим, аддитивно-сепарабельный критерий формирует бинарное отношение:
(5.1) ,
где – подмножество, являющееся одновременно внутренне и внешне устойчивым в модели выбора
, или стратегия, условно оптимальная по критерию
.
|
|
Пусть
(5.2) ,
т.е. – сужение
на множество
(индекс 2 – степень множества).
Рассмотрим работу ,
, состоящую из
задач и описываемую вектором
, где
,
, представляет собой длительность выполнения
-й задачи. Чтобы найти длительность работы, условно оптимальную по критерию
, используем функциональное уравнение (3.1). Вспомогательная зависимость для поиска условно оптимальной длительности
при запасе
времени к началу выполнения первой задачи
-й работы имеет следующий вид:
(5.3) .
В (5.3) , где
– условный экстремум критерия
при заданном значении запаса
по времени к моменту запуска
-й задачи.
Условный оптимум длительности выполнения -й задачи,
, отыскивается с помощью зависимости
(5.4) .
В (5.4) , т.е. отбирается наилучшая комбинация типов базовых процессоров и коммуникационной среды.
Будем полагать, что , где
, множество значений переменных функций
(5.3), (5.4). Любой, в том числе и условно оптимальной длительности
, соответствует одно и только одно значение запаса
по времени. Тогда
существует, по крайней мере, одна последовательность
такая, что
и при
|
|
(5.5) ,
достигается условный экстремум функции для фиксированного запаса
(см. (3.2)).
Вектор представляет собой условно оптимальную по критерию
длительность работы
. Тогда по аналогии с (3.3) условно оптимальное назначение
-й задачи
-й работы определяется как
(5.6) ,
где ,
, а
строится в соответствии с (5.3).
Вектор – условно оптимальное по критерию
назначение для работы
, где
. Условно оптимальная по критерию
стратегия распределения ресурсов для последовательности
критических работ представляет собой совокупность векторов
, где
,
.
Формальным обоснованием процедуры поиска оптимальной стратегии распределения вычислительных ресурсов в системах реального времени служат следующие далее утверждения.
Лемма. Пусть в (5.1) представляют собой стратегии, условно оптимальные по аддитивно-сепарабельным критериям
,
, и имеет место (5.2).
Если , а
в (5.1) таковы, что
, то
(5.7) .
Если отношение антисимметрично, то в (5.7) имеет место равенство.
Доказательство леммы приводится в Приложении.
Теорема 2. Положим, что , а отношение
антисимметрично.
-оптимальная стратегия существует тогда и только тогда, когда
для
.
|
|
Это утверждение достаточно очевидно. Действительно, пусть
. Это означает, что
и
. Поскольку согласно (5.2)
– сужение
, то и
. Теперь предположим,
,
. Тогда в соответствии с леммой
.
Таким образом, теорема 2 устанавливает критерий существования -оптимальной стратегии распределения ресурсов, где
антисимметрично. Такой, казалось бы, вырожденный случай, когда
, интересен с практической точки зрения.
Усиление требований к отношениям чревато тем, что оптимальная стратегия будет охватывать небольшое число возможных сценариев наступления различного контрольных событий в системе, влияющих на выбор конкретного варианта распределения. Как будет показано в разделе 6 настоящей лекции, зачастую имеет смысл формировать оптимальную стратегию как объединение условно оптимальных стратегий
, каждая из которых порождается на основе применения уравнений (5.3) - (5.6) и соответствующего критерия
.
Необходимое и достаточное условие существования оптимальной стратегии – формирование непустых условно оптимальных стратегий. Это означает, что должен быть найден условно оптимальный план выполнения задач для каждого из критериев эффективности. Такого плана может и не существовать в случае, например, когда нельзя разрешить возникающих коллизий из-за отсутствия свободных процессоров. Тогда необходимо соответствующим образом трансформировать модель (граф) системы задач, в частности, понизить уровень параллелизма.
Теорема 3. Предположим, распределение ресурсов осуществляется для последовательности критических работ на основе функциональных уравнений (5.3) - (5.6) по вектору
,
, аддитивно-сепарабельных критериев (2.4), формирующих отношения
(5.1). Коллизии разрешаются путем введения процессоров, тип которых совпадает с типом базового. Тогда для
-оптимальной стратегии выполняется (5.7).
Справедливость теоремы 3 непосредственно следует из леммы, поскольку подмножества , генерируемые на основе применения функциональных уравнений (5.3) - (5.6), являются внутренне и внешне устойчивыми в моделях выбора
:
;
.
Пусть – антисимметричные отношения. Поскольку
,
,
,
, где
– отношение, обратное
, а
– диагональное (единичное) отношение, то
– антисимметрично. Следовательно, и отношение
тоже антисимметрично. Тогда в соответствии с леммой
.
Если – асимметричная часть отношения
, например, отношение Парето, т.е.
, то согласно лемме
.
По существу теорема 3 утверждает, что поиск -оптимальной стратегии распределения ресурсов сводится к последовательной генерации стратегий
, условно оптимальных по частным критериям
,
, и отбору альтернатив на основе их сравнения по частным отношениям
(5.1). При этом применение уравнений (5.3) - (5.6) обеспечивает внутреннюю и внешнюю устойчивость генерируемых подмножеств
альтернатив распределения ресурсов.
Дата добавления: 2020-11-15; просмотров: 173; Мы поможем в написании вашей работы! |
![](/my/edugr4.jpg)
Мы поможем в написании ваших работ!