Задания для самостоятельной работы.

Дифференцирование сложных функций

Пусть функция дифференцируема в точке и – дифференцируемые функции в точке . Тогда сложная функция также дифференцируема в точке и её производная определяется по правилу

(1)

Пример 1. Найти , если .

Решение. В соответствии с формулой (1) запишем

Подсчитаем и .

Значит, .

Можно было сразу записать сложную функцию, зависящую от одной переменной

и дифференцировать её. ☻.

Пусть функция дифференцируема в точке и функции , , дифференцируемы в точке . Тогда сложная функция двух переменных тоже дифференцируема в точке и её частные производные определяются по правилам

(2)

Пример 2. Найти и , если , .

Решение. Задана сложная функция . В соответствии с формулами (2) запишем

Подсчитаем производные

Значит,

Можно было сразу записать сложную функцию, зависящую от двух переменных и дифференцировать её. ☻

Пример 3. Найти и функции .

Решение. Введём обозначения промежуточных переменных

Подсчитаем частные производные функции по формулам (2):

Переходим к вычислению вторых производных. Заметим, что функции и дифференцируются по тем же правилам, что и заданная функция , то есть их частные производные находятся по формулам (2):

Дифференцируем функции :

Здесь принято, что – дважды дифференцируемая функция и . ☻

Пример 4. Найти и функции .

Решение. Можно, как в предыдущем примере, ввести обозначения промежуточных переменных. Но мы просто пронумеруем переменные: – первая, – вторая, тогда и – частные производные функции по первой и второй промежуточным переменным соответственно. В этих обозначениях по формулам (2):

Продолжаем дифференцирование:

Здесь принято, что – дважды дифференцируемая функция и . ☻

Задачи для самостоятельной работы

1. Найти производные первого и второго порядков от следующих сложных функций:

1. ; 2. ;

3. ; 4. .

6. , где ; 7. , где ;

8. , где ; 9. ;

10. ; 11. .

2. Найти , если .

Производная по направлению. Градиент.

Пусть функция дифференцируема в области и пусть в этой области задано некоторое направление . Производная функции по направлению вычисляется по формуле

(1)

Скорость наибольшего роста функции в данной точке (по величине и направлению) определяется вектором, который обозначается символом и называется градиентом функции: