РАЗЛОЖЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНОЙ ДРОБИ

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ФОРМА ЗАПИСИ

КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА

О п р е д е л е н и е 1. Алгебраической формой записи комплексного числа называется его представление в виде:

(1)

где вещественные числа, называемые, соответственно, вещественной частью (обозначают Re z) и мнимой частью (обозначают Im z) комплексного числа число i, называемое мнимой единицей, определяется равенством

Множество всех комплексных чисел обозначают C.

З а м е ч а н и е 1. Любое вещественное число является комплексным, так как его можно представить в виде (1):

Следовательно, Причем для вещественного числа

Re = , Im = 0.

О п р е д е л е н и е 2. Два комплексных числа

называются равными, если равны, соответственно, их вещественные и мнимые части:

О п р е д е л е н и е 3. Комплексное число, обозначаемое и вычисляемое по формуле

(2)

называется комплексно – сопряженным для числа .

З а м е ч а н и е 2. Для геометрического представления комплексного числа вводят на плоскости прямоугольную систему координат Тогда число рассматривают как точку этой плоскости (рис.1) или же как радиус-вектор (рис.2).

b M b M

О a х О a х

Рис. 1 Рис. 2

Операции над комплексными числами

1) ;

2) , где с - вещественное число;

3) ;

4) .

З а м е ч а н и е 3. Для комплексно–сопряженных чисел справедливы равенства:

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМА ЗАПИСИ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА

О п р е д е л е н и е 4. Тригонометрической формой записи комплексного числа называется его представление в виде:

, (3)

где неотрицательное вещественное число, называемое модулем комплексного числа и обозначаемое ; угол ( ), называемый главным значением аргумента комплексного числа и обозначаемый (рис.3).

у Для комплексного числа

справедливы соотношения:

b z

j .

0 a х

Рис. 3

Следовательно,

и при при .

З а м е ч а н и е 4. Формула (3) верна при замене в ней на где любое целое число.

ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФОРМА ЗАПИСИ

КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА

О п р е д е л е н и е 5. Показательной формой записи комплексного числа называется его представление в виде:

, (4)

где , , .

Операции над комплексными числами

4) где

то есть:

С геометрической точки зрения операции над комплексными числами выполняются по следующим правилам

(рис. 4 – 11):

Сложение Вычитание

О О

Рис. 4 Рис. 5

Умножение на число a

(при )

(при ) Рис.6

Умножение Деление

О О

Рис. 7 Рис. 8

Возведение в степень

Рис. 9

Извлечение корня п-й степени из числа

(2p)/n

j (2p)/n j/n (2p)/n х

Рис. 10

Рис. 11

РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА НА МНОЖИТЕЛИ

О п р е д е л е н и е 6. Многочленом от степени (или целой рациональной функцией от ) называется функция вида

, (5)

где действительные числа, - независимая переменная, которая может принимать любые комплексные значения.

О п р е д е л е н и е 7. Корнем многочлена (5) называется то значение переменной , при котором многочлен (5) обращается в нуль.

Т е о р е м а 1 . Всякий многочлен степени имеет ровно комплексных корней и может быть представлен в виде разложения на линейные множители:

(6)

О п р е д е л е н и е 8. Говорят, что корень имеет кратность , если множитель входит в разложение (6) раз.

С в о й с т в о 1 . Если многочлен (5) имеет комплексный корень (где ) кратности , то этот многочлен имеет также сопряженный корень , кратность которого равна .

С в о й с т в о 2 . Если оставить в перечне корней многочлена (5) только различные корни и учесть их кратность, то многочлен (5) можно представить в виде произведения:

где

числа ( ), в разложении (7) являются вещественными, причем

( );

РАЗЛОЖЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНОЙ ДРОБИ

О п р е д е л е н и е 9. Рациональной дробью называется выражение вида:

где многочлены по степеней и соответственно.

О п р е д е л е н и е 10. Рациональная дробь называется правильной, если В противном случае, если она называется неправильной.

