Квантовый гармонический осциллятор
ЛЕКЦИЯ № 10
Квантовая частица в одномерной
Бесконечно глубокой «потенциальной яме»
| I | II | III |
| Wp = ¥ | Wp = 0 | Wp = ¥ |
 y I = 0
| y II - ? | y III = 0 |
Для области II («потенциальной ямы») уравнение Шредингера будет иметь вид:
или 
Решением этого уравнения является
Но для х = 0 y (0) = 0, тогда j 0 = 0,
для х = 
y ( ) = 0, тогда sin ( k ) = 0.
k = n p, n = 1, 2, 3, … .
откуда
(10-1)
где n = 1, 2, 3, … .
– квантование волнового числа, импульса и энергии частицы.
Значит поведение квантовой частицы в различных состояниях (с различными значениями kn, pn и Wn) будет описываться разными волновыми функциями
, n = 1, 2, 3, … . (10-2)
Воспользовавшись условием нормировки волновой функции
получим выражение для амплитуды y 0
Тогда
, n = 1, 2, 3, … . (10-3)
Итак, квантовая частица – это волна - волна де Бройля. Но волна в ограниченной области пространства - это стоячая волна, для которой должно выполняться условие:
– условие квантования волн де Бройля.
1. Частица находится в потенциальном ящике шириной 
с бесконечно высокими стенками в определенном энергетическом состоянии 
с квантовым числом 
. Известно, что 
. В этом случае равно …
Решение:
Собственная энергия микрочастицы в потенциальном ящике шириной с бесконечно высокими стенками принимает лишь определенные дискретные значения, причем 
, где 
целое число, имеющее смысл номера уровня энергии. Тогда отношение значений энергии 
и по условию . Следовательно, 
. Отсюда квантовое число 
.
|
|
|
2. Собственные функции электрона в одномерном потенциальном ящике с бесконечно высокими стенками имеют вид 
, где L – ширина ящика, n – квантовое число, имеющее смысл номера энергетического уровня. Если N – число узлов 
-функции на отрезке 
и 
, то n равно …
Решение:
Число узлов 
, т.е. число точек, в которых волновая функция на отрезке обращается в нуль, связано с номером энергетического уровня соотношением 
. Тогда 
, и по условию это отношение равно 1,5. Решая полученное уравнение относительно n, получаем, что n = 4.
3. На рисунках схематически представлены графики распределения плотности вероятности обнаружения электрона по ширине одномерного потенциального ящика с бесконечно высокими стенками для состояний с различными значениями главного квантового числа n.
В состоянии с n = 4 вероятность обнаружить электрон в интервале от 
до 
равна …(1)
1) 
2) 
3) 
4) 
4. На рисунках схематически представлены графики распределения плотности вероятности обнаружения электрона по ширине одномерного потенциального ящика с бесконечно высокими стенками для состояний с различными значениями главного квантового числа n.
|
|
|
В состоянии с n = 3 вероятность обнаружить электрон в интервале от 
до 
равна …(2)
1) 
2) 
3) 
4) 
5. Электрон находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками в состоянии с квантовым числом n = 3. Если 
-функция электрона в этом состоянии имеет вид, указанный на рисунке, то вероятность обнаружить электрон в интервале от 
до 
равна …(4)
1) 2) 3) 
4)
6. Квантовая и классическая частицы с энергией Е, движущиеся слева направо, встречают на своем пути потенциальный барьер высоты 
и ширины . Если 
− вероятность преодоления барьера, то для …(1)
1) квантовой частицы при 
, а при 
.
2) классической частицы при , а при 
.
3) квантовой частицы при 
, а при 
.
4) квантовой частицы 
зависит только от и не зависит от
Квантовый гармонический осциллятор
В твердом теле ионы находятся в узлах кристаллической решетки и совершают гармонические колебания у положения равновесия.
Поэтому эти микрочастицы также можно рассматривать в качестве квантовых гармонических осцилляторов, потенциальная энергия взаимодействия которых описывается выражением
|
|
|
.
Тогда подставляем это значение для Wp в уравнение Шредингера (7-3) и, решая его относительно энергии, получаем также, что энергия такой несвободной частицы не может быть любой, она квантуется:
, (10-4)
где 
– энергия нулевого состояния.
 |
- уровни энергии располога-ются эквидистантно.
Дата добавления: 2019-08-31; просмотров: 968; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!