Распределение электронов в твердом теле

По квантовым состояниям

(распределение Ферми – Дирака)

Распределение электронов в твердом теле по квантовым состояниям описывается функцией Ферми-Дирака, позволяющей вычислить среднее число фермионов (электронов) в одном квантовом состоянии или, помня, что для фермионов действует запрет Паули, позволяющей вычислить вероятность того, что данное квантовое состояние может быть занято электроном.

(11-6)

Если Т = 0 К, тогда при W < W_F < N_F > = 1,

при W > W_F < N_F > = 0,

при W = W_F < N_F > – ? не определяется

Среднее число частиц в одном состоянии определяется:

Оценим число возможных состояний для электронов в твердых телах (для этого воспользуемся аналогичной величиной для молекул идеального газа (формула (11-4)) и учтем, что для квантовых частиц необходимо учитывать вырождение по спину:

где s – спиновое квантовое число.

Для электронов s = ½ , тогда с учетом (11- 4), запишем:

Энергия электронов в твердом теле квантуется и электроны занимают энергетические состояния в соответствии с принципом минимума энергии, набором квантовых чисел и запретом Паули.

При Т = 0 К все уровни, начиная с самого нижнего, заполнены вплоть до уровня, энергия которого W = W_F . Этот уровень энергии электронов в твердых телах называют уровнем Ферми, а энергию электрона, соответствующую данному состоянию, называют энергией Ферми.

Тогда, если Т = 0 К

для W < W_F < N_F > = 1

для W > W_F < N_F > = 0

для W = W_F < N_F > = 1

Т. о. уровень Ферми в твердых телах – это энергетический уровень электронов, имеющих при Т = 0 К максимальную энергию (энергию Ферми).

Т. к. при Т = 0К все состояния вплоть до уровня Ферми заняты всеми электронами по одному < N_F > = 1, тогда можно записать

Откуда

– (11-7)

– энергия Ферми.

Оценим величину энергии Ферми W_F для электронов в твердых телах:

м^-³, m₀ ~ 10^-³⁰ кг.

единицы эВ !

Если условно ввести выражение для кинетической энергии электронов на уровне Ферми:

тогда

м/с.

Средняя энергия электронов в твердом теле при Т = 0 К:

(11-8)

(это объясняет тот факт, что уровни энергии располагаются не эквидистантно, а сгущаются по мере увеличения энергии),

А если Т ¹ 0 К, тогда < N_F > = f ( T )

при W << W_F < N_F > = 1

W d W_F < N_F > < 1

W = W_F < N_F > = ½

W t W_F < N_F > < ½

W >> W_F < N_F > = 0.

Т. к. при Т > 0 К для W = W_F < N_F > = ½, тогда можно дать еще одно определение уровня Ферми – это уровень энергии электронов в твердом теле, вероятность заполнения которого при любой температуре, отличной от 0 К, равна ½.