О п р е д е л е н и е 11. Простейшими рациональными дробями называются дроби следующих четырех типов:

I. ;

II. ;

III. ;

IV. .

Т е о р е м а 2.Всякая неправильная рациональная дробь представима в виде суммы многочлена (ее целой части) и правильной рациональной дроби.

З а м е ч а н и е 5. Такого представления можно достичь, например, с помощью деления многочленов на «в столбик», прекращая процедуру деления как только степень многочлена, сформировавшегося в остатке, станет меньше степени многочлена .

Т е о р е м а 3. Всякую правильную рациональную дробь можно представить в виде суммы конечного числа простейших рациональных дробей.

З а м е ч а н и е 6. На практике осуществить разложение правильной рациональной дроби на сумму простейших рациональных дробей можно по следующей с х е м е:

¨ Найти корни многочлена

и представить его в виде разложения на множители:

где ;

;

¨ Записать разложение с неопределенными коэффициентами:

, (8)

содержащее слагаемых;

¨ Определить коэффициенты

суммарное число которых равно .

З а м е ч а н и е 7. Определить коэффициенты разложения (8) можно многими способами. Например, приведя (8) к общему знаменателю, получим равенство двух многочленов. Приравнивая в них коэффициенты при одинаковых степенях , получим систему линейных уравнений с интересующими нас неизвестными, имеющую единственное решение. Такой метод называют методом неопределенных коэффициентов.

З а м е ч а н и е 8. Метод неопределенных коэффициентов приводит к цели всегда, но является довольно громоздким.

В ряде случаев удается определить коэффициенты, участвующие в разложении дроби на сумму простейших рациональных дробей, более простым способом, носящим название метода зачеркивания. Изложим его суть.

Пусть знаменатель правильной рациональной дроби

имеет вещественное число своим корнем кратности .

В этом случае среди простейших дробей, на сумму которых разлагается дробь , будет фигурировать дробь , а многочлен будет представим в виде:

где многочлен по степени , причем

Тогда коэффициент равен:

Таким образом, для вычисления коэффициента следует в знаменателе исходной дроби «зачеркнуть» скобку и в оставшееся выражение подставить .

ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ

П р и м е р 1. Выполнить указанные действия:

а) б) в)

Р е ш е н и е. Воспользовавшись правилами сложения, умножения, деления комплексных чисел, заданных в алгебраической форме, получаем:

а)

б)

в)

О т в е т: а) б) в)

П р и м е р 2. Решить уравнения:

а) б)

Р е ш е н и е. Воспользовавшись формулой корней квадратного уравнения, получаем:

а)

б)

О т в е т: а)

б)

П р и м е р 3. Представить комплексные числа

в тригонометрической форме.

Р е ш е н и е. Изобразим данные числа на комплексной плоскости (рис. 12). Для числа находим модуль и аргумент:

1 Следовательно, по формуле (3)

получаем:

-1 О 1 х

-1

Рис. 12

Аналогично находим:

Следовательно, справедливы представления:

О т в е т: , ,

П р и м е р 4. Вычислить:

а) б)

Р е ш е н и е. Воспользовавшись правилами возведения в степень и извлечения корня из комплексных чисел, заданных в показательной форме, получаем:

а)

б)

Следовательно, заключаем:

при

О т в е т: а) 16; б) 2, -2, 2i, -2i.

П р и м е р 5. Определить, какие из указанных рациональных дробей являются правильными:

а) б)

в) .

Р е ш е н и е. а) Дробь является неправильной, так как степени многочленов, стоящих в числителе и знаменателе, совпадают (равны четырем).

б) – в) Дроби являются правильными, так как в числителе стоит многочлен степени 4, а знаменателе – степени 5 в б) и 6 в в).

О т в е т: б), в).

П р и м е р Неправильную рациональную дробь заменить суммой многочлена и правильной рациональной дроби, если

а)

б)

Р е ш е н и е. Разделим многочлен на многочлен :

а)

следовательно

;

б)

следовательно

О т в е т: а)

б)

П р и м е р 7. Разложить на множители многочлен

Р е ш е н и е. Вещественный целый корень многочлена следует искать среди целых делителей числа 4 - свободного члена многочлена . Ими являются числа

Вычислим значения многочлена при указанных значениях :

Следовательно, числа являются корнями многочлена . Отсюда вытекает справедливость представления:

, (9)

где некоторый многочлен.

