Математическая модель электрогидроусилителя
С механической обратной связью
Построение математической модели рассмотрим на примере электрогидравлического усилителя, схема которого приведена на рис. 5.1. Электрогидравлический усилитель (ЭГУ) состоит из электромеханического преобразователя (ЭМП) и гидравлического усилителя (ГУ) и распределителя (Р) рабочей жидкости.
ЭГУ снабжен обратной связью от золотника 1 к заслонке 3, расположенной между соплами 4. Обратная связь выполнена в виде тонкого упругого стержня 2 (рис. 5.1). Заслонка запрессована в гибкую упругую трубку 5 и ее верхний конец жестко соединен с якорем ЭМП 6, который размещен между полюсами постоянных магнитов 7. При подаче электрического тока в обмотки 8 управления к якорю будет приложен момент электромагнитных сил, возникающих вследствие взаимодействия электромагнитного поля с полем, созданным постоянными магнитами. Этот момент поворачивает якорь вместе с заслонкой относительно точки, находящейся приблизительно посередине упругой трубки.
Рис. .1. Схема ЭГУ с механической обратной связью
При отклонении заслонки от среднего положения зазор между одним соплом и заслонкой уменьшается, а между другим соплом и заслонкой увеличивается. Уменьшение зазора между одним соплом и заслонкой ведет к увеличению сопротивления кольцевой щели (между соплом и заслонкой), что в свою очередь приводит к уменьшению расхода через это сопло и увеличению давлению перед ним и в камере А. Увеличение зазора между другим соплом и заслонкой ведет к уменьшению сопротивления кольцевой щели (между соплом и заслонкой), что в свою очередь приводит к увеличению расхода через это сопло и уменьшению давлению перед ним и в камере B. Разность давлений в камерах А и B, создает силу, перемещающую золотник в направлении его оси. Вместе с золотником перемещается нижний конец упругого стержня, при изгибе которого к заслонке прикладывается момент, уравновешивающий после определенного смещения золотника электромагнитный момент, приложенный к верхнему концу заслонки. В результате наступает равновесие элементов ЭГУ, при котором проходящему через обмотки управления электрическому току соответствует требуемое смещение золотника от среднего положения.
|
|
Описание динамики электрогидравлического усилителя, выполним с учетом массы золотника, сжимаемости жидкости, но пренебрегая сопротивлением гидролиний.
Математическое описание начнём с процессов, происходящих в электромеханическом преобразователе. Уравнение вращения якоря вместе с заслонкой запишем в виде
, (5.1)
где Мя – момент электромагнитных сил, поворачивающих якорь; Мс – момент сопротивления, обусловленный силами трения и электромагнитными силами сопротивления, вызванными встречной ЭДС в обмотке управления электромеханического преобразователя (ЭМП); Мн – момент сил, действующих на заслонку и упругий стержень, и создающих нагрузку на якорь, эти силы возникают вследствие изгиба упругого стержня механической обратной связи при смещении золотника и отклонении заслонки от среднего положения, и вследствие гидродинамического воздействия на заслонку жидкости, вытекающей через сопла; Jя – момент инерции якоря вместе с заслонкой; φя – угол отклонения якоря от среднего положения.
|
|
Внешнюю моментную характеристику электромеханического преобразователя будем использовать в виде линейной зависимости момента Мя, развиваемого якорем от тока управления iУ и угла φя поворота якоря:
, (5.2)
где и – коэффициенты внешней моментной характеристики ЭМП.
Момент сопротивления Мс, возникающий при вращении якоря, будем определять по формуле
, (5.3)
где Кс – коэффициент сопротивления, обычно определяется экспериментально.
|
|
Так как заслонка жестко связана с якорем и имеет возможность поворачиваться вокруг оси совместно с ним, то гидродинамическую силу, приложенную к заслонке, нужно учесть при составлении уравнения вращения якоря.
Момент Мн сил, создающих нагрузку на якорьопределяется соотношением
, (5.4)
где – гидродинамическая сила, действующую на заслонку со стороны струй жидкости истекающих из сопел; l – расстояние от центра вращения якоря вместе с заслонкой до оси сопел; – сила, действующая на золотник, и возникающая вследствие изгиба упругого стержня механической обратной связи при смещении золотника и отклонении заслонки от среднего положения, с такой же по величине силой, но в противоположном направлении, действует золотник на упругий стержень, поэтому в формуле используется знак минус; – расстояние от центра вращения якоря вместе с заслонкой до оси золотника.
Гидродинамическую силу, действующую на заслонку со стороны струй рабочей жидкости истекающих из сопел, можно определить по формуле
, (5.5)
где χс – коэффициент, равный 1,03–1,06 для сопел с острыми кромками; – площадь проходного сечения сопла (здесь dс – диаметр сопла); – давление на входе в левое сопло (одинаково с давлением в полости А); – давление на входе в правое сопло (одинаково с давлением в полости Б).
|
|
Силу , действующую на золотник можно определить по формуле
, (5.6)
где – модуль упругости материала, которого изготовлен стержень; – момент инерции сечения стержня; – длина стержня; – давление на входе в правое сопло (одинаково с давлением в полости Б).
После подстановки моментов из формул (5.2)–(5.4) в уравнение (5.2) с учетом соотношения (5.5) получим
. (5.7)
Уравнение (5.7) описывает процессы, происходящие в ЭМП.
