Задачи для самостоятельного решения.
Практическое занятие №1.
Тема: Применение производных к исследованию функций и построению графиков.
Форма проведения – решение задач под руководством преподавателя или с использованием рабочих тетрадей, содержащих разобранные примеры и задачи для самостоятельного решения.
Время проведения занятия – 4 час.
Занятие проводится аудиторно (традиционная технология) или с использованием сети Интернет в режиме of-line – электронная почта, форум.
Вопросы по задачам для самостоятельного решения обсуждаются на форуме.
Для выполнения задания необходимо изучить теоретический материал модуля 1 для третьего семестра (лекция 1).
Если вопросов по выполнению задания нет, то решить задачи №1 - №8 из КР №1. Текст КР №1 находится в методических указаниях ко 2 семестру. Файл с решенными задачами переслать преподавателю через форум. Если задачи решены верно, то студент получает оценку «зачтено» за выполнение практического занятия 1.
Примеры решения задач
| 1. Возрастание и убывание функций | |||||||||||||||||||||||||||||||||
| №1. |  По данному графику функции  постройте вид графиков  .
Решение:
1) На интервале   убывает,  ,  ,  .
 2) На интервале   возрастает,  ,
 .
3) На интервале  убывает, ,  .
4)  .
5) На интервале  возрастает, , на интервале  убывает,  . Эти соображения позволяют построить примерный график  .
6) 
 Та же последовательность действий, примененная к графику функции , дает примерный график второй производной  .
| ||||||||||||||||||||||||||||||||
| №2. | По данному графику производной  постройте вид графика функции  .
Решение:
 1) На интервале   , возрастает,  , т.е., скорость возрастания также неограниченно возрастает, а следовательно, и сама функция неограниченно возрастает, таким образом,  – вертикальная асимптота графика.
2) На интервале  , возрастает, причем  , (чем ближе точка к – справа от нее, тем больше скорость возрастания), что указывает, что  , т.е., – точка разрыва второго рода.
3) В точке  производная меняет знак с «+» на «–», – точка локального максимума.
4) На интервале   , убывает.
5) В точке  производная меняет знак с «–» на «+», – точка локального минимума.
 6) При  функция возрастает.
Эти соображения позволяют построить примерный график :
| ||||||||||||||||||||||||||||||||
| №3. | Функция  возрастает на интервале  , так как для   .
Полезный вывод: поскольку  , то  , значит  для  .
| ||||||||||||||||||||||||||||||||
| № п/п | 2. Экстремумы функции | ||||||||||||||||||||||||||||||||
| №4. | Для функции  на отрезке  значение  является минимальным, т.к. производная  равна нулю в точке  .
| ||||||||||||||||||||||||||||||||
| №5. |  Функция  не дифференцируема в точке  , так как касательные к графику функции слева и справа от точки  различны, однако функция имеет минимум в этой точке. Функция  является строго убывающей при  и строго возрастающей при  . В точке  график имеет острый минимум (так называемую угловую точку).
| ||||||||||||||||||||||||||||||||
| №6 |  Функция  и ее производная имеют бесконечный разрыв при  . Функция возрастает при  и убывает при  , но экстремума в точке  не имеет.
| ||||||||||||||||||||||||||||||||
| №7. |  Функция  не дифференцируема в точке  , так как  при  , график функции имеет в точке 0 вертикальную касательную, функция является убывающей при  , возрастающей при  , в точке  функция имеет минимум (такая точка графика называется точкой возврата).
| ||||||||||||||||||||||||||||||||
| №8. |  Для функции  в точке  выполняется необходимое условие экстремума  . Однако точка  не является точкой экстремума этой функции, в ней не выполняется достаточное условие экстремума, т.к.  для любых  и функция  возрастает на всей числовой оси.
| ||||||||||||||||||||||||||||||||
| № п/п | 3. Асимптоты графика функции | ||||||||||||||||||||||||||||||||
| №9. | У графика   существует левая горизонтальная асимптота  (  ) и не существует правой горизонтальной асимптоты.
| ||||||||||||||||||||||||||||||||
| №10 | У графика   существует правая горизонтальная асимптота (  ) и не существует левой горизонтальной асимптоты.
| ||||||||||||||||||||||||||||||||
| №11 | У графика   существуют обе горизонтальные асимптоты:  - левая горизонтальная асимптота (  ),
 - правая горизонтальная асимптота (  ).
| ||||||||||||||||||||||||||||||||
| №12 |  У графика  обе горизонтальных асимптоты существуют и совпадают (  ). Кроме того, график функции  имеет вертикальную асимптоту  , поскольку  ,  .
| ||||||||||||||||||||||||||||||||
| №13 |  Кривая  имеет вертикальные асимптоты  и  .
| ||||||||||||||||||||||||||||||||
| №14 |  Построим график функции  без использования производной.