Найдем многочлен , разделив на многочлен , то есть на квадратный трехчлен

Итак, вычисления показали, что в формуле (4) = , причем не разлагается на линейные множители с вещественными коэффициентами (так как дискриминант этого квадратного трехчлена меньше нуля). Следовательно, из равенства (9), получаем: .

О т в е т: .

П р и м е р 8. Написать разложение дроби

на сумму простейших рациональных дробей, не находя коэффициентов разложения.

О т в е т:

П р и м е р Разложить дробь на сумму простейших рациональных дробей и найти коэффициенты разложения:

а) ; б)

в)

Р е ш е н и е. а) Дробь является правильной. Для ее знаменателя справедливо представление:

Запишем разложение дроби на сумму простейших рациональных дробей с неопределенными коэффициентами:

. (10)

Найдем коэффициенты разложения (10) методом неопределенных коэффициентов.

Приведем равенство (10) к общему знаменателю и приравняем числители получившихся при этом дробей:

Отсюда, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , приходим к системе:

Следовательно, подставляя найденные числа А, В, С в разложение (10), приходим к равенству:

= .

Покажем, как числа можно было найти из формулы (10) методом зачеркивания:

б) Дробь - правильная. Знаменатель этой дроби имеет вид:

Поэтому справедливо разложение:

= . (11)

Коэффициенты А, В этого разложения найдем методом зачеркивания:

Для поиска коэффициентов C и D подставим в (11) вместо x любые два числа (кроме тех, которые уже были использованы).

Например:

Отсюда для поиска коэффициентов C и D получаем систему:

Подставив найденные числа А, В, С, D в разложение (11), приходим к равенству:

в) Дробь - правильная. Ее знаменатель имеет вид:

причем у квадратного трехчлена дискриминант меньше нуля, и он не разлагается на линейные множители с вещественными коэффициентами.

Поэтому справедливо представление:

(12)

Методом зачеркивания находим число А:

Для поиска коэффициентов B, C, D приведем (12) к общему знаменателю и приравняем числители:

Используем правило: многочлены равны, если равны коэффициенты при одинаковых степенях . Это приводит к системе:

Отсюда получаем:

Подставив найденные числа А, В, С, D в разложение (12), приходим к равенству:

О т в е т: а) = ;

б)

в)

П Р И М Е Р Ы

1. Выполнить указанные действия:

а) б)

в) г) д)

е) ж) з)

и) к) л)

2. Представить в тригонометрической форме числа:

а)

б)

в)

г)

3. Решить квадратное уравнение:

а) б)

в) г)

д) , е)

Разложить дроби на сумму простейших дробей:

4. . 5. .

6. . 7. .

8. . 9. .

10. . 11. .

♦ ♦ ♦

12. Представить в тригонометрической форме числа:

а) б)

в) г)

д)

13. Выполнить действия:

а) б)

в) г) д)

е) ж) з)

14. Решить уравнения:

а) б)

в) г)

д) .

Разложить дроби на сумму простейших дробей,

не находя коэффициентов разложения :

15. 16.

Разложить дроби на сумму простейших дробей:

17. . 18. .

19. . 20.

21. 22.

23. 24.

О Т В Е Т Ы

1. а) б) в) г)

д) е) ж) з)

и) к)

л)

2. а) ; б) ;

в) ; г)

3. а) б) в) ; г)

д) е) .

4. 5. 6. .

7. 8. 9.

10. 11. .

12. а) б)

в) г)

д)

13. а) б) в) г) д)

е) ж)

з)

14. а) б) ; в)

г) е) .

15.

16.

17. 18.

19. . 20.

21. 22.

23. 24. 1+

Дата добавления: 2019-09-13; просмотров: 110; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

Мы поможем в написании ваших работ!