Решение задачи конструирования вала методом выделения

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №3

МНОГОКРИТЕРИАЛЬНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ

Рассматривается математическая постановка задачи многокритериальной оптимизации с непрерывными переменными, к которой, как правило, сводятся задачи оптимального проектирования конструкций (ОПК) и многие другие технические и технологические задачи оптимального проектирования (оформления) и основные подходы к решению таких задач.

Проектируемая конструкция может быть выполнена в достаточно большом количестве вариантов.Из них необходимо выделить тот, который обеспечивает оптимум установленных при проектировании показателей качества решения. Такие показатели принято называть критериями оптимальности. В общем случае они должны учитывать основные требования, предъявляемые к конструкциям, и направлять поиск конструктивной формы на достижение минимальных значений массы и стоимости, минимальной трудоемкости изготовления и сборки и т.д. При этом достижение экономическими показателями оптимальных величин не должно нарушать соответствие выбранного решения его технологическому назначению.

Стоимость конструкций определяется в основном стоимостью материалов, т.е. снижение расхода материалов является важнейшим условием выбора рациональной конструктивной формы. В свою очередь снижение массы конструкции отражается на снижении трудоемкости изготовления и сборки. Однако снижение массы может ухудшить другие характеристики конструкции, например, прочность и жесткость.

Следовательно, перед проектировщиком возникает задача учета разных, иногда и противоречивых, требований. Во-первых, возникает задача рационального (оптимального) выбора комплекса критериев. От того, как составлен комплекс критериев, зависит успех постановки и решения задачи. Следующая задача состоит в формализации критериев, т. е. в описании критериев оптимальности на языке математики. В теории оптимизации формализованные критерии принято называть целевыми функциями. Их значения выражаются через проектные параметры, которые однозначно определяют проектируемую конструкцию.

Например, целевыми функциями, наиболее часто рассматриваемыми при оптимизации формы упругих тел, являются функции, выражающие массу, прочность, жесткость, собственные частоты конструкций, накопленную энергию деформации и др.

Область, определяемая допустимыми значениями всех проектных параметров, называется областью проектирования. Она не так велика, как кажется, поскольку обычно ограничена рядом условий, связанных с физической сущностью задачи. Если речь идет о проектировании формы конструкций, в качестве ограничений могут выступать ограничения по массе изделия, габаритам, условиям соединения деталей и др. Как правило, пространство проектирования задается системой неравенств.

Таким образом, для постановки задач оптимального проектирования на языкематематики необходимо: выбрать проектные параметры, записать целевые функции, задать при необходимости ограничения пространства проектирования, т.е. построить математическую модель объекта проектирования.

Рассмотрим пример, иллюстрирующий многокритериальный подход к задачам оптимального проектирования конструкций.

Оптимизация вала по весу и жесткости

Проектируется вал, передающий крутящий момент. Вал представляет собой трубчатую конструкцию с круглым сечением (рис. 6.4). Длина вала задана и равна L = 0,8 м . К одному из концевых сечений может быть приложен максимальный крутящий момент Т = 60 н.м. Требуется выбрать такую конструкцию вала, т.е. подобрать такие значения радиуса сечения вала r и толщины стенки вала t, при которых он будет обладать необходимой прочностью при наименьшем весе и наибольшей жесткости. Чтобы удовлетворить этим требованиям используется материал, обладающий высокой удельной прочностью – сплав, который имеет следующие свойства: плотность = 7800 кг/м³, модуль упругости (модуль Юнга) Е = 12,1·10⁹ н/м²; коэффициент Пуассона µ = 0,3 (модуль Юнга и коэффициент Пуассона совместно определяют упругостные характеристики сплава), предел прочности на сдвиг S _пр = 0,141·10⁸ н/м² .

Рис. 6.4. Конструкция проектируемого вала

По практическим соображениям, обусловленным функциональными особенностями вала, максимальное значение радиуса r не должно превышать r_max = 0,1 м . Согласно технологическим требованиям, толщина стенки вала t должна быть не менее t_min = 0,002 м. Необходимо определить такие значения параметров вала r и t при коэффициенте запаса прочности N = 2, обеспечивающие минимальный вес и его максимальную жесткость, чтобы при этом он не разрушился под воздействием приложенного к нему максимального крутящего момента Т и не потерял устойчивость при кручении.