Преобразуем выражение:    ,  .
График этой функции получается смещением графика  на две единицы влево, на одну единицу вверх и выкалыванием точки графика с абсциссой .
Прямые  и  являются вертикальной и горизонтальной асимптотами.
Для гиперболы с центром симметрии в точке   уравнения вертикальной и горизонтальной асимптот имеют вид:  и  .
| ||||||||||||||||||||||||||||||||
| №15 | Найдите асимптоты графика функции  .  ,  ,  .
График имеет две несовпадающие наклонные асимптоты: левую  и правую  . 
| ||||||||||||||||||||||||||||||||
| № п/п | 4. Построение графиков функций | ||||||||||||||||||||||||||||||||
| №16 | Исследуйте функцию  и постройте её график.
1). Функция определена при всех  . Для нахождения точек пересечения с осями записываем уравнения  и  ; получаем, что ось  пересекается в точке с  , а ось  - в точках  и  .
2). Точек разрыва нет. Так как нет точек разрыва 2-го рода, вертикальные асимптоты отсутствуют. Ищем параметры наклонных асимптот.  ,  
При вычислении второго предела использовано правило Лопиталя для раскрытия неопределённости типа  . Итак, у графика есть наклонная асимптота; её уравнение 
3). Находим производную:  .
Знак производной определяется знаком выражения  или  . Видим, что в области   , при   и при  . Получаем, что в области  функция убывает, при  - возрастает и при - убывает. Находим критические точки.  при  ,
 не существует при ,  . При переходе через  знак производной меняется с (-) на (+), т.е. это точка минимума. При  производная не существует, значит, минимум острый.  При переходе через вторую критическую точку  производная меняет знак с (+) на (-) , т.е. при  - максимум:  . При переходе через знак производной не меняется, значит экстремума нет.
4) Находим вторую производную:  . Видим, что  при ; в этой области график выпуклый;  при  , т.е. интервал  также является областью выпуклости. При   , следовательно, при график вогнут. Найдём точки перегиба. Вторая производная не существует при и при . При переходе через первую точку знак  не меняется, а при переходе через вторую – меняется. Итак, точкой перегиба является точка с координатами ,  .
|
График имеет вид:
| № п/п | 8. Нахождение наибольшего и наименьшего значения непрерывной функции на отрезке | ||||||||||||||||
| №17 | Найдите наибольшее и наименьшее значения функции  на  .
  .
Вторая группа решений является частью первой и  . Отрезку  принадлежат точки  и  . Найдем значения функции в точках  ,  и на концах отрезка:  ,  ,  ,  .
Сравнивая их между собой, заключаем, что  ,  для  .
| ||||||||||||||||
| № п/п | 9. Текстовые задачи разного содержания на нахождение наибольшего и наименьшего значения величин | ||||||||||||||||
| №18 |  Площадь поверхности сферы равна  . Какова высота цилиндра наибольшего объема, вписанного в эту сферу?
Обозначим высоту цилиндра  ,  . По условию  ,  .
Из  :  . Объем цилиндра  . По смыслу задачи  , т.е.  . Исследуем функцию  на этом интервале. Производная  при  , вблизи этого значения  меняет знак с + на –, значит при этой высоте объем цилиндра будет наибольшим.
| ||||||||||||||||
| №19 | Владелец фабрики установил, что если он будет продавать свои изделия по цене  руб., то его годовая прибыль  составит  руб. Определите  , при котором прибыль будет максимальной.
 при  , при этой цене прибыль будет максимальной.
| ||||||||||||||||
| №20 | Требуется построить несколько одинаковых домов с общей площадью 40000 м2. Затраты на постройку одного дома, имеющего  м2 площади, складываются из стоимости наземной части, пропорциональной  , и стоимости фундамента, пропорциональной  . Стоимость наземной части составляет 32% стоимости фундамента для дома площадью 1600 м2. Определите, сколько нужно построить одинаковых домов, чтобы сумма затрат была наименьшей.
РЕШЕНИЕ:
Обозначим через  число домов,  по условию. Стоимость всей постройки
 ,
где  и  – коэффициенты пропорциональности, найдем их из условия  при  , значит,  и  .
Производная  при  .
Исследуя знак производной, можно показать, что эта точка является точкой минимума  . При наименьших затратах можно построить  домов.
| ||||||||||||||||
| №21 | Величина угла при основании равнобедренного треугольника равна  . При каком значении отношение длины радиуса вписанной в данный треугольник окружности к длине радиуса описанной окружности будет наибольшим?
РЕШЕНИЕ:
По условию  ,  ,  .
 Обозначим  ,  .
В   и  ,  по теореме синусов для  .
