Прогнозирование по временным рядам

Расчетная работа № 2

Прогнозирование выходных переменных

Прогнозирование выходных переменных с использованием многопараметрической математической модели

Цель

Освоить метод прогнозирования по математической модели.

Теоретические аспекты

Прогнозирование выходной величины объекта необходимо рассматривать в рамках вероятностных категорий.

Можно использовать линейную регрессионную модель

, (2.1)

где н = 1,2,…. ;

b_i - оценки коэффициентов управления регрессии (адекватного по критерию Фишера[8]);

X_iH - значимо влияющие на y выходные переменные в момент времени Н;

Ŷ_н - прогнозируемое условное среднее значение выходной величины в момент времени Н.

Величина ошибки прогнозирования зависит от наличия помех, качества аппроксимации объекта математической моделью, точности учета динамики процесса, дрейфа характеристик объекта, величины времени экстраполяции и др.

Единичное предсказание выходной величины по уравнению (2.1) с доверительной вероятностью P = 0,95 находится в интервале шириной

, (2.2)

где t₍_α_/2,_H_-_n_-1)- табличное значение t – критерия с Н – n – 1 степенями свободы, α = 1 – P;

- оценка остаточной дисперсии по уравнению (2.1);

- оценка матрицы .

Тогда для уравнения значимости α имеем

˙ (2.3)

Точечная ошибка прогноза определяется

Оценка качества прогноза на интервале времени определяется в виде дисперсии

, (2.4)

и среднеквадратической ошибки

Задание

На основе исходных данных ретроспективной информации (см. таблицу 2.7) получить многопараметрическую математическую модель. Используя ее, выполнить прогноз выходных параметров при наличии векторов входных параметров. Проанализировать полученные данные и сделать вывод.

Исходные данные

Номер варианта соответствует двум последним цифрам зачетной книжки. Если число больше 30, то из него следует вычесть 30 (возможно, не один раз), чтобы получилось число в диапазоне от 1 до 30 включительно. Каждому варианту соответствует 4 переменные исходных совокупностей из таблицы 2.8.

Указания к выполнению

1 Разделить исходные данные на выборку ретроспективной информации объемом N=10 и выборку, необходимую для прогнозирования (N=5).

2 Построить по программе Kralis2003 многопараметрическую регрессионную математическую модель по первым десяти значениям выборочной совокупности (см. таблицу 2.7).

3 По полученной математической модели сделать прогноз значений выходной величины на оставшихся пяти векторах выборочной совокупности входных параметров.

4 Сравнить полученные прогнозируемые значения выходной величины с реальными экспериментальными данными. Вычислить дисперсию, среднеквадратическое отклонение ошибки прогноза.

5 На основе полученных данных сделать вывод о качестве прогноза.

Пример выполнения

Исходные данные:

Таблица 2.1 – Исходные данные

№	Y3	X3	X4	X6
1	27,0	32,3	61,7	3,5	Данные для построения математической модели
2	25,8	31,0	63,5	3,0
3	27,8	33,2	59,5	2,1
4	27,0	32,0	63,0	2,7
5	29,0	35,0	58,0	1,7
6	27,6	32,6	61,5	2,5
7	28,4	34,0	60,0	2,0
8	31,2	35,8	64,5	1,1
9	28,5	34,2	59,7	2,0
10	30,3	36,5	55,2	1,5
11	31,9	38,0	53,7	0,8	Данные для получения прогноза
12	30,5	35,7	52,6	0,5
13	32,5	39,1	55,6	1,2
14	31,5	36,3	55,0	0,3
15	31,6	37,2	52,5	0,7

Запустите программу Kralis2003. Выберите «Работа 4», укажите номер варианта (например, 8) и нажмите «ввод». Вновь нажмите «Работа 4», но теперь укажите возможность ввода данных с клавиатуры с установкой «Объем выборочной совокупности», равной 10 и «количество векторов данных», равной 4. После этого нажмите кнопку «Выполнить». В результате получена следующая математическая модель:

Рисунок 2.1 – Исходные значений и значений по модели

Поочередно подставим в математическую модель 5 значений переменных Х3, Х4, Х6 из выборки, необходимой для прогнозирования, и вычислим прогнозируемые значения выходной величины.

