Вероятность произведения событий
Непосредственный подсчет вероятностей
1. Куб, все грани которого окрашены, распилен на тысячу кубиков одинакового размера. Полученные кубики тщательно перемешаны. Определите вероятность того, что наудачу извлеченный кубик будет иметь: а) три окрашенных грани; б) две окрашенных грани.
2. Игральная кость бросается один раз. Найти вероятность появления: а) не менее пяти очков; б) не более шести очков.
3. Игральная кость бросается два раза. Какова вероятность появления одинакового числа очков?
4. Три игральных кости бросаются один раз. Какова вероятность того, что сумма очков равна 4?
5. Бросаются две игральные кости. Необходимо найти вероятность следующих событий:
а) сумма выпавших очков равна 8, а разность 4;
б) сумма очков на выпавших гранях 5, а произведение равно 4.
6. Бросаются две игральные кости. Какова вероятность, что сумма выпавших очков больше, чем их произведение?
Перестановки
8. Детские кубики, составляющие вместе слово «книга», были перемешаны и сложены заново случайным образом. Какова вероятность, что они снова сложились в слово «книга»?
9. Какова вероятность, перемешав кубики, образующие слово «ананас», случайным образом составить из них то же слово.
10. В коробке лежит 6 шаров с номерами от 1 до 6. Какова вероятность, что при извлечении шаров из коробки по одному в случайном порядке, они образуют возрастающую последовательность.
|
|
|
11. Десять книг расставлены на полке случайным образом. Какова вероятность, что три определенные книги окажутся рядом?
12. В очереди стоят 10 человек. Среди них находятся два определенных человека: A и B. Какова вероятность, что при случайном расположении людей в очереди A и B окажутся
а) стоящими рядом;
б) разделены одним человеком;
в) отделены друг от друга двумя людьми;
г) отделены тремя людьми?
Размещения
13. Абонент забыл четыре последние цифры телефона, но помнит, что они различны. Какова вероятность того, что он наберет правильный номер, сразу угадав нужные цифры?
14. В соревнованиях по синхронным прыжкам с вышки участвуют представители 16 стран. Какова вероятность правильно угадать страны, занявшие первое и второе место?
15. Из урны, содержащей шары с номерами от 1 до 10, четыре раза вслепую достают шар, фиксируют его номер, и возвращают обратно. Найти вероятность того, что номера извлеченных шаров будут различны.
Сочетания
16. Из урны, содержащей шары с номерами от 1 до 10, четыре раза вслепую достают шар, фиксируют его номер, и возвращают обратно. Найти вероятность того, что номера извлеченных шаров различны и следуют в порядке возрастания.
17. В коробке лежит 15 деталей, из которых 10 окрашены. Из коробки случайным образом извлекается три детали. Необходимо
|
|
|
а) найти вероятность того, что они окрашены.
б) построить распределение случайной величины X - числа окрашенных деталей среди извлеченных. Проверить результат, используя функцию ГИПЕРГЕОМЕТ пакета Excel.
18. В конверте лежит 100 фотокарточек, одна из которых – нужная. Наудачу извлекается 5 фотокарточек. Найдите вероятность, что нужная находится среди них, построить закон распределения X - числа нужных фотографий среди извлеченных пяти.
19. Среди двадцати студентов группы шестеро являются отличниками. Какова вероятность, что среди выбранных случайным образом восьми студентов половина окажется отличниками? Постройте закон распределения случайной величины X - числа отличников среди выбранных восьми человек.
20. Из 5 элементов, входящих в устройство, 2 являются изношенными. При включении случайным образом выбираются два элемента. Какова вероятность, что они оба в рабочем состоянии? Какова вероятность, что они оба изношены? Постройте закон распределения для числа изношенных элементов среди выбранных, найдите математическое ожидание и дисперсию.
*21. Какова вероятность того, что при однократном броске двух игральных костей произведение выпавших очков будет четным?
|
|
|
*22. Батарея, состоящая из четырех орудий, стреляет по четырем самолетам. Каждое орудие выбирает цель независимо от остальных. Какова вероятность, что все орудия выстрелят: а) по одной цели; б) по четырем разным целям?
