Пример получения определяющих соотношений для случая малых деформаций.
Лемма Фурье
(10) |
Из (2) и (3) следует Фундаментальная теорема Фурье-Стокса:
Если - непрерывная функция по , удовлетворяющая (10), то существует такое векторное поле теплового потока , что
(11) |
Минус перед вектором берется для того, чтобы подчеркнуть, что мы описываем именно приток тепла – то есть вектор направлен навстречу вектору внешней нормали .
Пользуясь формулой Гаусса-Остроградского мы можем выразить скорость подвода тепла в виде единого интеграла по объему
(12) |
Первый закон термодинамики
Скорость изменения полной энергии системы равна сумме мощности работы внешних сил и скорости притока тепла извне
(13) |
Полная энергия системы представляется в виде суммы кинетической энергии и внутренней энергии.
, , | (14) |
Из (14) получаем с учетом уравнения неразрывности
(15) |
Из (5), (12), (13) и (15) получаем уравнение энергии
(16) |
В силу произвольности объема получаем дифференциальное уравнение энергии для точки среды
(17) |
Но с учетом уравнения движения, слагаемые при сомножителе – компоненте скорости сокращаются
(18) |
Мы получили уравнение притока тепла (уравнение баланса энергии) в простом виде для точки среды:
(19) |
Для некоторого объема среды мы получим его , проинтегрировав (19) по объему
(20) |
где - мощность работы внутренних поверхностных сил.
|
|
Второй закон термодинамики
Один из видов формулировка второго закона термодинамики состоит из четырех утверждений для новой функции состояния системы , называемой энтропией:
, при этом | (21) |
если процесс обратимый
- приток энтропии извне определяется либо притоком массы, либо притоком тепла.
, если нет притока массы к системе и во всех ее точках температура одинакова. | (22) |
То есть на основании равенств (21)и (22) и неравенства из (21) мы имеем важное неравенство
(23) |
Выражая скорость притока тепла из (19) в виде , получаем из (23)
Неравенство Клаузиуса-Дюгема.
(24) |
Или, переходя к подынтегральным выражениям, вводя плотность энтропии как
(25) |
Итак, на данный момент мы имеем следующие уравнения, которые выполняются для любой сплошной среды, некоего термомеханического континуума.
уравнение неразрывности | (26) |
уравнение движения | (27) |
уравнение притока тепла (ур-е энергии) | (28) |
неравенство Клаузиуса-Дюгема | (29) |
Мы имеем пять независимых уравнений, одно неравенство и… шестнадцать неизвестных!
|
|
Плотность, три компоненты вектора скорости, шесть компонент тензора напряжений, три компоненты вектора потока тепла, плотность внутренней энергии, температура и плотность энтропии.
Где взять еще одиннадцать уравнений?
Шесть дают определяющие соотношения, связывающие в единую энергетическую пару некий тензор деформации и соответствующий ему тензор напряжений , так, что плотность мощности работы внутренних сил представима в виде свертки одного тензора на полную производную по времени от второго . При условии введения параметров состояния для плотности внутренней энергии в виде пары – энтропия и тензор деформаций, мы получаем следующее определяющее соотношение
(30) |
Одно уравнение дает связь плотности энтропии, внутренней энергии и температуры
(31) |
Вводя температуру как еще одну степень свободы наравне с деформацией, мы можем, согласно закону Фурье для изотропного тела, выразить вектор потока тепла через температуру:
, где - коэффициент теплопроводности. | (32) |
Это еще три уравнения. И последнее уравнение постулируется в виде калорического уравнения
|
|
(34) |
Пример получения определяющих соотношений для случая малых деформаций.
В случае симметрии тензора напряжений
, где тензор скоростей деформаций | (35) |
В случае малых деформаций
, где тензор малых деформаций, | (36) |
Неравенство Клаузиуса-Дюгема для точки среды для малых деформаций:
(37) |
Параметры состояния системы в случае использования плотности потенциала внутренней энергии берутся плотность энтропии и деформация, при этом
(38) |
Удобно выбрать другой термодинамический потенциал – свободная энергия (свободная энергия Гельмгольца).
, где – плотность свободной энергии | (39) |
Для него параметрами состояния системы являются температура и деформация
(40) |
Тогда неравенство (37) сводится к виду
(41) |
Группируя множите при скоростях изменения параметров состояния
(42) |
Получаем, что при условии произвольности знаков скорости изменения каждого из параметров состояния обязаны выполняться следующие равенства, являющиеся определяющими соотношениями для нашей среды в случае малых деформаций:
при | (43) |
Последнее соотношение в случае постулирования линейной зависимости напряжений от деформаций приводит к тензорно линейному соотношению, которое в случае дополнительных предположений об однородности и изотропии материала приводит к известному закону Гука для линейного однородного изотропного упругого тела:
|
|
при | (44) |
Дата добавления: 2019-09-13; просмотров: 62; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!