Сравним полученные значения с исходными:

Таблица 2.2 – Сравнение исходных и прогнозируемых данных

№	Y3	Ŷ
1	27,0	26,97
2	25,8	26,02
3	27,8	27,61
4	27,0	26,96
5	29,0	29,19
6	27,6	27,32
7	28,4	28,5
8	31,2	31,16
9	28,5	28,65
10	30,3	30,23
11	31,9	31,195
12	30,5	28,732
13	32,5	32,586
14	31,5	29,756
15	31,6	30,199

Рис. 2.2 – Сравнение исходных и прогнозируемых данных

Найдем ошибку прогноза:

Вывод:

На основании вычислений, выполненных в программе Kralis2003, имеем:

Тогда:

Так как , то различие между дисперсией и остаточной дисперсией с доверительной вероятностью 0,95 статистически значимо, следовательно полученная математическая модель адекватна.

Многопараметрическая математическая модель позволяет делать качественный прогноз выходной величины и может быть использована при прогнозировании и управлении процессами с транспортными запаздываниями в каналах управления.

Содержание отчета

1. Формулировка задания

2. Исходные данные

3. Расчетно-графическая часть

4. Вывод

Прогнозирование по временным рядам

Цель

Исследование сигналов с помощью временных рядов. Прогнозирование случайных величин.

Задание

Произвести прогноз случайной последовательности, используя временные ряды.

Указания к выполнению

1 Построить временной ряд на основе исходных данных (см таблицу 2.7 по варианту, определенному в пункте 2.2.1.4).

2 Выявить линейный тренд временного ряда , используя метод наименьших квадратов.

3 Получить центрированную функцию прогнозируемой величины относительно тренда

4 Для построения математической модели, описывающей данный временной ряд необходимо определить порядок модели (рекомендуется не более ) и оценку значений ее коэффициентов.

5 Вычислить коэффициенты автокорреляции с 1 по n порядок по формуле (2.6), где n – порядок модели.

6 Получить прогнозирующую модель , где коэффициенты а_i определяются выражением (2.5), n - размерность модели.

7 Последовательно подставляя в прогнозирующую модель произвести прогноз значений временного ряда на один, два и три такта времени вперед. Изобразить прогноз графически.

8 Вычислить ошибки прогноза (D, δ, ε).

9 На основе полученных данных сделать вывод о качестве прогноза.

Используемые формулы:

, (2.5)

, (2.6)

где ,

, , ,

Здесь - длина ряда. График зависимости значений коэффициентов автокорреляции от величины лага L называется коррелограммой.

Cдвиг по времени L называется лагом, который определяет порядок коэффициента автокорреляции. Если L = 1, то имеем коэффициент автокорреляции 1-го порядка если L = 2, то коэффициент автокорреляции 2-го порядка и т.д.

Отметим два важных свойства коэффициента автокорреляции:

1) Он характеризует тесноту линейной связи текущего и предыдущего уровней. Поэтому по коэффициенту автокорреляции можно судить о наличии только линейной тенденции.

2) По знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать вывод о возрастающей или убывающей тенденции в уровнях ряда. Многие временные ряды экономических данных содержат положительную автокорреляцию уровней, однако при этом могут иметь убывающую тенденцию.

Модель , (2.7) называется моделью авторегрессионного процесса и обозначается , где n – максимальный учитываемый лаг.

Построение модели AR ( n ) типа (2.7), адекватной реальному временному ряду , предполагает решение двух взаимосвязанных задач: определение порядка модели n и оценка значений ее коэффициентов.

При определении порядка модели необходимо учитывать, что с увеличением лага на единицу число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается на 1. Поэтому обычно максимальный порядок коэффициента автокорреляции равен N/4, где - длина анализируемого ряда.

