Квантовая теория электропроводности металлов
Л Е К Ц И Я № 13
Электропроводность металлов.
Классическая электронная теория Друде-Лоренца
Металлы – хорошие проводники электрического тока.
Носители заряда?
1) 1901 г. опыт Рикке
2) Инертные свойства
Томсон, Стюарт – качественно
Мандельштам, Папалекси – количественно
вращение – остановка!
Результат: носителями электрического тока в металлах являются свободные электроны.
Далее Друде и Лоренцом была создана классическая электронная теория электропроводности металлов.
В ней металлы представляли собой твердые вещества, в узлах которых находятся положительные ионы, совершающие непрерывные колебания у положения равновесия. А отрицательные электроны представляют собой практически свободные частицы – отрицательно заряженный электронный газ (в качестве модели использовалась модель идеального газа).
В отсутствие электрического поля электроны участвуют лишь в хаотическом движении с 
, сталкиваясь лишь с узлами кристаллической решетки.
В электрическом поле электроны приобретают направленное движение против поля и двигаются с ускорением:
Но t ® ¥, т.к. происходит столкновение электронов с узлами кристаллической решетки.
t - время между двумя последовательными
столкновениями;
где 
- средняя длина свободного пробега электронов º межузельное расстояние кристаллической решетки;
|
|
|
- средняя скорость теплового (хаотического) движения электронов.
Вводя среднюю скорость дрейфа электронов по полю (среднюю скорость направленного движения) 
,
можно записать значение плотности электрического тока в проводнике
. (13-1)
где 
- концентрация электронов в проводнике;
q - заряд электрона.
Сравнивая полученный результат с законом Ома для участка электрической цепи в дифференциальной форме
,
можно записать выражение для удельной проводимости металлического проводника:
. (13-2)
Аналогичные рассуждения можно провести для теплового действия тока (закон Джоуля-Ленца).
Электроны, разгоняясь в электрическом поле, приобретают кинетическую энергию:
.
Тогда энергия всех электронов dN, приходящаяся на единицу объема dV металла за единицу времени свободного пробега приобретает значение
Сравнивая полученный результат с законом Джоуля-Ленца для участка электрической цепи в дифференциальной форме:
,
,
(где 
объемная плотность тепловой энергии, выделенная в металле в единицу времени при протекании электрического тока),
|
|
|
приходим к аналогичному результату (13-2)для удельной проводимости металлического проводника.
Полученный результат объясняет, почему разные металлы обладают разным электрическим сопротивлением.
:
1) у разных металлов разная концентрация свободных электронов, которая определяется валентностью атомов a и концентрацией атомов n ат:
,
где 
- валентность атома;
- плотность металла;
- постоянная Авогадро;
М - молярная масса металла;
2) у разных металлов разное строение кристаллической решетки:
;
3) средняя скорость теплового (хаотического) движения в разных металлах разная (даже при одинаковой температуре).
Полученный классической теорией результат объяснял температурную зависимость электрического сопротивления металла
.
Более того, идея использовать модель идеального газа для описания тепловых свойств в твердых телах позволила Дюлонгу и Пти получить выражение для молярной теплоемкости твердых тел, которое хорошо удовлетворяло экспериментальным результатам в широком диапазоне температур:
.
Однако, как раньше было рассмотрено, в области сверхнизких температур закон Дюлонга-Пти очень сильно расходился с экспериментом.
|
|
|
Более того, последовательное использование модели идеального газа приводила к результату, что молярная теплоемкость металлов должна была быть 
, что вообще противоречило эксперименту.
И, наконец, при изменении температуры металлического проводника его средняя скорость теплового (хаотического) движения меняется 
.
Значит, электрическое сопротивление R должно зависеть от абсолютной температуры Т металла согласно (13-2), как
т. к. 
, 
.
Но экспериментальные исследования зависимости 
показывали, что эта зависимость в широком интервале температур линейная.
,
где a = 
- температурный коэффициент сопротивления металла.
Объяснить эти противоречия с экспериментом классическая электронная теория не смогла.
