Примеры и разбор решения заданий

Тема : Решение систем уравнений различными способами

Определение. Системами уравнений называют записи, представляющие собой расположенные друг под другом уравнения, объединенные слева фигурной скобкой, которые обозначают множество всех решений уравнений, одновременно являющихся решениями каждого уравнения систем.

Мы будем решать сегодня, в основном, системы уравнений с двумя переменными.

Определение. Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений этих переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное числовое равенство, другими словами, являющаяся решением каждого уравнения системы.

Рассмотрим методы решения систем уравнений.

Методы решения систем уравнений.

Метод подстановки

Алгоритм решения системы двух уравнений с двумя переменными x,y методом подстановки:

1. Выразить одну переменную через другую из одного уравнения системы (более простого).
2. Подставить полученное выражение вместо этой переменной в другое уравнение системы.
3. Решить полученное уравнение и найти одну из переменных.
4. Подставить поочередно каждый из найденных на третьем шаге корней уравнения в уравнение, полученное на первом шаге и найти вторую переменную.
5. Записать ответ в виде пар значений, например, (x;y), которые были найдены соответственно на третьем и четвёртом шаге.

Рассмотрим пример.

Решить систему уравнений

Решение.

1. Выразим x через y из второго (более простого) уравнения системы x=5+y.

2. Подставим полученное выражение вместо x в первое уравнение системы (5+y)⋅y=6

3. Решим полученное уравнение:

(5+y)y=6

5y+y²-6=0

y²+5у-6=0

у₁=-6; у₂=1

4. Подставим поочерёдно каждое из найденных значений y в уравнение x=5+y, тогда получим:

если y₁=−6, то x₁=5+(−6)=5−6=−1,

если y₂=1, то x₂=5+1=6.

5. Пары чисел (−1;−6) и (6;1) — решения системы.

Ответ: (−1;−6) и (6;1)

Метод алгебраического сложения

Алгоритм решения системы двух уравнений с двумя переменными x,y методом сложения:
1. Уравнять модули коэффициентов при одном из неизвестных.
2. Сложить или вычесть уравнения.
3. Решить полученное уравнение с одной переменной.
4. Подставить поочерёдно каждый из найденных на третьем шаге корней уравнения в одно из уравнений исходной системы, найти второе неизвестное.

5. Записать ответ в виде пар значений, например, (x;y), которые были найдены.

Метод введения новых переменных

При решении систем двух уравнений с двумя переменными метод введения новых переменных можно применять двумя способами:

1. вводится одна новая переменная и используется только в одном уравнении системы;

2. вводятся две новые переменные и используются одновременно в обоих уравнениях системы.

Пример.

Решение: введем новые переменные xy= u, x+y=v.

Тогда систему можно переписать в более простом виде:

Решением системы является две пары чисел.

Первая пара чисел:

1. (3-y)y=2

y₁=2, y₂=1

1. x=3-y

x₁=1, x₂=2

Вторая пара чисел:

(2-y)y=3

D<0

Решений нет.

Ответ: (1;2) и (2;1)

Графический метод

Алгоритм решения системы двух уравнений с двумя неизвестными графическим методом:

1. строим график первого уравнения;

2. строим график второго уравнения;

3. находим точки пересечения графиков (координаты каждой точки пересечения служат решением системы уравнений).

Рассмотрим пример.

Решение:

1. Построим график .

Графиком данного уравнения является окружность с центром в начале координат и радиусом 3.

1. Построим график y=x-3 (выразили у)

Это прямая, для построения которой найдем две точки (0; -3) и (3; 0).

Рисунок 1 – график функции .

1. Окружность и прямая пересекаются в точках А и В.

Точка А имеет координаты (3;0), а точка В- координаты (0; -3).

Пары чисел (3; 0) и (0; -3) являются решениями обоих уравнений.

Ответ: (3; 0) и (0; -3)

Примеры и разбор решения заданий

Пример 1.

Решить систему

Левые части обоих уравнений системы - однородные многочлены одной степени от переменных х и у. Если в первом уравнении системы положить х = 0, то получим

2 · 0² + 0 · у - у² = 0 <=> у² = 0 <=> у = 0.

Однако пара (0;0), являющаяся решением первого уравнения системы, не удовлетворяет второму уравнению, т. к. 0²-3·0·0 + 0² = 0 ≠-1. Отсюда х ≠0, и поэтому можем обе части первого уравнения системы разделить на х² ≠ 0 (это не приведет к потере корней). Разделив обе части первого уравнения системы на х², получим