Программная реализация метода исключения неизвестных Гаусса в среде Mathcad с использованием встроенных функций.

Стр 1 из 2Следующая ⇒

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РФ

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра Систем электроснабжения предприятий

Расчетно-графическое задание
Математические модели макроуровня
Часть 1

Факультет: ФЭН

Группа: ЭН1-64

Студент: Степанов Д.А.

Вариант: № 9

Преподаватель: Родыгина С.В.

Дата выполнения: 22.11.2018 г.

Оценка о защите:

Новосибирск, 2018

Содержание

1. Цели и задачи расчета……………………………………………………3

2. Общие сведения (теория)………………………………………………...3

3. Исходные данные…………………………………………………………3

4. Составление матрицы инцеденций и режимных параметров………….4

5. Закон Ома, 1 и 2 законы Киргофа в матричной форме и переход к обобщенному уравнению состояния…………………………………….6

6. Уравнения узловых напряжений в линейной форме для U_Б=0 и U_Б ≠ 0 (расчёт Y_Б)…………………………………………………………………9

7. Расчёт значения узловых напряжений по уравнению узловых
напряжений при U_Б = 0 через матрицу Z_y: с перемножением и без перемножения…………………………………………………………….11

8. Программная реализация метода исключения неизвестных Гаусса
в среде Mathcad с использованием встроенных функций …..……..….14

9. Расчёт узловых напряжений по уравнению узловых напряжений
при U_Б=0 с использованием метода Зейделя……………………………15

10. Программная реализация итерационного метода простой итерации
и метода Зейделя для расчётной схемы…………………………………19

11. Расчёт установившегося режима ЭЭС на основе нелинейных математических уравнений………………………………………………23

11.1 Уравнения узловых напряжений в форме баланса токов…………24

11.2 Уравнения узловых напряжений в форме баланса мощности……25

11.3 Расчёт установившегося режима на основе нелинейной модели...25

Цели и задачи расчета: изучить линейные и нелинейные математические модели, методы и алгоритмы, составляющие основу компьютерного моделирования в промышленных программах расчёта установившихся режимов ЭЭС, а также математические модели и методы анализа статической устойчивости, используемые в электроэнергетике. Расчёт произвести двумя способами: вручную без использования компьютера и с использованием компьютерной программы Mathcad.

Решение

Общие сведения (теория): режимом работы ЭЭС называется состояние системы в любой момент времени или на некотором интервале времени. Под установившимся режимом понимается такое состояние ЭЭС, когда параметры системы на рассматриваемом интервале времени сохраняются неизменными или изменяются достаточно мало. Задача расчёта установившихся режимов ЭЭС сводится к определению совокупности параметров, характеризующих работу системами: напряжений в различных точках системы, токов в её элементах, потоков и потерь мощности и т.д.

1. Исходные данные для заданной схемы:

Рисунок 1 – Схема для расчёта установившегося режима

Таблица 1

Исходные данные по заданному варианту

Сопротивление ветвей, Ом

Задающие токи, кА

Метод

Гаусса

0.1

0.5

0.3

0.5

0.4

0.1

0.2

π/4

Через матрицу Z_y

2. Составление матрицы инцеденций и режимных параметров для расчётной схемы:

Матрицы инцеденций представляют собой компактную форму описания топологических связей схемы электрических сетей, удобную для реализации на ЭВМ.

Существует 2 вида инцеденций: 1) Матрица инцеденций М 1-го рода описывает связь ветвей и узлов схемы

2) Матрица инцеденций N 2-го рода описывает связь ветвей в независимые контуры

Относительно заданной схемы получаем следующие матрицы:

Матрица М имеет сбалансированную структуру, т.е. сумма элементов по каждому столбцу, включая строку балансирующего узла, равна нулю. Таким образом, сделав проверку по балансирующему узлу, легко заметить, что сумма элементов каждой строке полученной матрицы равна нулю.

Матрицы режимных параметров описывают основные параметры режима функционирования ЭЭС. Структура матриц определяется матричной формой записи основных законов электротехники.

У вектора задающих токов знак минус показывает направление J_i на схеме, или, по-другому, можно сказать, что энергия потребляется.

3. Закон Ома, 1 и 2 законы Киргофа в матричной форме и переход к обобщенному уравнению состояния:

Матричная форма записи основных законов электротехники

Закон Ома:

1 закон Киргофа:

2 закон Киргофа:

Составим закон Ома для расчётной схемы. Так как E_B в нашем случае равен нулю, получаем

Составим 1 закон Киргофа для расчётной схемы

Составим 2 закон Киргофа для расчётной схемы

Составим блочную матрицу коэффициентов

Составим блочную матрицу свободных членов уравнений

Запишем обобщенное уравнении состояния

Вывод: представленная модель является универсальной, но неэкономичной в связи с большой размерностью обобщенного уравнения состояния. Поэтому наибольшее распространение в практике расчёта установившихся режимов получило уравнение узловых напряжений.

