Интенсивность отказов элементов

Примеры расчета надежности

Замечания по решению задач

Отправной точкой в решении задач по определению количественных характеристик надежности могут быть:

1) статистические данные об отказах изделия;

2) известное аналитическое выражение одной какой-либо характеристики.

При решении задач первой группы используются статистические определения количественных характеристик надежности, при решении задач второй группы – вероятностные определения характеристик и аналитические зависимости между ними.

В настоящей главе при определении количественных характеристик надежности технических устройств по статистическим данным об их отказах не всегда возможно оценить достоверность используемой информации. По этой причине иногда в примерах и задачах исходные данные о числе испытуемых образцов и количестве отказов приводятся без учета требований к достоверности получаемых количественных характеристик надежности.

1.2. Критерии и количественные характеристики
надежности

Критерием надежности называется признак (мера), по которому (которой) оценивается надежность различных объектов (изделий). Критерии представляются в виде показателей надежности, свойств безотказности, долговечности, ремонтопригодности, сохраняемости и др.

К числу наиболее широко применяемых критериев надежности относятся показатели безотказности:

– вероятность безотказной работы в течение определенного времени P(t);

– гамма-процентная наработка до отказа ;

– средняя наработка до отказа (для статистических задач );

– средняя наработка на отказ T (для статистических задач );

– частота отказов f(t);

– интенсивность отказов l(t);

– параметр потока отказов μ(t) и др.

Характеристикой надежности будем называть количественное значение критерия надежности конкретного изделия.

Выбор количественных характеристик надежности зависит от вида изделия.

Основные критерии надежности можно разделить на две группы:

– критерии, характеризующие надежность невосстанавливаемых изделий;

– критерии, характеризующие надежность восстанавливаемых изделий (рис. 1.1).

t_n₂

t_n₁

t_р₃

t_р₂

t_р₁

t_нр

К.О.

Н.О.

а)

б)

Рис. 1.1. Временной график работы нeвосстанавливаемых и восстанавливаемых изделий:

а– изделия невосстанавливаемые (t _нр– время непрерывной работы,
Н. О. – начало операции, К. О. – конец операции); б – изделия восстанавливаемые
(t_p – время исправной работы, t_n – время вынужденного простоя)

1.3. Критерии надежности
невосстанавливаемых изделий

Пусть на испытании находится N₀объектов, и пусть испытания считаются законченными, если все они отказали. Вместо отказавших образцов отремонтированные или новые не ставятся. В таких случаях критериями надежности изделий являются:

– вероятность безотказной работы P(t);

– частота отказов f(t);

– интенсивность отказов l(t);

– средняя наработка до отказа T₁(в [8] T _ср).

Вероятностью безотказной работы (ВБР) называется количественная мера того, что при определенных условиях эксплуатации в заданном интервале времени или в пределах заданной наработки не произойдет ни одного отказа.

Функция Р – относительная продолжительность непрерывной исправной работы объекта до первого отказа, а аргумент t – время, за которое нужно определить ВБР, следовательно, согласно определению,

P(t) = P(T ≥ t), t ≥0, (1.1)

где T – время работы объекта от начала до первого отказа; t – время, в течение которого определяется вероятность безотказной работы.

Вероятность безотказной работы по статистическим данным об отказах оценивается выражением

, (1.2)

где – статистическаяоценка вероятности безотказной работы; N₀ – число объектов в начале работы (серии испытаний); n(t) – число отказавших элементов за время t.

На практике, наряду с ВБР, определяют такую характеристику, как вероятность отказа Q(t).

Вероятностью отказа называется количественная мера того, что при определенных условиях эксплуатации в заданном интервале времени возникает хотя бы один отказ.

Отказ и безотказная работа являются событиями несовместными и противоположными, поэтому при

, (1.3)

где – интегральная функция распределения случайной величины.

Статистически вероятность отказа равна [3]:

, (1.4)

где n_i– число неблагоприятных исходов; N₀ – общее число испытаний.

Если функция Q ( t ) дифференцируема, то производная от интегральной функции распределения – дифференциальный закон (плотность вероятности, плотность распределения) случайной величины Т – времени безотказной
работы:

. (1.5)

Частотой отказов по статистическим данным называется отношение числа отказавших элементов в единицу времени к первоначальному числу работающих (испытываемых) при условии, что все вышедшие из строя изделия не восстанавливаются. Согласно определению,

или , (1.6)

где – число отказавших элементов в интервале времени от до .

Частота отказов есть плотность вероятности (или закон распределения) времени работы изделия до первого отказа. Поэтому

, (1.7)

. (1.8)

Интенсивностью отказов по статистическим данным называется отношение числа отказавших изделий в единицу времени к среднему числу изделий, исправно работающих в данный отрезок времени.

, (1.9)

где N _ср = (N_i + N_i ₊₁)/2 – среднее число исправно работающих изделий в интервале ; N_i– число изделий, исправно работающих в начале интервала ; N_i ₊₁ – число изделий, исправно работающих в конце интервала .

Интенсивность отказов в вероятностной оценке есть условная плотность вероятности возникновения отказа объекта, определяемая при условии, что до рассматриваемого момента времени отказ не возник.

Вероятностная оценка характеристики l(t) находится из выражения

l(t) = f(t) / P(t) (1.10)

или f(t) = l (t) P(t).

Интенсивность отказов и вероятность безотказной работы связаны между собой зависимостью

. (1.11)

Средней наработкой до первого отказа называется математическое ожидание времени работы объекта до отказа.

Математическое ожидание средней наработки до отказа T ₁вычисляется через частоту отказов (плотность распределения времени безотказной
работы):

. (1.12)

Зная, что t > 0 и P(0) = 1, а P(∞) = 0, определяют T₁:

. (1.13)

Средняя наработка до первого отказа, согласно статистическим данным об отказах, вычисляется по формуле

, (1.14)

где t _i – время безотказной работы i-го образца; N₀ – число испытываемых объектов.

Для определения средней наработки до первого отказа необходимо знать моменты выхода из строя всех испытываемых объектов. Поэтому для вычисления пользоваться данной формулой неудобно. Имея данные о количестве вышедших из строя элементов n_i в каждом i-м интервале времени, среднюю наработку до первого отказа лучше определять по уравнению

, (1.15)

где t _ср и m находятся по следующим формулам:

, , (1.16)

где t_i–₁ – время начала i-го интервала; t_i – время конца i-го интервала; t_k – время, в течение которого вышли из строя все элементы; – интервал времени.

При расчетах надежности технических устройств часто применяются законы распределения: экспоненциальный, усеченный нормальный, Рэлея, гамма, Вейбулла – Гнеденко, логарифмически-нормальный. В табл. 1.1 приведены выражения для расчета количественных характеристик объектов, соответствующих перечисленным законам распределения времени их безотказной работы.

Таблица 1.1

Интенсивность отказов элементов

Закон распределения	Частота отказов (плотность распределения)	Вероятность безотказной работы	Интенсивность отказов	Средняя наработка до первого отказа
Экспоненциальный
Рэлея
Гамма (при k целом)
Вейбулла – Гнеденко
Усеченный нормальный
Логарифми- чески- нормальный