Рассмотрим примеры: (не записывать)

Тема: Понятие обратной функции. Взаимно обратные функции. (записать)

Цели:

Образовательная:

формировать знания по новой теме;
изучить свойство обратимости функции и научить находить функцию, обратную данной;
научиться строить графики взаимно обратных функций.

Развивающая:

развивать навыки самоконтроля, предметную речь;
овладеть понятием обратная функция и усвоить методы нахождения обратной функции;

Воспитательная: формировать коммуникативную компетентность, познавательную активность.

Внимательно прочитайте теоретический материал. Сделайте конспект.

Представьте, что вы гуляете по пляжу. На песке у кромки воды остаются ваши следы, а вокруг еще множество следов (см. рис. 1).

Рис. 1. Множество следов на песке

По их форме вы с легкостью можете определить, кто здесь был до вас: другой человек, чайка или собака. Видя след, мы можем установить, что за существо его оставило. И наоборот: зная, кто прошел по песку, мы можем сказать, какой след останется. Мы как бы устанавливаем соответствие между следом и существом (см. рис. 2).

Рис. 2. Соответствие между следом и существом

Однозначное ли это соответствие? Давайте подумаем. Когда человек ступает на песок, он точно знает, какой след после него останется. Тут все однозначно. Представим обратную ситуацию: Шерлок Холмс видит на песке след. Может ли он однозначно определить преступника? Он сможет лишь утверждать, что это человек, а вот какой именно – без других улик это не определить, вариантов очень много. Обратное соответствие не является однозначным.

С неоднозначностью соответствия мы сталкиваемся, даже просто глядя на часы. Такое положение стрелок (см. рис. 3) может означать как полночь, так и полдень.

Рис. 3. Заданное положение стрелок

И если бы мы были в подвале без окон, то не смогли бы однозначно определить время – у нас было бы 2 варианта. Чтобы выбрать правильный вариант, мы пользуемся дополнительной информацией: смотрим, темно или светло на улице.

Но есть и примеры, когда мы можем однозначно установить соответствие. Так, у каждого человека есть ровно один внутренний паспорт и наоборот – внутренний паспорт однозначно определяет конкретного человека. Между внутренним паспортом и человеком можно установить взаимно однозначное соответствие.

Переходя на язык математики, можно сказать, что мы устанавливаем соответствия между множествами: множеством существ и множеством следов; множеством людей и множеством паспортов. Причем в одну сторону соответствие однозначное, а в обратную не всегда.

Таких примеров неоднозначности обратной операции можно привести много. Так, если нам известны два числа, найти их сумму не составит труда, например:

А вот зная сумму, восстановить однозначно два слагаемых не получится – вариантов будет бесконечно много:

С подобными примерами соответствий мы сталкивались, говоря о числовых функциях. Так, линейная функция является примером взаимооднозначного соответствия (см. рис. 4). Каждому значению соответствует ровно одно значение . И наоборот: каждому значению соответствует ровно одно значение . Это похоже на соответствие паспортов и людей.

Рис. 4. График линейной функции

Ситуация с часами похожа на квадратичную функцию (см. рис. 5). По значению мы однозначно определим : , тогда . А вот если мы знаем , например , то однозначно определить нельзя, хотя информации у нас много, возможно всего два варианта: или , или . Однозначно мы можем узнать только при наличии дополнительных условий. Например, если – это сторона квадрата, тогда останется лишь один вариант .

Рис. 5. График квадратичной функции

Разберемся с терминологией.

(Записать) Когда мы каждому значению ставим в соответствие одно значение – это функция. Можно сделать и обратное: поставить каждому значению в соответствие значение . Если мы сможем это сделать однозначно, то получим обратную функцию.

Функцию, для которой можно найти обратную, называют обратимой функцией. Буквально – «ту, которую можно обратить».

(Записать) Необходимое и достаточное условие существования обратной функции: она должна принимать каждое свое значение только при одном значении аргумента.

Достаточное условие – монотонность функции, т.е. возрастание или убывание на всей области определения.

Алгоритм нахождения формулы обратной функции: (Записать)

(Записать) Областью определения обратной функции является область значения данной функции.

(Записать) Графики обратимой и обратной функций симметричны относительно прямой у=х.

(Сделать чертеж)

Возьмем, например, функцию (см. рис. 7).

Рис. 7. График функции

Выразив переменную , получаем:

Здесь мы уже значению ставим в соответствие , то есть это обратная функция. Только у нее аргумент обозначен как , а значение функции – как . Нам же привычнее наоборот. Поэтому переобозначим: заменим на , а – на (см. рис. 8):

Получили, что функция является обратной функции . Верно и другое: функция является обратной функции . Поэтому подобные пары функций называют еще взаимно обратными.

Рис. 8. Графики функций и

Продолжаем разбираться с терминологией. (Прочитать)

То есть функции , являются обратимыми функциями. Да и в целом любая линейная функция является обратимой, ведь каждому значению соответствует ровно одно значение .

А вот функция не является обратимой, ведь значению функции может соответствовать по два значения переменной . Условие однозначности не выполнено. Чтобы сделать эту функцию обратимой, нужно добавить дополнительные условия. Так, если мы рассмотрим функцию только для положительных , то каждому значению будет уже соответствовать только одно значение (см. рис. 9).

Рис. 9. График функции

Функция , при будет уже обратимой. И обратной к ней будет функция (см. рис. 10)

Рис. 10. Графики функций и

Рассмотрим примеры: (не записывать)

№ 1. Найти функцию обратную данной и построить график:

Следуем записанному алгоритму:

1. графиком данной функции является гипербола, расположена в 1 и 3 четвертях. Смещена по оси Ох на 2 единицы вправо.

Функцию будем рассматривать на указанном промежутке, т.е. – непрерывна, убывает. Значит, на данном промежутке функция обратима.

Область значения y (0; )

2. Выразим х через у:

;

3. Запишем независимую переменную как x, зависимую – у:

– получили обратную функцию.

Построим ее график. Для этого найдем область определения обратной функции, которая есть область значения данной, т.е. x (0; )

№ 2. Дан график функции y=f(x). Построить в той же системе координат график обратной функции

Графики обратной и данной функции симметричны относительно прямой у=х. Зная это , построим график обратной функции:

Обратите внимание: У данной функции координаты точки А(-3;0), а у обратной – А₁(0; -3). Точка В имеет координаты (0; 2), а точка В₁(-2; 0).

Т.е. у обратной функции все точки графика имеют обратные (зеркальные) координаты.

Выполните по рассмотренный примерам задания:

№ 1. Найти функцию обратную данной и построить график:

№ 2. Дан график функции y=f(x). Построить в той же системе координат график обратной функции

Дата добавления: 2020-11-15; просмотров: 88; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

Мы поможем в написании ваших работ!