Найдите площадь сферы, если радиус равен:

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА

ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ СФЕРЫ И ОБЪЕМ ШАРА. УРАВНЕНИЕ СФЕРЫ.

Цель: закрепить навыки решения практических задач на вычисление площади поверхности сферы и объема шара, уравнение сферы.

Теоретическая часть:

СФЕРА.

Определение:Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, которые расположены на данном расстоянии от данной точки.

Основные элементы:

Рис. 1.

Данная точка – центр сферы.

Данное расстояние – радиус сферы.

Радиус сферы – любой отрезок, соединяющий центр и какую-нибудь точку сферы.

Диаметр сферы – отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через ее центр. Диаметр сферы равен 2R.

Сфера может быть получена вращением полуокружности вокруг ее диаметра.

Рис. 2.

Площадь сферы:

где площадь сферы;

радиус сферы;

постоянная, равная 3, 14.

Уравнение сферы:

Зададим прямоугольную систему координат Oxyz . Построим сферу с центром в точке с радиусом R . Точка произвольная точка сферы.

Рис. 3.

Расстояние между двумя точками: . Допустим, что МС = R , возведя правую и левую части в квадрат, получим в прямоугольной системе координат уравнение сферы радиуса R с центром :

ШАР.

Определение: Шаром называется тело, ограниченное сферой.

Основные элементы:

Рис. 4.

Радиус шара – любой отрезок, соединяющий центр и какую-нибудь точку сферы.

Диаметр шара – отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через ее центр. Диаметр сферы равен 2R.

Центр шара – точка О.

Теорема: Объем шара радиуса R равен

где объём шара;

радиус шара;

постоянная, равная 3, 14.

Части шара

Шаровый сегмент

часть шара отсекаемая от него какой-нибудь плоскостью

Шаровый сектор

тело, полученное вращением кругового сектора с углом, меньшим , вокруг прямой, содержащей один из ограничивающих круговой сектор радиусов

Шаровый слой часть шара, заключенная между двумя параллельными секущими плоскостями

Объем шарового сегмента:

, где V

объем шарового сегмента;

радиус шара;

высота сегмента

постоянная, равная 3, 14.

Объем шарового сектора:

где V объем щарового сектора;

радиус шара;

высота сектора

постоянная, равная 3, 14.

Объем шарового слоя:

где объем шарового слоя;

радиусы оснований слоя;

высота слоя

постоянная, равная 3, 14.

Площадь сегментовой поверхности:

, где

площадь сегментовой поверхности шара;

радиус шара;

высота сегмента

постоянная, равная 3, 14.

Площадь полной поверхности:

где площадь полной поверхности шарового сектора;

радиус шара;

высота сегмента

постоянная, равная 3, 14.

Площадь боковой поверхности:

где площадь боковой поверхности шарового слоя;

радиус шара;

высота сегмента

постоянная, равная 3, 14.

Упражнения:

1. Напишите уравнение сферы радиуса R с центром А, если:

а) А(3; -2; 1) и R = 7 дм;

б) А(0; 0; 2) и R = 5 м.

2. Найдите координаты центра точки Аи радиус сферы, заданной уравнением:

а)

б)

3. Напишите уравнение сферы с центром А, проходящей через точку N, если А(7; 6; -5) и N (2; -3; 8).

4. Найдите площадь сферы, если радиус сферы равен:

а)

б)

5. Площадь сферы равна 256π см2. Найдите радиус сферы.

6. Найдите объем шара, если радиус R равен 0,75 см.

7. Найдите радиус шара, если объем шара равен 576π м³

Образец выполнения упражнений:

1. Напишите уравнение сферы радиуса R с центром А, если:

а) А(2; -4;7), R = 3 ;

б) А(0;0;0), R = ;

в) А(2;0;0), R = 4;

Дано:

Решение:

а) А(2; -4;7), R = 3 ; б) А(0;0;0), R =

; в) А(2;0;0), R = 4.

Уравнение сферы:

а)

б)

в)

Ответ:

а)

б)

в)

2. Найдите координаты центра и радиус сферы, заданной уравнением:

а)

б)

Дано:	Решение:
а) б) R - ?	Уравнение сферы: а) А(0; 0; 0), т.к. координаты отсутствуют в данном выражении. А(3; -2; 0),
Ответ: А(3; -2; 0),