Введем функцию
 ;
   ;
 при  или  , что не удовлетворяет условию,  ,  ,  ,  . В точке  функция  имеет максимум
Отношение | ||||||||||||||||
| №22 | Прямой круговой конус с наибольшим объемом вписан в данный конус так, что вершина внутреннего конуса находится в центре основания данного конуса. Докажите, что высота внутреннего конуса составляет одну треть высоты данного конуса.
РЕШЕНИЕ:
Обозначим  ,  ,  ,  ,  .
 ~  :  .
 .
Вблизи | ||||||||||||||||
| №23 | Шоссе пересекает местность с запада на восток. В 9 км к северу от шоссе находится лагерь, а в 15 км к востоку от ближайшей на шоссе к лагерю точки расположен город. Каков должен быть маршрут, чтобы добраться в город в кратчайший срок, если скорость движения по полю 8 км/час, а по шоссе – 10 км/час?
РЕШЕНИЕ:
Пусть лагерь располагается в точке  , а город в точке  .  – кратчайший маршрут до шоссе  ,  км,  км. Где будет находиться точка  ?
 Обозначим расстояние  через  ,  .  ,  .
Время движения определяется функцией  . Производная  обращается в ноль при  , откуда  . Значение  , оно является наименьшим по сравнению с  и  , так что к шоссе нужно выйти в 12 км от лагеря на восток.
| ||||||||||||||||
| №24 | Между двумя портами, удаленными друг от друга на расстояние 1200 км, с постоянной скоростью курсирует теплоход. Затраты на рейс в одном направлении слагаются из двух частей. Первая часть, связанная с обслуживанием пассажиров, пропорциональна времени нахождения в пути, другая, обусловленная стоимостью топлива, пропорциональна кубу скорости движения. Найти скорость, с которой должен идти теплоход, чтобы затраты на рейс были минимальны, если известно, что при скорости 90 км/час затраты равны 11,61 тысяч рублей, причем стоимость обслуживания пассажиров составляет  стоимости топлива.
РЕШЕНИЕ:
Пусть  – скорость теплохода, тогда время движения в одном направлении  . Затраты на рейс  ,  , где  – коэффициенты пропорциональности. Найдем их из условий  и  ,
 .
Производная
при  .
Исследуя знак производной, можно показать, что при  км/час затраты на рейс будут минимальны.
| ||||||||||||||||
| №25 | Три бригады должны выполнить работу. Первая бригада делает в день 200 деталей, вторая – на  деталей меньше, чем первая  , а третья – на  деталей больше, чем первая. Сначала первая и вторая бригады, работая вместе, выполняют  всей работы, а затем все три бригады, работая вместе, выполняют оставшиеся  работы. На сколько деталей в день меньше должна делать вторая бригада, чем первая, чтобы вся работа была выполнена указанным способом как можно скорее?
По условию вторая бригада делает в день  , а третья  деталей. Обозначим общее число деталей через  . Время всей работы
 .
Производная 
при  .
Исследуя знак производной, можно убедиться, что при  функция  достигает минимума, и работа будет сделана за наименьшее время, если вторая бригада будет делать на 125 деталей в день меньше, чем первая.
| ||||||||||||||||
будет наибольшим и равным 
при 
.
, 
при 
, откуда 
, что не удовлетворяет условию и 
.
меняет знак с + на –, значит, при Задачи для самостоятельного решения.
| № п/п | ЗАДАЧИ | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| №1 | Найдите интервалы монотонности и точки экстремума функции  .
ОТВЕТ:
Функция  возрастает при  ; убывает при  ;  – точка минимума.
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| №2 | Найдите экстремумы функции  .
ОТВЕТ:
Вид графика функции
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| №3 | Постройте график функции  .
 ОТВЕТ:
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| №4 | Исследуйте функцию  на возрастание (убывание) и экстремумы.
ОТВЕТ:
при  функция убывает;
при  функция возрастает,
в точках  достигается максимальное  ,
а в точках  – минимальное  значения функции  .
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| №5 | Исследуйте функцию  и постройте её график.
ОТВЕТ:
 Функция является убывающей и не имеет экстремумов.
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| №6 | Исследуйте функцию  и постройте её график.
ОТВЕТ:
График | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| №7 | Исследуйте функцию  и постройте её график.
ОТВЕТ:
График
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| №8 | Найдите наибольшее и наименьшее значения функции  на  .
ОТВЕТ:
 ,  для  .
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| №9 | По двум взаимно перпендикулярным дорогам по направлению к перекрестку движутся две автомашины со скоростями  и  . Определите минимальное в процессе движения расстояние между машинами, если в начальный момент времени расстояния машин от перекрестка были равны  и  соответственно.
ОТВЕТ:
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
.
имеет вид 
имеет вид:
Дата добавления: 2020-04-08; просмотров: 275; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!