*23. Девять пассажиров рассаживаются по трем вагонам трамвая случайным образом. Какова вероятность того, что
а) в каждый вагон сядет по три человека;
б) в один вагон сядет четыре, в другой - два, в третий - один;
в) в один из вагонов никто не сядет?
*24. Какова вероятность того, что дни рождения у 12 случайно выбранных людей приходятся на 12 разных месяцев года? Какова вероятность, что среди 12 случайно выбранных людей хотя бы двое родились в одном месяце?
*25. В шкафу лежат 10 пар ботинок разного вида. Какова вероятность, что из четырех случайным образом выбранных ботинок не будет парных?
2. Вероятность произведения событий, суммы событий.
Вероятность произведения событий
1. Вероятность того, что в электрической цепи напряжение превысит номинальное значение, равна 0.25. Вероятность аварии прибора при повышении напряжения равна 0.6. Какова вероятность, что прибор выйдет из строя вследствие повышения напряжения?
|
|
|
2. Найдите вероятность того, что случайным образом выбранная деталь будет отнесена к первому сорту, если 4% всех деталей являются браком, а из оставшихся только 75% относятся к первому сорту?
3. Вероятность попасть в мишень для стрелка равна 2/3. Если при первом выстреле стрелок попал в мишень, он получает право на второй выстрел. Известно, что этот стрелок поражает обе мишени при двух выстрелах с вероятностью 0.5. Какова вероятность того, что стрелок попадет во вторую мишень после удачного первого выстрела?
4. Студент Иванов посещает 60% лекций в течение семестра. Студентка Петрова – 80%. При этом известно, что одновременно на лекции студенты присутствуют в 55% случаев. Являются ли независимыми события A – «студентка Петров присутствует на лекции» и B – «студент Иванов присутствует на лекции»? Какова вероятность того, что при посещении лекции Петровой Иванов лекцию пропустит? Какова вероятность встретить Петрову на лекции, если на ней уже присутствует студент Иванов?
5. В урне находится 20 шаров, половина из которых – белого цвета, все остальные – черного. По четыре шара каждого цвета имеют маркировку на поверхности. Из урны наугад извлекают шар. Являются ли зависимыми следующие события: «извлеченный шар – белый» и «извлеченный шар имеет маркировку. Изменится ли ответ на вопрос, если маркировку будут иметь пять белых и четыре черных шара?
6. Что можно сказать о вероятностях двух независимых и несовместных событий?
7. Студент пришел на экзамен, подготовив лишь 20 из 25 вопросов программы. Экзаменатор задал студенту три вопроса. Какова вероятность, что студент сможет ответить на все эти вопросы, если
а) вопросы задаются последовательно (после ответа на предыдущий вопрос);
б) все три вопроса были заданы сразу.
Вероятность суммы событий.
8. Испытание состоит в одновременном броске двух монет. Событие A означает выпадение герба на первой монете, событие B – на второй. Что означает событие A+B и чему равна его вероятность?
9. Найдите вероятность того, что при броске двух игральных костей хотя бы на одной выпадет 6 очков.
10. Вероятность того, что спортсмен улучшит результат при одной попытке, равна 0.3. Какова вероятность того, что спортсмен улучшит результат, если разрешены две попытки.
11. В партии из 100 деталей 5 имеют дефект. Для контроля из партии выбирается 5 деталей. Если среди них окажется более трех дефектных, партия бракуется. Какова вероятность, что партия не будет забракована? Составьте закон распределения случайной величины X – числа бракованных деталей среди отобранных. Найдите ее математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение.
12. В урне шесть белых и четыре черных шара.
а) Наугад вынимают 2. Какова вероятность, что они одного цвета?
б) Какова вероятность, что среди трех извлеченных наугад шаров два будут одного цвета?
13. Два стрелка независимо производят один выстрел по мишени. Вероятность попасть для первого равна 0.7, для второго – 0.8. Найдите вероятность, что в результате сделанного выстрела
а) оба стрелка попали;
б) попал только один;
в) хотя бы один промахнулся.