Теперь составим математическое описание гидроусилителя. При отклонении заслонки влево уравнения баланса расходов для левой и правой половы гидроусилителя можно записать в виде
, (5.8)
. (5.9)
где – расход жидкости, поступающий в полость А гидроусилителя; – расход жидкости, протекающий через левый дроссель; – расход жидкости, вытекающей из левого сопла; – расход жидкости, поступающий в полость Б гидроусилителя; – расход жидкости, вытекающей из правого сопла; – расход жидкости, протекающий через правый дроссель.
Расходы и жидкости определяются зависимостями
, (5.10)
, (5.11)
где – коэффициент расход канала дросселя; – площадь поперечного сечения канала дросселя; – давление питания гидравлического усилителя; – давление управления в полость А гидроусилителя; – давление управления в полость Б гидроусилителя; ρ – плотность жидкости.
Расходы и жидкости определяются зависимостями
, (5.12)
, (5.13)
где – коэффициент расхода сопла-заслонки; – площадь кольцевой щели между торцом левого сопла и заслонкой; – площадь кольцевой щели между торцом правого сопла и заслонкой; – давление в полости слива, в которую вытекает жидкость из сопла.
Площади и определяются соотношениями
, (5.14)
. (5.15)
где – диаметр проходного сечения сопла; – зазор между торцом левого сопла и заслонкой; – зазор между торцом правого сопла и заслонкой.
Зазоры и между заслонкой и соплами определяются зависимостями
, (5.16)
, (5.17)
где – зазор между торцом сопла (левого и правого) и заслонкой в нейтральном положении; – отклонение заслонки от нейтрального положения.
Отклонение заслонки hу от нейтрального положения связано с углом φя поворота якоря соотношением
. (5.18)
После подстановки площадей и из формул (5.14) и (5.15) в уравнения (5.12) и (5.13) с учетом соотношений (5.16), (5.17) и (5.18) получим
, (5.19)
, (5.20)
Расходы и связаны с перемещением золотника:
, (5.21)
, (5.22)
где – площадь торца золотника; dз – диаметр золотника; xз – перемещение золотника; Vу0 – объем каждой из полостей А и Б при положении заслонки в нейтральном положении; Bж – модуль объемной упругости жидкости. Второе слагаемое в правой части уравнений (5.21) и (5.22) учитывает изменение объема жидкости, обусловленное её сжимаемостью.
Уравнение движения золотника под действием разности давлений в полостях А и Б можно записать в виде
, (5.23)
где Fгд2 – гидродинамическая сила, действующая на золотник со стороны жидкости, протекающей через распределитель; Fтр – сила трения; Fпр – сила, действующая на золотника со стороны упругого стержня механической обратной связи; mз – масса золотника.
Зависимость гидродинамической силы Fгд2 от перемещения золотника будем считать линейной, и определять по формуле
, (5.24)
где – коэффициент жесткости гидродинамической пружины (гидродинамическая сила имеет линейную зависимость аналогично силе пружины отсюда и название коэффициента).
Силу трения будем считать вызванной жидкостным трением, и определять по формуле
, (5.25)
где kтр – коэффициент трения.
После подстановки сил из формул (5.24)-(5.25) в уравнение (5.23) получим:
, (5.26)
Система уравнений (5.7)-(5.11), (5.19)-(5.22) и (5.26) с учетом соотношений (5.12)-(5.18) описывает процессы, протекающие в электрогидравлическом усилителе.
При исследовании процессов, протекающих в системах, с помощью ЭВМ и пакетов прикладных программ, основанные на численных методах математическое описание удобнее выполнять в переменных состояния и системы уравнений приводить к дифференциальным уравнениям первого порядка, записанным в форме Коши.
В качестве переменных состояния будем использовать искомые функции: угол jя(t) поворота якоря, угловая скорость ωя(t) вращения якоря, давления pу1(t) и pу2(t) управления соответственно в полости А и Б, перемещение xз(t) и скорость υз(t) золотника; а закон изменения тока iу(t) управления известен.
Дифференциальное уравнение (5.7) второго порядка заменим системой двух уравнений первого порядка
, (5.27)
. (5.28)
где ωя – угловая скорость вращения якоря.
Для исключения расходов и подставим выражение расхода из уравнения (5.8) в уравнение (5.21), а выражение расхода из уравнения (5.9) в уравнение (5.22) в результате получим
, (5.29)
. (5.30)
где – скорость перемещения золотника.
Дифференциальное уравнение (5.26) второго порядка также заменим системой двух уравнений первого порядка
, (5.31)
, (5.32)
Полученную систему уравнение (5.27)- (5.32) приведем к форме Коши:
. (5.33)
где функции , , , определяются формулами (5.10), (5.11), (5.19), (5.20).
Для решения системы уравнений (5.33) необходимо знать закон изменения тока управления , задать значение коэффициентов: , , , , , ; параметров: , , , , , , , , , , ; начальные условия (значения искомых функций в начальный момент времени):
.
Пример расчета в Mathcad математической модели электрогидравлического усилителя приведен на рис. 5.2-5.14.
Рис. 5.2
Рис. 5.3
Рис. 5.4
Рис. 5.5
Рис. 5.6
Рис. 5.7
Рис. 5.8
Рис. 5.9
Рис. 5.10
Рис. 5.11
Рис. 5.12
Рис. 5.13
Рис. 5.14
Рис. 5.15
Дата добавления: 2019-09-13; просмотров: 661; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!