Все ответы были получены лишь в рамках квантовой физики.
Квантовая теория электропроводности металлов
В отсутствие внешнего электрического поля электронный газ в металлах находится в равновесном состоянии и описывается равновесными функциями распределения.
Для вырожденного газа такой функцией является функция Ферми-Дирака, а для невырожденного – функция Максвелла-Больцмана.
|
|
|
При равновесии электрического тока нет. Однако электроны в твердом теле движутся в периодическом потенциальном поле ионов. Их поведение описывается с помощью волновых функций, являющихся решением уравнения Шредингера. При этом энергия электронов квантуется, т. е. принимает дискретные значения.
Т. е. приходится следить не за поведением конкретного электрона, а за квантовым состоянием.
Тогда не важно, какой электрон, не важно, какая частица несет заряд и массу электрона…
Это «как бы» свободная частица – «квазичастица».
Рассматривая движение таких свободных квантовых частиц в периодическом поле кристалла, приходится наделять электроны особой массой – эффективной массой m *.
Эффективная масса m *, заключая в себе всю особенность, присущую электрону, движущемуся в периодическом поле кристалла, является весьма своеобразной величиной.
Прежде всего она может быть как положительной, так и отрицательной величиной, а по абсолютному значению может быть как намного больше массы электрона, так и намного меньше.
Электроны, расположенные у дна энергетической зоны, имеют положительную m *, поэтому во внешнем электрическом поле они ведут себя «нормально» - ускоряются в направлении действия электрической силы.
Для электронов, находящихся у вершины энергетической зоны, m * < 0 (отрицательная), поэтому они ведут себя аномально - ускоряются по направлению поля.
Эффективная масса не определяет ни инертные, ни гравитационные свойства электрона. Она лишь характеризует его взаимодействие с электрическим полем кристалла.
Заменяя массу электрона на m *, можно рассматривать электроны проводимости в металле как идеальный газ, но газ с совершенно необычными квантовыми свойствами. При этом электроны движутся в вязкой среде кристалла, которая препятствует их направленному движению, обладая некоторым сопротивлением.
Тогда можно получить оценку скорости дрейфа электронов в металле при наличии электрического поля
,
где 
- коэффициент сопротивления кристалла движению электрона.
,
откуда 
.
При 
.
Так как 
, где 
- время релаксации, т. е. время, за которое дрейфовая скорость изменяется в «е» раз.
,
где 
- средняя длина свободного пробега электронов, которому в металле мешают двигаться фононы (квазичастицы тепловых волн в кристаллах).
,
- концентрация фононов в кристалле,
- средняя скорость электронов в кристаллах
.
Тогда 
,
откуда 
. (13-3)
Полученный результат практически совпадает с классическим (13-2), но величины, входящие в (13-3) и (13-2), имеют принципиальную разницу.
Классическая физика считала, что электроны при своем движении сталкиваются с узлами кристаллической решетки, проходя при этом в среднем расстояние 
, равное межузельному расстоянию, которое постоянно и 
, а вот средняя скорость теплового (хаотического) движения 
, причем 
.
Квантовая физика считает, что электроны при своем движении рассеиваются на тепловых флуктуациях кристаллической решетки (фононах), концентрация которых сильно зависит от температуры, при этом средняя скорость теплового движения практически не зависит от температуры, т. к. тепловому возбуждения подвергается небольшое количество электронов, находящихся вблизи уровня Ферми
.
; 
.
В области высоких температур 
все осцилляторы возбуждены вплоть до 
, тогда с ростом температуры 
и
,
что очень хорошо согласуется с экспериментом.
В области низких температур 
с ростом температуры происходит не только увеличение фононов с данной частотой, но и быстрый рост новых фононов.
( 
),
что также хорошо согласуется с экспериментом.
 |
В области сверхнизких температур вблизи 0 К концентрация фононов становится столь малой, что основную роль в рассеянии электронов начинают выполнять примеси, концентрация которых не зависит от температуры, и тогда
.
Дата добавления: 2019-08-31; просмотров: 189; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!