Составьте закон совместного распределения для числа попаданий первого и второго стрелка при одном выстреле. Постройте закон распределения случайной величины Y – общего числа попаданий в мишень. Найдите ее математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение.
14. Имеется два независимых электроприбора. Вероятность того, что первый электроприбор выйдет из строя до окончания срока гарантии, равна 5%. Вероятность того, что второй электроприбор выйдет из строя до окончания гарантийного срока – 6%. Какова вероятность того, что:
а) оба прибора выдержат гарантийный срок;
б) ровно один откажет до окончания гарантийного срока?
Составьте закон распределения случайной величины X – общего числа приборов, вышедших из строя до окончания гарантийного срока. Найдите ее математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение.
15. Рабочий обслуживает три независимых автоматизированных станка. Вероятность того, что в течение смены его внимания потребует первый станок, равна 0.7, второй – 0.75, третий – 0.8. Какова вероятность, что в течение смены внимания потребуют
а) один станок;
б) два станка;
в) не более двух станков.
16. В электрическую цепь включены три элемента, вероятности выхода из строя для которых составляют 0.1, 0.15, 0.2. Цепь работает при условии, что работает хотя бы один из элементов. Какова вероятность, что цепь будет работать?
17. Разрыв цепи происходит, если из строя выходит хотя бы один из трех элементов. Какова вероятность, что разрыва не произойдет, если элементы выходят из строя с вероятностями: 0.3, 0.4, 0.6?
18. Вероятность попасть в мишень для торпеды равна 0.5. Какова вероятность того, что четыре торпеды, выпущенные по одной мишени, уничтожат ее, если для этого достаточно всего одного попадания?
19. Известны вероятности четырех событий: P(A)=0.012, P(B)=0.01, P(C)=0.006, P(D)=0.002. Какова вероятность того, что произойдет хотя бы одно из них, если:
а) события несовместны;
б) события совместны и независимы.
20. Студент Иванов посещает 60% лекций в течение семестра. Студентка Петрова – 80%. При этом известно, что одновременно на лекции студенты присутствуют в 55% случаев. Насколько сильно коррелированно между собой появление студентов на лекции?
*21. Вероятность попасть в мишень для каждого из двух стрелков равна 0.25. Стрелки стреляют в мишень по очереди, однако стрельба прекращается сразу же после первого попадания в мишень. Каждому стрелку разрешено сделать не более двух выстрелов. Найдите вероятность поражения мишени каждым стрелком.
*22. Вероятность хотя бы одного попадания в мишень при трех выстрелах равна 0.875. Найдите вероятность попадания в мишень при одном выстреле.
*23. Вероятность ровно одного попадания в общую цель при одновременном залпе из двух орудий равна 0.38. Найдите вероятность попасть в цель для первого орудия, если для второго она равна 0.8.
*24. В урне имеются 2 белых и три черных шара. Два игрока по очереди извлекают из урны по одному шару, не возвращая его обратно, до тех пор, пока не появится белый. Какова вероятность, что белый шар вытащит первый игрок, второй игрок?
*25. Два игрока по очереди бросают монету. Выигрывает тот, у кого первым появится герб. Найти вероятность выигрыша для каждого из игроков.
*26. Четыре человека, пришли в гости и положили свои четыре шляпы на полку в темной прихожей. Какова вероятность того, что, уходя, они наденут:
а) все четыре шляпы правильно (наденут свои собственные шляпы);
б) три шляпы правильно;
в) две шляпы правильно;
г) одну шляпу правильно;
д) все шляпы неправильно (каждый наденет чужую)?
3. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
1. Одинаковые детали изготавливаются тремя автоматами. Первый производит 25% всех деталей, второй - 35%, третий- все остальные. Доля брака для автоматов составляет 5%, 4% и 2% соответственно. Необходимо найти:
а) вероятность того, что случайно выбранная для проверки деталь окажется бракованной;
б) вероятность того, что деталь, оказавшаяся бракованной при проверке, произведена первым автоматом.
2. Имеется три урны. В первой 5 белых и 5 черных шаров. Во второй - 3 белых и 7 черных, в третьей - только белые. Найдите вероятность того, что шар, извлеченный случайным образом из наугад выбранной урны, окажется белым.
