О функционально-графическом методе решения задач с параметрами.
В задачах (уравнение, неравенство, система уравнений или неравенств) вида
(1)
где символ 
заменяет один из знаков =, >, <, 
, часто ставится вопрос исследовать (1) на:
– наличие решений или их отсутствие,
– единственность решения или наличие определенного количества решений,
– наличие решений определенного типа и т.д.
Для решения подобных задачи можно применять графический метод решения (метод наглядной графической интерпретации), основанный на использовании графических образов, входящих в (1) выражений.
Графиком функции y = f(x), x ∈ D(f) называется множество всех точек координатной плоскости Oxy вида (x, f(x)), где x ∈ D(f).
Графический метод применительно к рассматриваемым задачам допускает несколько интерпретаций, имеющих общее название метод сечений. В зависимости от того, какая роль отводится параметру при решении задачи с параметрами с использованием этого метода, можно выделить два основных графических приема:
· Построение графического образа на координатной плоскости Oxy.
В этом случае (1) приводится, если это возможно, к виду
· построение графического образа на координатной плоскости Oxa.
В этом случае (1) приводится, если это возможно, к виду
.
Семейства функций, часто используемых в подобных задачах:
Рассмотрим часто встречающиеся в подобных задачах семейства функций 
или уравнения 
и их графики.
3.1. Семейство линейных функций 
, графики которых - прямые, проходящие через точку 
и имеющие угловой коэффициент, равный a («пучок прямых» – так обычно называют это семейство графиков).
|
|
|
3.2. Семейство функций 
, графики которых получаются из графика 
параллельным переносом на вектор 
(семейство «уголков»).
3.3. Семейство окружностей 
с центром в точке ( 
), радиуса 
.
При решении уравнения (неравенства) вида 
) 
на плоскости Oxa строятся график функции 
(назовем его «неподвижным») и прямые 
, параллельные оси Ox. Далее в соответствии с условием задачи исследуется расположение построенных графиков.
Графический метод (геометрический).
Пример соответствия формул и графического образа.
Уравнение «пучка» прямых, проходящих через точку (4; 2):
.
Плюсы и минусы графических методов в сравнении с аналитическими методами.
Применение графических методов оправдано в случаях, когда в условии задачи ставится вопрос о количестве решений в зависимости от значений параметра или о нахождении значений параметра, при которых решение отсутствует или единственно.
Плюсы графических методов:
· во-первых, построив графический образ, можно определить, как влияет на них и, соответственно, на решение изменение параметра;
|
|
|
· во-вторых, иногда график дает возможность сформулировать аналитически необходимые и достаточные условия для решения поставленной задачи;
· в-третьих, ряд теорем позволяет на основании графической информации делать вполне строгие и обоснованные заключения о количестве решений, об их границах и т.д.
Минусы графических методов: при использовании графических методов возникает вопрос о строгости решения. Требования к строгости должны определяться здравым смыслом. Если результат, полученный графическим методом, вызывает сомнения, его необходимо подкрепить аналитически.
Дата добавления: 2019-11-16; просмотров: 805; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!