Уравнение с постоянными коэффициентами
Общий вид уравнения с постоянными коэффициентами следует из выражения
В этом случае преобразование переменных становится линейным
Матрица 
для линейного преобразования равна
Из последнего равенства видно, что матрица коэффициентов линейного преобразования совпадает с транспонированной матрицей 
. Для приведения матрицы 
в уравнении к диагональному виду необходимо, чтобы матрица 
совпадала с матрицей, составленной из собственных векторов матрицы 
.
Вычислим производные от функции 
Слагаемое со вторыми производными равно
Здесь преобразованная матрица равна
Из последнего равенства видно, что матрица коэффициентов линейного преобразования совпадает с транспонированной матрицей . Для приведения матрицы в уравнении к диагональному виду необходимо, чтобы матрица совпадала с матрицей, составленной из собственных векторов матрицы .
В качестве примера рассмотрим уравнение вида
|
|
|
Здесь нижним индексом обозначена производная от функции, например, 
.
Матрица коэффициентов уравнения равна
Этой матрице соответствует квадратичная форма
Уравнение с переменными коэффициентами
В качестве примера рассмотрим уравнение вида
Матрица коэффициентов при второй производной равна
Функции преобразования переменных выбраны в виде
, 
Коэффициенты матрицы преобразования равны
, 
, 
Запись в матричном виде
Новое значение коэффициентов матрицы при вторых производных равно
Уравнение переписываем в операторном виде. Рассмотрим оператор
|
|
|
Действие квадрата оператора 
на функцию 
приводит к выражению
Таким образом, выражение 
равно 
. Действие оператора 
на функцию 
в преобразованных переменных легко вычисляется
Действие 
равно
Уравнение приводится к виду
Это уравнение параболического типа.
Дата добавления: 2019-09-13; просмотров: 110; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!