3. В первой партии бракованными являются 2/3 деталей. Во второй и третьей – 3/4 деталей доброкачественные. Какова вероятность, что деталь, выбранная наугад, окажется
а) бракованной;
б) доброкачественной?
4. Радиоприбор может принадлежать к одной из трех партий с вероятностями 0.25, 0.25 и 0.75. Вероятности поломки для разных партий составляют 0.1, 0.2 и 0.4 соответственно. Какова вероятность, что радиоприбор не сломается?
5. Пассажир мог обратиться за билетом в три разные кассы с вероятностями 0.3, 0.3 и 0.5 соответственно. Вероятность того, что нужного билета в кассе не окажется, для первой кассы составляла – 0.2, для второй – 0.3, для третьей – 0.4. Известно, что пассажир обратился в одну из трех касс и купил себе билет. Найдите вероятность того, что он сделал это:
а) в первой; б) во второй; в) в третьей кассе.
6. Имеются три урны, в первой 6 белых и 4 черных шара, во второй - 4 белых и 6 черных шаров, в третьей урне все шары белые. Извлеченный случайным образом из наугад выбранной урны шар оказался белым. Какова вероятность, что его достали из первой урны?
7. Два стрелка одновременно выстрелили по общей цели. Известно, что только один из выстрелов попал в цель. Какова вероятность, что успешный выстрел сделал первый стрелок, если он попадает в цель с вероятностью 0.8, тогда как второй стрелок попадает в цель с вероятностью 0.4?
8. Стрелок А попадает в мишень с вероятностью 0.6, стрелок В – с вероятностью 0.5, стрелок С – с вероятностью 0.4. После того, как стрелки одновременно дали залп по общей мишени, в ней было обнаружено только две пули. Какова вероятность, что в результате выстрела стрелок С попал в мишень?
9. В короткой программе фигурист из Швейцарии выполняет четверной прыжок без падения с вероятностью 0.8. Если его прыжок удачен, то фигурист из Франции справляется с таким же прыжком в своей программе с вероятностью 0.7. В случае неудачи швейцарца фигурист из Франции выполняет этот прыжок с вероятностью 0.9. Если же по результатам жеребьевки француз выступает первым, он выполняет прыжок с вероятностью 0.85. Постройте закон совместного распределения числа удачных четверных прыжков для обоих фигуристов. Найдите ковариацию и коэффициент корреляции. (Вероятности для каждого порядка выступлений считать равными 0.5).
*10. Имеются две урны. В одной лежит шар, который с равной вероятностью может быть как белым, так и черным. Во второй урне лежат 1 белый и 2 черных шара. Какова вероятность того, что шар, вынутый наугад из случайным образом выбранной урны, окажется белым?
*11. Из урны, содержащей 4 черных и 6 белых шаров, один шар неизвестного цвета был утерян. Какова вероятность того, что шар, извлеченный из урны наугад, окажется белым?
*12. В урне лежали два шара, каждый из которых с равной вероятностью мог быть как белым, так и черным. В урну добавили черный шар, затем случайным образом извлекли из урны шар, и он оказался черным. Какова вероятность того, что оставшиеся в урне шары – белые?
*13. В первой урне находится 4 белых и 6 черных шаров, во второй – 5 белых и 5 черных. Из первой урны наугад вынимают шар и перекладывают во вторую урну. Шары в каждой урне перемешиваются, затем из второй урны наугад вынимают шар и перекладывают в первую. После этого из первой урны наугад вынимают шар. Какова вероятность, что он окажется белым?
*14. В ящике 6 новых теннисных мячей и 4 использованных. Из ящика наугад вынимают два мяча, играют ими и возвращают в ящик. Какова вероятность того, что два мяча, снова вынутые из ящика случайным образом, окажутся новыми?
*15. В первой урне находится 8 белых и два черных шара, во второй – 4 белых и 16 черных. Из каждой урны извлекли один шар наугад. Затем наугад выбрали один из двух этих шаров. Какова вероятность, что он оказался белым?
Дата добавления: 2020-04-08; просмотров: 720; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!