Передаточная функция элемента

Задание

 

1.  Изобразить принципиальную схему САР для заданного варианта. Составить функциональную схему САР.

2.  По заданным в варианте статическим характеристикам и значению рабочей точки определить передаточные коэффициенты всех элементов системы в абсолютных значениях. Выполнить статический расчёт САР, определив величину статической ошибки системы по задающему воздействию.

3.  Составить дифференциальные уравнения и определить передаточные функции всех элементов системы, используя заданные параметры. Изобразить структурную схему САР.

4.  По найденным в п.3 передаточным функциям построить частотные характеристики (АФЧХ, АЧХ, ФЧХ, ЛАЧХ, ЛФЧХ) всех элементов системы

5.  По найденным передаточным функциям элементов системы определить передаточные функции разомкнутой и замкнутой САР по задающему воздействию.

6.  Построить эквивалентные частотные характеристики (АФЧХ, АЧХ, ФЧХ, ЛАЧХ, ЛФЧХ) разомкнутой системы.

7.  Проверить устойчивость замкнутой системы по критериям Гурвица, Михайлова и Найквиста.

8.  Построить график переходного процесса системы. Определить показатели качества переходного процесса.                                                                          

 

МГТУ Кафедра А и ВТ

 

Исходные данные

Рабочая точка:

Статическая ошибка:

 

Электромашинный усилитель (далее ЭМУ):

 

Таблица 1 – Параметры ЭМУ

Вариант параметров	Параметры ЭМУ
	Lq	Rq	Ly	Ry
3-I	10	100	5	15

 

L_y - индуктивность цепи управления, Гн;

R_y- сопротивление цепи управления, Ом;

L_q- индуктивность поперечной цепи, Гн;

R_q- сопротивление поперечной цепи, Ом

Рисунок 1- Статические характеристики ЭМУ

Двигатель постоянного тока с регулированием частоты вращения изменением напряжения на якоре (далее ЭДН):

Таблица 2 – Параметры ЭДН.

 

Вариант параметров	J	r	f ¶
3	250	70	20

 

f ¶ -коэффициент внутреннего демпфирования;

 

 

Рисунок 2 - Статическая характеристика ЭДН.

 

Тахогенератор (далее ТГ):

 

Рисунок 3 - Статические характеристики ТГ.

 

1. Принципиальная и функциональная схема САР.

 

Рисунок 4 - Принципиальная схема САР стабилизации частоты вращения двигателя постоянного тока. Объект регулирования – ЭДН

Рисунок 5 - Функциональная схема САР стабилизации частоты вращения двигателя постоянного тока

УПТ – усилитель постоянного тока;

ИЭ (ЭМУ) - исполнительный элемент (электромашинный усилитель);

ОУ (ЭДН) – объект управления (двигатель постоянного тока);

ЧЭ (ТГ) – чувствительный элемент (тахогенератор);

ЗУ (R3) – задающее устройство (потенциометр R3);

g ( t ) – задающее воздействие;

e ( t ) – рассогласование;

U ( t ) – управляющее воздействие;

Y ( t ) – выход системы.

2. Определение передаточных коэффициентов всех элементов системы в абсолютных значениях. Выполнение статического расчёта САР, определением величины статической ошибки системы по задающему воздействию.

 

                                                                                       (1)

                                                                                  (2)

    В/(об/мин)                                  (3)

                                                         (4)

 (об/мин)/В                                             (5)

=0,4948                                      (6)

                                    (7)

Заданная статическая ошибка не обеспечена, поэтому введем усилитель постоянного тока (далее УПТ), обладающий некоторым коэффициентом усиления - .

При этом:

                                                (8)

По условию задачи найденная статическая ошибка должна быть меньше или равна заданной, значит:

                                                               (9)

Решая неравенство (8) получим

=0,08·100=8%                          (10)
3. Составление дифференциальных уравнений и определение передаточных функций элементов системы, используя заданные параметры

 

1. Дифференциальное уравнение двигателя постоянного тока с независимым возбуждением при регулировании частоты вращения изменением напряжения на якоре (ЭДН).

Принципиальная схема

Входная величина - Uя   Выходная величина - ω

Исходными физическими уравнениями являются уравнения электрического и механического равновесия.