Лаг L, при котором автокорреляция максимальна, определяет структуру временного ряда. Если максимум соответствует L = 1, то исследуемый ряд содержит только тенденцию. Если L>1, то ряд содержит (помимо тенденции) колебания периодом L. Если ни один из не является значимым, можно сделать одно из предположений:

- временной ряд не содержит тенденций и циклических колебаний, а его уровень определяется случайной компонентой;

- временной ряд содержит нелинейную тенденцию, для выявления которой необходимы дополнительный анализ.

Без ограничения общности в дальнейшем будем предполагать, что математическое ожидание ряда равно нулю ( ). Если это не так, то вместо переменной в выражении (2.7) можно рассмотреть центрированную переменную , где , при этом . Если временной ряд имеет тренд, то из значений ряда необходимо вычесть трендовую составляющую.

Из выражения (2.5) следует, что параметры модели a_i , могут быть выражены через коэффициенты автокорреляции:

, (2.8)

которое связывает коэффициенты автокорреляции процесса и коэффициенты модели AR ( n ). Подставив в (2.8) вместо значений коэффициентов автокорреляции процесса их выборочные оценки , получим следующую систему линейных уравнений

(2.9)

в которой известными являются оценки коэффициентов автокорреляции , а неизвестными – оценки коэффициентов модели AR ( n ) .

Поясним, как систему (2.9) можно получить из (2.7). Умножим обе части (2.7) на вычислим математическое ожидание и результат разделим на (предполагается, что ряд стационарный). В результате получим первое уравнение системы (2.9). Повторив описанную операцию с получим второе уравнение системы, и так далее.

Систему (2.9) называют уравнениями Юла-Уокера, а полученные на их основе значения - оценками коэффициентов модели авторегрессии AR ( n ) Юла-Уокера. Решение уравнения (2.9) можно представить в матричной форме (2.5).

Пример выполнения

В качестве входных данных будем использовать первые 12 данных Y3 из таблицы 2.3 и по ним проведем прогноз 3-х оставшихся значений.

Таблица 2.3 – Исходные данные

№	Y3
1	27,0	Данные для построения математической модели
2	25,8
3	27,8
4	27,0
5	29,0
6	27,6
7	28,4
8	31,2
9	28,5
10	30,3
11	31,9
12	30,5
13	32,5	Данные для прогнозирования
14	31,5
15	31,6

1. Построим исходный временной ряд

Рис 2.3 – Исходный временной ряд

2. С помощью метода наименьших квадратов найдем коэффициенты модели, описывающей тренд временного ряда

(2.10)

Рис. 2.4 – Исходный временной ряд с трендом

3. Построим центрированную функцию прогнозируемой величины относительно тренда

(2.11)

Рис 2.5 – Центрированная функция

4. Определим порядок модели (порядок задает количество лагов L), описывающей данный ряд:

где N – количество значений в исходной выборке.

5. Вычислим коэффициенты автокорреляции

Общая формула:

где:

Для L = 1: .

Для L = 2: .

Для L = 3:

6. Определим прогнозирующую модель

Прогнозирующая модель имеет вид:

Определим размерность прогнозирующей модели, которая определяется номером лага L, при котором коэффициент автокорреляции по модулю становится не значимым, а при предыдущем лаге L-1, коэффициент автокорреляции был значимым. Например, рассмотрим таблицу 2.3.

Таблица 2.3 – Значимость коэффициента автокорреляции

Лаг L (порядок)	1	2	3
Коэффициент автокорреляции	-0,654	-0,09	0,515
Число степеней свободы (N-2-L)	9	8	7
Табличные значения коэффициента корреляции	0,6021	0,6319	0,6664
Значимость коэффициента автокорреляции	значим	не значим	не значим

Так как при лаге L=2 коэффициент автокорреляции r(t, t-2) становится не значимым, то размерность прогнозирующей модели m=2, а в случае, если он был бы значимым, то размерность прогнозирующей модели была бы равна 3.