Проектируемый вал может разрушиться либо под действием сдвиговых напряжений, либо в результате потери устойчивости при кручении. Сдвиговое напряжение, создаваемое крутящим моментом, определяется по формуле:

Чтобы вал не разрушился под действием сдвиговых напряжений, должно удовлетворяться условие:

а чтобы он не потерял устойчивость при кручении – условие:

где S _сд.кр_. – критическое напряжение сдвига при кручении, для определения которого приводятся следующие формулы [39]:

Другой характеристикой, определяющей работоспособность и материалоемкость вала, является жесткость. Большие деформации могут нарушить нормальную работу конструкции задолго до возникновения опасных для прочности напряжений. Нарушая равномерное распределение нагрузки, они вызывают сосредоточение усилий на отдельных участках деталей, в результате чего возникают местные, высокие напряжения, иногда значительно превосходящие величину номинального напряжения.

Жесткость – это способность системы сопротивляться действию внешних нагрузок с наименьшими деформациями. Жесткость оценивают коэффициентом жесткости, представляющим отношение силы, приложенной к системе, к максимальной деформации, вызываемой этой силой.

Для случая кручения вала постоянного сечения коэффициент жесткости определяется по формуле:

где Т – максимальный крутящий момент; – угол закручивания (взаимного поворота концевых сечений относительно друг друга); – полярный момент инерции сечения вала; L – длина вала; G – модуль сдвига ( G = E /2(1+ )).

Можно также рассматривать относительный коэффициент жесткости ^I= представляющий условную нагрузку, вызывающую относительную деформацию бруса длины L = 1 м. Следовательно, целевую функцию выражающую жесткость вала, можно представить в виде:

Целевая функция, определяющая массу (вес) вала записывается в виде:

Таким образом, математическая модель задачи оптимизации конструкции вала будет иметь следующий вид:

(6.12)

(6.13)

при ограничениях:

(6.14)

(6.15)

(6.16)

(6.17)

(6.18)

Рассмотрим решение задачи (6.12)–(6.18) следующими методами:

1) выделение главного критерия;

2) получение компромиссного решения по принципу гарантированного результата;

3) построение приближенного множества Парето.

Суть первых двух из перечисленных выше методов одна и та же: сведение задачи многокритериальной оптимизации к однокритериальной и решение ее методами, предназначенными для решения задач однокритериальной нелинейной оптимизации. При реализации алгоритмов перечисленных выше трех методов решения задачи используется метод сопряженных градиентов в сочетании с методом штрафных функций.

Решение задачи (6.12)–(6.18) вышеперечисленными методами при помощи табличного процессора Excel осуществляется надстройкой Поиск решения, в которой реализованы два метода: Ньютона и сопряженных градиентов.Надстройку Поиск решения запускаемиз пункта главного меню Данные.

В методе Ньютона для определения направления и величины шага перемещения в новую точку используются значения вторых производных целевой функции. Применение значений вторых производных целевой функции ведет к большому объему вычислений на каждом шаге итерационного процесса, но сокращает число шагов для достижения оптимального решения.

Метод сопряженных градиентов использует только значения первых производных целевой функции, что приводит к сокращению объема вычислений на каждом шаге итерационного процесса и к возможному увеличению числа шагов.

Кроме того, используемый в программе метод поиска минимума целевой функции не гарантирует нахождения его глобального значения. Поэтому процедуру поиска экстремума нужно повторить несколько раз, задавая различные значения точки начального приближения параметров оптимизации. Если результаты счета совпадают при различных значениях начального приближения параметров оптимизации, то можно надеяться, что получен глобальный экстремум. Если результаты разные, то из них нужно выбрать тот, при котором достигается наименьшее значение целевой функции.

Решение задачи конструирования вала методом выделения

Главного критерия

Этим методом задачу (6.12)–(6.18) необходимо решить два раза, потому что в ней два критерия оптимизации: первый раз – в качестве главного критерия выбираем вес вала, второй раз – в качестве главного критерия выбираем угол закручивания концевых сечений вала относительно друг друга.

Решение задачи (6.12)–(6.18) методом выделения главного критерия первый раз.

В качестве главного критерия выбираем вес вала:

При этом на второй критерий наложим требование, чтобы он не превышал 0,5⁰, т.е. – π /360 рад и включим в систему ограничений – неравенств (6.14)–(6.18) следующее неравенство:

(6.19)

Таким образом, в данном случае необходимо решить задачу однокритериальной оптимизации (6.12), (6.14)-(6.19). Для ее решения активизируем табличный процессор Excel , и в появившуюся таблицу записываем задачу (6.12), (6.14)–(6.19), например, так, как это сделано на рис. 6.5.