Схема цепи якоря двигателя позволяет составить уравнение электрического равновесия:

,                                  (11)

где L_я - индуктивность цепи якоря;

R_я - активное сопротивление цепи якоря;

E_пр = 30С_еФ  - противоЭДС якоря.

Для двигателей малой и средней мощности индуктивностью якоря можно пренебречь.

Полагая, что вращающий момент двигателя расходуется на преодоление динамического момента, обусловленного моментом инерции вращающихся масс и момента вязкого трения, получим уравнение моментов

,                                  (12)

где С_m- электромеханическая постоянная;

Ф - поток обмотки возбуждения;

J - момент инерции всех вращающихся масс;

r - коэффициент вязкого трения.

Вывод дифференциального уравнения

Выразим из уравнения (12) ток якоря I_я и подставим его в уравнение (11), после преобразования получим уравнение:

,                              (13)

где  - коэффициент внутреннего демпфирования;

- коэффициент пропорциональности между частотой вращения и напряжением.

Окончательно дифференциальное уравнение можно представить в виде

,                                       (14)

где  - электромеханическая постоянная времени ;

 - передаточный коэффициент двигателя.

Передаточный коэффициент находится по статической характеристике двигателя ω=f(U_я) для заданной рабочей точки.

Передаточная функция элемента

Если к уравнению (14) применим преобразование Лапласа (начальные условия нулевые), то уравнение (14) примет вид

,                                      (15)

Определив отношение лапласова изображения выходной величины к лапласову изображению входной, получим выражение передаточной функции элемента

.               (16)

 

2. Дифференциальное уравнение электромашинного усилителя с продольно-поперечным возбуждением (ЭМУ).

Принципиальная схема

Входная величина - Uу   Выходная величина - Uвых

 

Эквивалентная схема

Исходные физические уравнения

ЭМУ с продольно-поперечным возбуждением эквивалентен последовательному соединению двух звеньев: первичного и вторичного генераторов. Входной величиной первичного генератора является напряжение возбуждения U_y, приложенное к обмотке управления ЭМУ, его выходной величиной является напряжение поперечной цепи U_q. Это напряжение, в свою очередь, является источником возбуждения вторичного генератора. На выходе этого генератора вырабатывается выходное напряжение ЭМУ - U_вых. Приведённая эквивалентная схема справедлива, если пренебречь ЭДС взаимоиндукции, которая наводится токами управляющей обмотки в продольной обмотке якоря и считать, что ЭМУ полностью скомпенсирован потоком компенсационной обмотки.

Данная схема позволяет составить уравнения электрического равновесия:

§ для цепи обмотки управления -

                                          (17)

§ для поперечной цепи якоря -

                                            (18)

где R_y, R_д, L_y, L_д- активные сопротивления и индуктивности соответственно цепи управления и поперечной цепи.

Если ЭМУ работает в ненасыщенном режиме, то напряжение поперечной цепи U_д и напряжение на выходе U_вых можно определить так:

                                                  (19)

                                                   (20)

Вывод дифференциального уравнения

Решая совместно (17), (18), и (19), получим следующее дифференциальное уравнение:

                         (21)

где - постоянная времени цепи управления ЭМУ,

- постоянная времени поперечной цепи ЭМУ,

- передаточный коэффициент ЭМУ.

Передаточный коэффициент находится по статической характеристике ЭМУ U_вых=f(U_y) для заданной рабочей точки.

Передаточная функция элемента

Если к уравнению (21) применим преобразование Лапласа (начальные условия нулевые), то уравнение примет вид

                   (22)

Определив отношение лапласова преобразования выходной величины к лапласову преобразованию входной, получим выражение передаточной функции элемента

 (23)

Элементы системы тахогенератор и УПТ являются безинерционными звеньями с передаточными функциями

,                                   (24)

где  и  - коэффициенты передачи, найденные при статическом расчете.

 

Рисунок 6 –Структурная схема САР.

4. Построение частотных характеристик (АФЧХ, АЧХ, ФЧХ, ЛАЧХ, ЛФЧХ) элементов системы.

 ЭДН:

Рисунок 7 –Амплитудно-частотная характеристика ЭДН

Рисунок 8 – Фазочастотная характеристика ЭДН.

Рисунок 9 – Амплитудно фазочастотная характеристика ЭДН.

 

Рисунок 10 – Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика ЭДН.