Определим коэффициенты прогнозирующей модели:

Прогнозирующая модель центрированных значений выходной величины запишется в виде:

Рис. 2.6 – Исходный ряд и его прогноз с вычетом тренда

Прогноз выходной величины с учетом тренда запишется в виде:

Рис. 2.7 – Исходный ряд и его прогноз с учетом
тренда

7. Прогноз выходной величины

Выполним прогноз значений временного ряда на основе полученной модели, последовательно подставляя значения z(t-k), k = 1…3 в модель (2.7)

Для прогноза на один шаг вперед прогнозирующая функция примет вид:

Рис. 2.8 – Прогноз на один шаг с учетом тренда

Вычислим дисперсию выходной величины

И дисперсию прогноза на один шаг вперед

Для прогноза на один шаг вперед прогнозирующая функция примет вид:

Рис. 2.9 – Прогноз на 2 шага с учетом тренда

Вычислим дисперсию выходной величины

И дисперсию прогноза на два шага вперед

Для прогноза на один шаг вперед прогнозирующая функция примет вид:

Рис 2.10 – Прогноз на 3 шага с учетом тренда

Вычислим дисперсию выходной величины

И дисперсию прогноза на два шага вперед

8. Вычисление дисперсии ошибки прогноза при разных значениях шага прогноза

Формула ошибки прогноза

Найдем дисперсию ошибки прогноза при прогнозе на один шаг:

Ошибка прогноза на один шаг равна

Найдем дисперсию ошибки прогноза при прогнозе на два шага:

Ошибка прогноза на два шага равна:

Найдем дисперсию ошибки прогноза при прогнозе на три шага:

Ошибка прогноза на три шага:

Таблица 2.4 – Сравнение дисперсий исходного ряда и его прогноза

		Прогноз на 1 шаг вперед	Прогноз на 2 шага вперед	Прогноз на 3 шага вперед
Исходные данные	D	31,364	31,458	31,462
Исходные данные	δ	5,6	5,609	5,609
Прогноз	D	31,403	31,521	31,562
Прогноз	δ	5,604	5,614	5,615

Таблица 2.5 – Данные прогноза

	Прогноз на 1 шаг вперед	Прогноз на 2 шага вперед	Прогноз на 3 шага вперед
Фактические данные	32,5	31,5	31,6
Данные прогноза	31,39	32,93	31,59

Таблица 2.6 – Данные прогноза с учетом ошибки

	Прогноз на 1 шаг вперед	Прогноз на 2 шага вперед	Прогноз на 3 шага вперед
D	0,455	0,578	0,537
δ	0,675	0,76	0,733
	2,78	3,118	3,004
	31,39 2,78	32,93 3,118	31,59 3,004

Вывод:

Оценим значимости различий между дисперсиями исходной величины и ее прогноза с помощью критерия Фишера:

1. Прогноз на 1 шаг

различие между дисперсиями с доверительной вероятностью 0,95 незначимо.

2. Прогноза на 2 шага

различие между дисперсиями с доверительной вероятностью 0,95 незначимо.

3. Прогноз на 3 шага

различие между дисперсиями с доверительной вероятностью 0,95 незначимо.

Так как при всех шагах прогноза различия между дисперсиями прогнозируемого и исходного рядов с доверительной вероятностью 0,95 статистически незначимы, то эти дисперсии однородны. Отклонение прогноза от исходной величины с доверительной вероятностью 0,95 попадает в интервал [- ], и .