4. Запись уравнения узловых напряжений в линейной форме для U _Б =0 и U _Б ≠ 0 (рассчитать Y _Б ).

Так как в схеме замещения нагрузка и генерация мощности моделируются с помощью задающих токов, то Е_В=0 (ЭДС ветвей) и уравнение узловых напряжений имеет вид

где - матрица узловых проводимостей.

Запишем транспонированную матрицу инцеденций 1-го рода

Матрицы М и Y_B рассчитаны ранее. Получаем значение матрицы узловых проводимостей по расчётной схеме

Нужно отметить, что матрица узловых проводимостей Y_y – квадратная матрица, размерностью 5х5, симметричная относительно главной диагонали. На главной диагонали расположены собственные проводимости узлов, которые равны сумме проводимостей ветвей, связанных с этим узлом. Симметрично относительно главной диагонали расположены взаимные проводимости узлов Y_ij = Y_ji, которые равны проводимости ветви, расположенной между узлами i,j, со знаком «минус».

· U _Б =0 : Запишем уравнение узловых напряжений

U∆ - вектор узловых напряжений, рассчитанный относительной базисного напряжения балансирующего узла U_Б .

Система уравнений:

· U _Б ≠ 0:

Y_Б – матрица проводимостей ветвей, связывающих независимые узлы с балансирующим Б.

Вывод: по полученной матрицы можно сказать, что балансирующий узел связан с первым и вторым, что видно (как подтверждение) из расчётной схемы.

5. Рассчитать вручную значения узловых напряжений по уравнению узловых напряжений при U _Б = 0 через матрицу Z_y .

Воспользуемся ранее рассчитанной матрицей Y_y, полученной путём перемножения соответствующих матриц.

Также рассчитаем матрицу Y_y без перемножения. На главной диагонали расположены проводимости узлов, полученные путём суммы всех проводимостей, сходящимся в соответствующем узле. Например, первый элемент первой строки и первого столбца будет получен в результате суммирования проводимостей Y1, Y2 и Y4. Все остальные проводимости (вне главной диагонали) берутся со знаком минус. Например, второй элемент первой строчки показывает, через какую проводимость связан 1 узел со 2-м. Если записать в общем виде относительно заданной схемы, то матрица проводимостей будет иметь вид:

Подставив числовые значения, получаем

Таким образом, матрица Y_y, полученная двумя способами, получилась одинаковой, что говорит о корректности составленных матриц при расчёте.

Решение уравнения узловых напряжений через матрицу Z_y:

Основным способом анализа погрешности результатов является расчёт невязок. Невязки рассчитываются по исходной системе уравнений.

Суммарная невязка:

Программная реализация метода исключения неизвестных Гаусса в среде Mathcad с использованием встроенных функций.

Анализ погрешности результатов

Вывод: сравнивая результаты расчёта метода Гаусса вручную и с помощью программы, очевидно, что погрешность результатов в десятки раз меньше при расчёте в среде Mathcad.

7. Рассчитать вручную узловые напряжения по уравнению узловых напряжений при U _Б =0 с использованием метода Зейделя. Сделать три-четыре итерации. Использовать способ реализации и представления алгоритма, рассмотренный на практических и лабораторных занятиях.

Подставляем значения задающих токов из условия и получаем:

Из полученной системы выразим значения напряжений:

Зададим точность до начала расчета:

· Первая итерация:

Выполним расчет невязок для нулевой итерации:

Рассчитаем погрешность результата по формуле:

, продолжаем расчёт.

· Вторая итерация:

Расчет производится аналогично.

Выполним расчет невязок для первой итерации:

, , , ,

Рассчитаем погрешность результата по формуле:

, продолжаем расчёт.

· Третья итерация:

Расчет производится аналогично.

Выполним расчет невязок для второй итерации:

, , , ,

Рассчитаем погрешность результата по формуле:

, продолжаем расчёт.

· Четвертая итерация:

Расчет производится аналогично.

Выполним расчет невязок для третей итерации:

, , , ,

Рассчитаем погрешность результата по формуле:

, продолжаем расчёт.

· Пятая итерация:

Расчет производится аналогично.

Выполним расчет невязок для четвертой итерации:

, , , ,

Рассчитаем погрешность результата по формуле:

Вывод: по рассчитанным значениям суммарных невязок видно, что значения уменьшаются, отсюда делаю вывод, что итерационный процесс – быстро сходящийся.

Программно реализовать итерационный метод простой итерации и метод Зейделя для расчётной схемы. Представить графики итерационных процессов для каждого метода и сделать вывод об их достоинствах и недостатках с учётом полученных результатов исследования.

Вывод: при методе Зейделя получены значения за меньшее (10) число итераций, в отличие от метода простых итераций (30). Это происходит, потому что (i+1)-ое приближение (k-1)-го напряжения сразу же используется для вычисления следующего k-го приближения.

Дата добавления: 2019-09-13; просмотров: 828; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

12 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!