 

Рисунок 11 – Логарифмическая фазочастотная характеристика ЭДН

 

ЭМУ:

Рисунок 12 –Амплитудно-частотная характеристика ЭМУ

Рисунок 13 – Фазочастотная характеристика ЭМУ

Рисунок 14 – Амплитудно-фазочастотная характеристика ЭМУ

Рисунок 15 – Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика ЭМУ

 

 

Рисунок 16 – Логарифмическая фазочастотная характеристика ЭМУ

 

 

УПТ:

Рисунок 17 –Амплитудно-частотная характеристика УПТ

Рисунок 18 – Фазочастотная характеристика УПТ

Рисунок 19 – Амплитудно-фазочастотная характеристика УПТ

Рисунок 20 – Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика УПТ

 

Рисунок 21 – Логарифмическая фазочастотная характеристика УПТ

 

ТГ:

Рисунок 22 –Амплитудно-частотная характеристика ТГ

Рисунок 23 – Фазочастотная характеристика ТГ

Рисунок 24 – Амплитудно-фазочастотная характеристика ТГ

Рисунок 25 – Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика ТГ

 

Рисунок 26 – Логарифмическая фазочастотная характеристика ТГ

 

6. Определение передаточных функций разомкнутой и замкнутой САР по задающему воздействию.

Разомкнутая система:

Замкнутая система:

 

7. Построение эквивалентных частотных и логарифмических характеристик (АФЧХ, АЧХ, ФЧХ, ЛАЧХ, ЛФЧХ) разомкнутой системы.

 

Рисунок 27 –Амплитудно-частотная характеристика разомкнутой системы

Рисунок 28 – Фазочастотная характеристика разомкнутой системы

Рисунок 29 – Амплитудно-фазочастотная характеристика разомкнутой системы

Рисунок 30 – Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика разомкнутой системы

 

 

Рисунок 31 – Логарифмическая фазочастотная характеристика разомкнутой системы

 

8. Проверка устойчивости системы.

По критерию Гурвица:

Характеристическое уравнение нашей системы имеет вид:

 

Составим по этому уравнению таблицу коэффициентов:

 

1,237	3,54	0
0,924	3,23	0
0	1,237	3,54

Найдем определители:

D₁ = 1,237               

 

D₂ :

 

 

D₃ :

 

Условия устойчивости системы сводятся к тому, чтобы все составленные коэффициенты и определители, были положительными, поскольку не все три определителя больше нуля, следовательно, данная система устойчивая.

 

По критерию Михайлова:

Рисунок – 32 Годограф Михайлова

Система автоматического регулирования устойчива, если годограф Михайлова при изменении частоты от 0 до ∞ начинается на положительной части вещественной оси и последовательно проходит в положительном направлении через n квадрантов комплексной плоскости, где – n – порядок системы. В данном случае n=3, следовательно, годограф Михайлова должен пройти через 3 квадранта (1-й, 2-й, 3-й). На рисунке 32 представлен годограф Михайлова. Т.к. годограф Михайлова начинается с первой четверти, потом идет во вторую, третью и четвертую можно сделать вывод о том, что система устойчивая.

По критерию Найквиста:

 

Для проверки устойчивости системы по критерию Найквиста можно воспользоваться уже построенной АФЧХ разомкнутой системы. Как известно, оценка устойчивости производится по относительному положению АФЧХ и точки с координатами (-1; 0). Дополнительных вычислений не требуется.

Рисунок – 33 АФЧХ разомкнутой системы

САР, устойчивая в разомкнутом состоянии, будет не устойчива в замкнутом состоянии, если АФЧХ разомкнутой системы при изменении частоты от 0 до ∞ охватывает точку с координатами (-1;0). Из построенной ранее АФЧХ видно что график разомкнутой системы не охватывает точку с данными координатами, значит, система устойчивая.

 

9. Построить график переходного процесса системы. Определить показатели качества переходного процесса.       

 

Схема моделируемой системы представлена на рисунке 33.

 

Рисунок 34 - Структурная схема моделируемой системы

 

Для данной схемы производится расчет и построение графика переходного процесса (рисунок 35).

Рисунок 35 - График переходного процесса в замкнутой АСР

Время регулирования – 3 сек. Перерегулирование – 5%.

---

Дата добавления: 2020-01-07; просмотров: 151; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!