Содержание отчета

1. Формулировка задания

2. Исходные данные

3. Расчетно-графическая часть

4. Таблицы полученных данных

5. Вывод

Таблица 2.7 – Исходные данные для выполнения расчетов

Значения факторов											Значения выходных величин
№	Х₁	Х₂	Х₃	Х₄	Х₅	Х₆	Х₇	Х₈	Х₉	Х₁₀	Y₁	Y₂	Y₃	Y₄	Y₅	Y₆	Y₇	Y₈
1	3,0	13,5	32,3	61,7	10,0	3,5	15,5	6,7	45,5	3,0	18,2	29,2	27,0	9,4	6,4	22,2	17,7	17,6
2	2,1	13,2	31,0	63,5	9,2	3,0	15,1	5,5	45,1	2,5	27,2	27,8	25,8	9,1	6,8	20,7	16,0	18,4
3	3,3	12,7	33,2	59,5	11,5	2,1	16,6	6,3	46,2	1,8	26,6	31,0	27,8	9,7	6,3	22,1	19,5	16,7
4	3,5	12,5	32,0	63,0	12,8	2,7	15,7	5,0	45,7	2,7	27,5	31,7	27,0	9,6	7,1	20,4	21,1	18,1
5	3,6	12,5	35,0	58,0	10,1	1,7	17,0	4,2	47,0	1,7	26,6	30,5	29,0	9,8	6,0	19,8	18,6	16,2
6	3,8	12,0	32,6	61,5	10,3	2,5	18,0	5,2	45,5	2,8	27,2	32,5	27,6	9,8	7,1	20,0	21,7	17,4
7	4,0	11,5	34,0	60,0	11,5	2,0	16,7	4,0	47,0	2,1	27,1	31,2	28,4	9,8	6,5	19,8	20,2	16,8
8	4,1	12,6	35,8	64,5	15,0	1,1	18,3	5,0	46,1	1,5	28,2	36,4	31,2	10,5	6,0	20,9	23,9	15,3
9	4,2	11,2	34,2	59,7	12,5	2,0	17,6	3,3	47,7	2,0	26,8	32,3	28,5	9,9	6,6	19,5	21,4	16,5
10	4,5	11,0	36,5	55,2	15,0	1,5	19,2	4,0	46,8	0,8	26,3	36,0	30,3	10,2	6,6	20,2	24,2	15,3
11	4,5	10,6	38,0	53,7	16,2	0,8	18,0	2,7	48,3	1,6	26,2	38,0	31,9	10,9	6,0	19,2	25,8	14,4
12	4,7	10,2	35,7	52,6	14,0	0,5	19,7	3,2	47,5	0,8	25,5	34,6	30,5	10,8	5,6	19,7	23,3	13,8
13	4,8	10,0	39,1	55,6	18,0	1,2	18,3	2,3	48,5	1,2	27,1	40,2	32,5	10,8	6,6	18,8	27,9	15,1
14	5,0	9,5	36,3	55,0	16,0	0,3	20,5	2,8	48,0	0,2	26,4	36,8	31,5	11,4	5,7	19,5	25,5	14,0
15	5,0	9,2	37,2	52,5	18,5	0,7	20,0	1,5	49,2	0,5	25,9	39,8	31,6	11,1	6,5	18,2	28,3	14,1

Таблица 2.8 – Варианты заданий

Номер варианта	Используемые переменные
1	Y₂	X₂	X₃	X₄
2	Y₂	X₃	X₄	X₅
3	Y₂	X₂	X₄	X₅
4	Y₂	X₂	X₃	X₅
5	Y₃	X₃	X₄	X₅
6	Y₃	X₄	X₅	X₆
7	Y₃	X₃	X₅	X₆
8	Y₃	X₃	X₄	X₆
9	Y₄	X₄	X₅	X₆
10	Y₄	X₅	X₆	X₇
11	Y₄	X₄	X₆	X₇
12	Y₄	X₄	X₅	X₇
13	Y₅	X₅	X₇	X₈
14	Y₅	X₈	X₅	X₆
15	Y₅	X₅	X₆	X₇
16	Y₅	X₆	X₇	X₈
17	Y₆	X₆	X₇	X₈
18	Y₆	X₇	X₈	X₉
19	Y₆	X₆	X₈	X₉
20	Y₆	X₆	X₇	X₃
21	Y₇	X₁	X₃	X₅
22	Y₇	X₃	X₅	X₇
23	Y₇	X₁	X₅	X₇
24	Y₇	X₁	X₃	X₇
25	Y₈	X₂	X₄	X₆
26	Y₈	X₃	X₇	X₉
27	Y₈	X₂	X₃	X₄
28	Y₈	X₂	X₅	X₆
29	Y₈	X₃	X₅	X₇
30	Y₈	X₁	X₃	X₉

Дата добавления: 2020-04-25; просмотров: 273; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

Мы поможем в написании ваших работ!