Выполнить задания самостоятельно

Решение.

Старшая степень в данном случае седьмая, следовательно, будем делить числитель и знаменатель на х⁷.

Ответ: 0.

Результаты, полученные в примерах 6, 7, 8 можно обобщить.

Если х→∞ и под знаком предела стоит дробное выражение, в числителе и знаменателе которого − бесконечно большие функции, то

- предел равен нулю, если старшая степень стоит в знаменателе;

- предел равен отношению коэффициентов при старшей степени, если старшая степень числителя и знаменателя одинаковая;

- предел равен бесконечности, если старшая степень стоит в числителе.

0, если старшая степень в знаментателе;

, если в числителе и знаменателе одинаковая старшая степень (a_n и b_n – коэффициенты при переменной в старшей степени);

∞, если старшая степень в числителе.

Используя это правило, многие пределы можно найти очень быстро и легко.

4. Найти пределы 1) ; 2) ;3) .

Решение.

1) Чтобы найти первый из пределов, сначала раскроем скобки в числителе, а затем применим полученное выше правило:

В нашем случае старшая степень числителя – куб, а знаменателя – четвертая, т.е. старшая степень стоит в знаменателе, следовательно, предел равен нулю.

2) Во втором задании и в числителе, и в знаменателе старшей степенью является первая (так как , и, очевидно, что ), поэтому предел равен отношению коэффициентов при старшей степени, т.е. при х. В числителе таким коэффициентом является – 7, а в знаменателе 1:

3) В третьем задании, как и в первом, предварительно следует раскрыть скобки. Только в данном случае это процесс достаточно трудоемкий, и выполнять его полностью нет необходимости, т.к. нас интересует только переменная в старшей степени и ее коэффициент. Очевидно, старшая степень получится, если перемножать во всех скобках слагаемые, содержащие х.

так как старшая степень в числителе.

Ответ: 1) 0; 2) – 7; 3) ∞.

2. Раскрытие неопределенностей вида ∞ – ∞.

Если при вычислении предела получилась неопределенность вида ∞ – ∞, то ее следует преобразовать к виду или . Для этого, возможно, потребуетсяпривести стоящее под знаком предела выражение к общему знаменателю или домножить на сопряженное выражение, а затем действовать так, как описано выше.

5. Найти предел .

Решение.

Ответ: 0,6.

6. Найти предел .

Решение.

В этом случае мы также имеем дело с неопределенностью вида ∞ – ∞. Для того, чтобы преобразовать ее и затем провести подстановкуи определить метод дальнейшего решения, умножим на сопряженное выражение . Но, чтобы полученное выражение было равно исходному, надо одновременно умножать на сопряженное числитель и знаменатель. В нашем случае у исходного выражения знаменателя нет. Поэтому мы в качестве знаменателя поставим единицу: выражение от того, что его поделили на 1, не изменится. А потом уже умножим на сопряженное выражение:

=│Теперь в числителе можно применить формулу разности квадратов│=

В результате получили ноль, так как в знаменателе стоит бесконечно большая функция: (по теореме о связи бесконечно больших и бесконечно малых функций).