Рис. 6.5

Для этого в ячейки С2:D2 заносим начальные значения r и t. В ячейки B3:B9 и B15:В17 заносим, соответственно, значения исходных данных задачи: T = 60; L = 0,8; ρ = 7800; E = 12100000000; S = 14100000; N =2; Pi =3,1415; µ = 0,3; r_max = 0,1; t_min = 0,002. В ячейки B10 и B11 запишем выражения для W ( r , t ) и φ( r , t ). В ячейки В12:В14 введем формулы для вычисления S _сд.кр. В ячейки C6:C11 запишем выражения, стоящие в левых частях ограничений (6.14) – (6.19). В ячейки Е6:Е11 запишем правые части ограничений (6.14) – (6.19). В ячейку F2 запишем выражение целевой функции W ( r , t ).После этого запустим набранную задачу на выполнение. Для этого выберем пункт «Данные»главного меню (инструкция написана для работы в среде пакета MS Office 2007), затем в правом верхнем углу панели инструментов выберем надстройку Поиск решения и щелкнем по ней левой кнопкой мыши.

Далее появится диалоговое окно (рис. 6.6), введем в него необходимые данные: адрес ячейки целевой функции F2; направление оптимизации – минимизация; адреса изменяемых переменных C2:D2; адреса ячеек С6:С11, в которых записаны левые части ограничений задачи.Далее щелкнем левой кнопкой мыши по пункту «Параметры» и в появившемся новом диалоговом окне (рис. 6.7), установим флажки «Неотрицательные значения», «Автоматическое масштабирование», «Сопряженных градиентов» (выбранный метод решения задачи)и, щелкнув левой кнопкой мыши по пункту «ОК», возвратимся в предыдущее диалоговое окно. В этом диалоговом окне щелкнем левой кнопкой мыши по пункту «Выполнить» и получим решение задачи (6.12), (6.14)–(6.19), которое приведено на рис. 6.8.

Рис. 6.6

Рис. 6.7

После многократного решения задачи (6.12), (6.14)–(6.19) с различными начальными точками поиска оптимума получено решение, приведенное на рис. 6.8. Из него видно, что оптимальными являются значения радиуса вала r = 0,049 м, толщина стенки t = 0,002 м. При этом минимальный вес вала равен W_min = 3,841 кг, а угол закручивания концевых сечений вала относительно друг друга составляет φ = 0,009 рад.

Рис. 6.8. Решение задачи (6.12)–(6.18) методом выделения главного критерия, когда в качестве главного критерия выбран вес вала

Решим задачу (6.12)–(6.18) методом выделения главного критерия во второй раз.

Теперь в качестве главного критерия выбираем угол закручивания концевых сечений вала относительно друг друга:

При этом на другой критерий оптимизации задачи W ( r , t ) наложим ограничение, что значение его не должно превышать значение W_min = 3,841 кг более чем на 20%. В математической формулировке это ограничение запишется в виде:

(6.20)

Теперь необходимо решить задачу однокритериальной оптимизации (6.13)–(6.18), (6.20). Для ее решения активизируем табличный процессор Excel и в появившуюся таблицу записываем задачу (6.13)–(6.18), (6.20). Заполнение таблицы (рис.6.9) осуществляется почти так же, как это показано на рис. 6.5, с внесением следующих изменений: в ячейку F2 записываем выражение критерия , а в ячейку C11 записываем формулу левой части ограничения (6.20). Дальнейший порядок действий для решения задачи такой же, как и при решении задачи (6.12)–(6.18) методом выделения главного критерия в первый раз.

Рис. 6.9. Решение задачи (6.12)–(6.18) методом выделения главного критерия, когда в качестве главного критерия выбран угол закручивания концевых сечений относительно друг друга

После многократного решения задачи (6.13)–(6.18), (6.20) с различными начальными точками поиска оптимума получено решение, приведенное на рис. 6.9. Из него видно, что оптимальными являются значения радиуса вала r = 0,059 м, толщина стенки t = 0,002 м. При этом минимальный угол закручивания концевых сечений вала относительно друг друга составляет φ_min = 0,005 рад, а вес вала равен W = 4,610 кг.

Выводы. Решения получились разными, но они отличаются друг от друга несильно, причем в обоих случаях толщина стенки вала получилась одинаковой и на границе. Как и следовало ожидать, эти решения являются несравнимыми: при решении задачи (6.12), (6.14)–(6.19) более лучшим является значение веса вала, зато более худшим – значение угла закручивания концевых сечений относительно друг друга, а при решении задачи (6.13)–(6.18), (6.20) все обстоит с точностью «до наоборот».

Дата добавления: 2020-04-25; просмотров: 392; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

12 3 4 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!