Квантовая теория теплоемкости твердого тела

Л Е К Ц И Я № 12

Тепловые свойства твердых тел.

Классическая теория теплоемкости кристаллов. Закон Дюлонга-Пти

Частицы, из которых состоят твердые тела (атомы, ионы), не являются свободными, они участвуют в непрерывных гармонических колебаниях у положения равновесия в узлах кристаллической решетки (частицы – не идеальный газ).

Тогда W = W_k + W_p.

На каждую степень свободы частицы приходится одинаковая энергия .

У свободной частицы i = 3, для связанных частиц (АТТ) i = 6.

Тогда средняя энергия одной частицы:

Энергия 1 моля твердого вещества:

Молярная теплоемкость твердых тел:

- (12-1)

- закон Дюлонга-Пти:

молярная теплоемкость всех твердых тел ни от чего не зависит и является постоянной, равной 3R.

Трудности классической теории теплоемкости твердых тел:

1) Если для диэлектрика и определяется лишь частицами, находящимися в узлах кристаллической решетки, то в металлах, кроме частиц, находящихся в узлах решетки, есть еще и свободные электроны, для которых i = 3, тогда

Но эксперимент: !

2) Из закона Дюлонга-Пти не следует зависимость теплоемкости от температуры, хотя экспериментально такая зависимость наблюдается в области низких температур.

Объяснить эту зависимость классическая физика не смогла. Ответ был получен только в квантовой физике.

Фононы и их распределение по энергиям

(распределение Бозе-Эйнштейна)

Атомы, ионы, находящиеся в узлах кристаллической решетки, являются квантовыми гармоническими осцилляторами.

Из решения уравнения Шредингера следует, что энергия таких частиц квантуется.

Согласно принципу минимума энергии наиболее выгодное состояние – состояние с энергией W₀ – основное (невозбужденное) состояние.

При сообщении твердому телу дополнительной энергии происходит возбуждение осцилляторов – они переходят на более высокие уровни.

Но возбужденные состояния – короткоживущие. Пробыв в них короткое время, осцилляторы переходят на ниже лежащие состояния. При этом правило отбора утверждает, что

D n = 1,

т. е. переходы происходят на соседний нижележащий уровень.

При этом осциллятор теряет энергию , которая уносится в виде низкочастотной тепловой волны по кристаллу.

Порцию (квант) такой тепловой волны по аналогии с порцией (квантом) электромагнитной волны – фотоном, назвали фононом.

Т. о. фонон – это квазичастица, так как существует только в твердом теле, не имеющая электрического заряда, не существующая в покое, а всегда движущаяся со скоростью звука в твердом теле.

Энергия фонона:

. (12-2)

При этом для фононов нет запрета Паули, спин у них целочисленный s = 1, значит, они относятся к классу бозонов.

Функция распределения Бозе-Эйнштейна позволяет вычислить среднее число бозонов (фононов) из общего их числа, находящихся в данном квантовом состоянии или вероятность того, что данный фонон обладает энергией .

= . (12-3)

Другими словами функция распределения Бозе-Эйнштейна определяет вероятность заселения данного квантового состояния.

Графически

При ® » - классическое распределение Максвелла-Больцмана.

где - энергия осциллятора.

n = с энергией .

Т. к. энергия одного фонона , а их число в данном квантовом состоянии определяется (12-3), тогда средняя энергия одного квантового состояния гармонического осциллятора (средняя энергия всех фононов в данном квантовом состоянии):

. (*)

Квантовая теория теплоемкости твердого тела

(теория Дебая)

(**)

Учитывая вырождение по спину

т. к. .

. (***)

Тепловые волны в твердом теле – это стоячие волны, для которых

Тогда при n ® 1 а это большая значит

при n ® ¥ ¹ 0, значит

Подставим сюда (***), получим

Откуда

(12-4)

Для твердого тела n ~ 10²⁸ м^-³, ~ 10³ м/с, тогда

с^-¹.

Тогда, с учетом (*), (**) и (***), получим

Введем обозначения:

- (12-5)

- характеристическая температура Дебая, при которой тепловая энергия равна максимальной энергии фононов для данного твердого тела.

~ 10³ м/с, n ~ 10²⁸ м^-³, с^-¹.

тогда К !

С учетом обозначений получим

В общем случае вычислить интеграл – численно!

В предельных случаях:

1) T >> T_D , т. е. х << 1

Тогда

Для 1 моля вещества

Тогда

что точно соответствует классической теории Дюлонга-Пти.

2) T << T_D , х _max ® ¥

(табличный интеграл)

Подставив сюда (12-5), получим

Молярная теплоемкость

, (12-6)

что точно соответствует эксперименту!

Для металлов – есть еще и свободные электроны

Для 1 моля , , получим

, (12-7)

при T << T_D , ,

при T >> T_D , .

Теплопроводность твердых тел

В жидкостях и газах тепловую энергию при теплопроводности переносят молекулы, атомы этих веществ.

В твердых телах атомы находятся в узлах кристаллической решетки и только совершают колебания у положения равновесия.

Поэтому тепловую энергию в твердых телах переносят фононы (тепловые волны). Квантовый осциллятор, получив тепловую энергию, возбуждается, а, пробыв в возбужденном состоянии небольшое время, возвращается на более низкие энергетические уровни, излучая при этом фононы.

Фонон, двигаясь по кристаллу, поглощается следующим осциллятором – излучается новый фонон, и т. д.

Процесс теплопроводности описывается уравнением Фурье, где коэффициент теплопроводности

Здесь - средняя длина свободного пробега фононов, ;

_з - скорость движения фононов по кристаллу º скорость звука в данном веществе ;

- удельная теплоемкость твердого тела;

- плотность вещества твердого тела.

Область T << T_D

- очень малая, ,

Область T >> T_D ~ T,

Дата добавления: 2019-08-31; просмотров: 237; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

Мы поможем в написании ваших работ!